13.3.1空间图形的表面积课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦柱体、锥体、台体的侧面积与表面积计算，通过分析具体几何体结构，用展开思想探索侧面积公式，衔接空间几何体结构知识，以正棱柱、正棱锥等概念定义和展开图推导公式为学习支架。 其亮点在于结合展开图直观呈现侧面积推导过程培养数学眼光，题型从自主诊断到组合体应用分层训练推理能力体现数学思维，融入蒙古包等实际问题强化应用意识落实数学语言。题后反思总结解题步骤，帮助学生理解公式本质提升解题能力，教师可直接使用分层资源高效实施教学。

第13章　立体几何初步 13.3.1　空间图形的表面积 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.通过对具体柱体、锥体、台体结构的分析,能探索出用展开的思想方法来研究其侧面积. 2.理解柱体、锥体、台体的侧面积和表面积计算公式及其使用范围. 3.能运用柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式进行计算和解决相关实际问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　正棱柱、正棱锥、正棱台的概念 1.侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱,底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高. 2.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等,侧面均为全等的等腰三角形. 3.正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫作正棱台.正棱台的侧棱长都相等,侧面均为全等的等腰梯形. 知识点二　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 几何体 直观图 侧面展开图 侧面积 直棱柱 S直棱柱侧=ch 正棱锥 S正棱锥侧= ch' 正棱台 S正棱台侧= (c+c')h' 知识点三　圆柱、圆锥、圆台的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积 圆柱 S圆柱侧=cl=2πrl 圆锥 S圆锥侧=cl=πrl 几何体 侧面展开图 侧面积 圆台 S圆台侧=(c+c')l =π(r+r')l 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)正方体的棱长扩大到原来的2倍,其表面积也扩大到原来的2倍.(　　) (2)圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍,其侧面积扩大到原来的4倍. (　　) (3)圆锥的底面半径扩大到原来的3倍,母线长度不变,其侧面积扩大到原来的3倍.(　　) × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积与表面积 例 1 [链接教材例1]已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为(　　) A.80 B.240 C.320 D.640 B 解析 由题意可知,该棱台的侧面是上、下底边长分别为4和16,腰长为10的等腰梯形,所以等腰梯形的高为=8,所以等腰梯形的面积为S'=(4+16)×8=80,所以该棱台的侧面积为S=3S'=3×80=240.故选B. 题后反思　1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤 (1)清楚各侧面的形状,求出每个侧面的面积. (2)求出其底面的面积. (3)求和得到表面积. 2.正三角形的面积公式为S=a2,其中a为正三角形的边长. 跟踪训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中,有四个顶点A,B1,C,D1恰好是正四面体的顶点,求此正四面体的表面积与正方体的表面积之比. 解 设正方体的棱长为a,则正方体的表面积是6a2,正四面体AB1CD1的棱长为a,所以正四面体的表面积是4(a)2=2a2,故正四面体的表面积与正方体的表面积之比为3. 【题型二】简单旋转体的侧面积与表面积 例 2 [链接教材例2](1)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为(　　) A.π B.(1+)π C.2π D.(2+)π AB 解析 如果是绕直角边所在直线旋转,那么形成的几何体是圆锥,圆锥的底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边为, 故所形成的几何体的表面积S=πrl+πr2=π×1+π×12=(+1)π. 如果绕斜边所在直线旋转,那么形成的几何体是上下两个同底圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边的高,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1, 故形成的几何体的表面积S=2×πrl=2×π1= 综上,所形成几何体的表面积是(+1)π或故选AB. (2)若矩形的周长为36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,则圆柱侧面积的最大值为　　　　.  162π 解析 如图,不妨设矩形的长与宽分别为a,b,则旋转形成的圆柱的底面半径为r=a,母线长l=b.2a+2b=36,即a+b=18,所以18=a+b≥2,即ab≤81,当且仅当a=b=9时,取得等号,所以旋转形成的圆柱侧面积S=2πrl=2abπ≤162π,所以旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为162π. 题后反思　求旋转体表面积的要点 (1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,所以处理好轴截面中边角关系是解题的关键; (2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法; (3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程. 跟踪训练2 已知一个圆台的轴截面面积为6,轴截面的一个底角为30°,则这个圆台的侧面积是(　　) A.6π B.12π C.2π D.2π B 解析 如图,设圆台上底面的半径为r1,下底面的半径为r2,圆台的高为AE=h,由题意可知,∠ABE=30°,可得AB=2h,则(2r1+2r2)·h=6,∴(r1+r2)·h=6, ∴这个圆台的侧面积是(2πr1+2πr2)·2h=2π(r1+r2)h=12π.故选B. 【题型三】简单组合体的表面积 例3 [链接教材习题13.3,T4]如图,一个空间图形是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥,该三棱柱的底面正三角形的边长为2,高为4.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面,顶点在三棱柱下底面的中心处.求: (1)圆锥的底面半径; (2)该空间图形的表面积. 解 (1)设圆锥的底面半径为r,则该底面圆为三棱柱的底面正三角形的内切圆,利用等面积法,得r×(2+2+2)=2×2,解得r= (2)因为正三棱柱的表面积为22×2+3×2×4=24+2,