13.3.1 空间图形的表面积(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间图形的表面积计算，系统梳理棱柱、棱锥、棱台等多面体及圆柱、圆锥、圆台等旋转体的表面积公式，通过定义阐释、公式推导、例题解析构建学习支架，衔接空间几何体认识与面积计算的知识脉络。 以金刚石钻石实际问题引入，培养直观想象（数学眼光），通过“想一想”环节引导发现公式间逻辑联系（数学思维），结合正四棱台容器、旋转体表面积等实例提升运算与应用能力（数学语言）。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，有效查漏补缺。

13.3.1　空间图形的表面积 课标要求 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法（直观想象）. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题（逻辑推理、数学运算）. 　　金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石. 【问题】　已知该正八面体钻石的棱长为a，你能求出它的表面积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.定义：多面体的表面积就是　　　　　　　的面积的　　. 2.几个特殊多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面　　　　的棱柱； （2）正棱柱：底面为　　　　　　的直棱柱； （3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是　　　　　　； （4）正棱台：正棱锥　　　　　　　　的平面所截，截面和底面之间的部分. 3.直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 直棱柱 S直棱柱侧＝　　，S表＝S侧＋2S底 c为底面多边形的周长，h为棱柱的高 正棱锥 S正棱锥侧＝　 　＝　 　，S表＝S侧＋S底 a为底面边长，c为底面周长，h'为斜高 正棱台 S正棱台侧＝　　　　　＝　　　　　， S表＝S侧＋S上底＋S下底 a为下底面边长，a'为上底面边长，c为下底面周长，c'为上底面周长，h'为斜高 【想一想】 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 知识点二　圆柱、圆锥和圆台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 圆柱 S上底＝S下底＝2πr2， S圆柱侧＝cl＝　　， S圆柱表＝　　 r为底面圆半径，l为圆柱的母线 圆锥 S底＝　　　　， S圆锥侧＝cl＝ 　　　　　　 ， S圆锥表＝　　　 c为底面周长，l为母线长，r为底面圆半径 圆台 S上底＝　　　　， S下底＝　　　　， S圆台侧＝ （c＋c'）l ＝π（r＋r'）l， S圆台表＝π（r'2＋ r2＋r'l＋rl） r'，r分别为上、下底面圆半径，c'，c分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线长 【想一想】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 1.棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A.　 B.2　　C.3　 D.4 2.〔多选〕底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则下列结论正确的是（　　） A.棱柱的侧面积是8 B.棱柱的侧面积是2 C.棱柱的表面积是9 D.棱柱的侧面积是10 3.圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的表面积是　　　　. 4.（2025·南通期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为　　　　. 题型一｜多面体的侧面积与表面积 【例1】　（链接教科书第200页例1）用铁皮制造一个上大下小的正四棱台形无盖的容器（上面开口），正四棱台容器的上底面是边长为40 cm的正方形，下底面是边长为20 cm的正方形，侧面是全等的等腰梯形. （1）若正四棱台的侧棱长为20 cm，则制造这种容器需要多少平方厘米铁皮？ （2）若正四棱台的高为10cm，则制造这种容器需要多少平方厘米铁皮？ 通性通法 　　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积的求解方法 （1）直棱柱的侧面展开图是一个矩形，因此求侧面积只需求出相应底面周长及高即可； （2）求解正棱锥的表面积需注意棱锥的四个基本量，即底面的边长，高，斜高，侧棱，并注意两个特殊的直角三角形的应用； （3）求解正棱台的表面积需注意棱台的五个基本量，即上下底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用. 【跟踪训练】 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求该正三棱锥的表面积. 题型二｜旋转体的侧面积与表面积 【例2】　（链接教科书第200页例2）如图所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm，求以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形的表面积. 通性通法 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键. 2.解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题. 【跟踪训练】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 题型三｜组合体的表面积 【例3】　如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？ 通性通法 求组合体表面积时应注意的问题 （1）首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减； （2）在求组合体的表面积时要注意“表面（和外界直接接触的面）”的定义，以确保不重复、不遗漏. 【跟踪训练】 （2025·镇江期末）如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（　　） A.10π　　　　　　　　 B.20π C.100π　 D.200π 1.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（　　） A.　 B.1　 　C.　 D. 2.〔多选〕圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则（　　） A.圆台的侧面积为68π B.圆台的侧面积为100π C.圆台的表面积为100π D.圆台的表面积为168π 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为　　　　. 4.已知正三棱锥的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的侧面积为　　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　13.3　13.3.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3　空间图形的表面积和体积 13.3.1　空间图形的表面积 【基础落实】 知识点一 1.围成多面体各个面　和　2.（1）垂直　（2）正多边形　（3）底面中心　（4）被平行于底面　3.ch　nah'　ch'　n（a＋a'）h'　（c＋c'）h' 想一想 　提示：正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系可表示为： 知识点二 　2πrl　2πr（r＋l）　πr2　πrl　πr（r＋l）　πr'2　πr2 想一想 　提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系可表示为： 自我诊断 1.A　S表＝4S正三角形＝4×＝. 2.AD　由题意知，底面正方形的边长为1，直棱柱的高为2，所以S侧＝4×1×2＝8，S表＝S侧＋S底＝8＋2×1×1＝10.故选A、D. 3.56π　解析：圆台的表面积为S表＝π（1＋5）×5＋12π＋52π＝56π. 4.π　解析：根据题意得圆锥的母线长l＝＝，代入S侧＝πrl即可求得S侧＝π×1×＝π. 【典例研析】 【例1】　解：（1）如图，将该正四棱台容器倒置后得正四棱台ABCD-A1B1C1D1， 它的上底面是边长为20 cm的正方形，下底面是边长为40 cm的正方形， 所以上底面小正方形的面积为400 cm2， 因为侧棱长为20 cm，侧面是全等的等腰梯形，作A1E垂直于AB，垂足为E， 所以侧面等腰梯形的高为A1E＝＝＝10 ， 所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋40）×10＝300 ， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300 ×4＝400＋1 200 （cm2）. （2）如图，将该正四棱台容器倒置后得正四棱台ABCD-A1B1C1D1，设O1，O分别为上、下底面的中心，过O作OE⊥BC于E，过O1作O1E1⊥B1C1于E1， 过E1作E1F⊥OE于F，连接E1E，则E1E为正四棱台的斜高.所以侧面等腰梯形的高为E1E＝＝＝10 ，所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋40）×10＝300， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300×4＝400＋1 200（cm2）. 跟踪训练 　解：如图所示，设O为正三角形ABC的中心，连接PO，连接AO并延长交BC于D，连接PD，则PO是正三棱锥P-ABC的高.由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点， 又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高. 由已知∠APO＝45°，AO＝××4＝（cm）， 所以PA＝AO＝×＝（cm）， 所以PB＝（cm）.所以PD＝＝ ＝（cm）. 所以正三棱锥P-ABC的侧面积S侧＝3S△PBC＝3××4×＝4（cm2）， 底面积S底＝×42×＝4（cm2）. 故S表面积＝S侧＋S底＝4＋4＝4（＋）（cm2）. 【例2】　解：以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形是圆台， 其上底面半径是4 cm，下底面半径是16 cm， 母线DC＝＝13（cm）， 所以该空间图形的表面积为π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）. 跟踪训练 　解：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r，R，则有＝，即＝， 所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R， 所以＝＝＝＝＝－1. 【例3】　解：几何体的表面积为S＝6×22－π×（0.5）2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. 跟踪训练 　B　设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则原圆柱的表面积为2πr2＋2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，故2rh＝20，原圆柱的侧面积为2πrh＝20π.故选B. 随堂检测 1.B　依题意，正三棱台的高h＝＝1. 2.BD　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选B、D. 3.12π　解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×（）2＋2π××2＝12π. 4.　解析：如图，设正三棱锥S-ABC的顶点S在底面的正投影为点O，作OD⊥AB于点D，连接SD，SO.因为正三棱锥的底面边长为3，高为，所以OD＝，OS＝，则SD＝＝1.因为SO⊥AB，OD⊥AB，SO∩OD＝O，SO，OD⊂平面SOD，所以AB⊥平面SOD，则AB⊥SD.因为正三棱锥的侧面是全等的三角形，所以正三棱锥的侧面积为3××3×1＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $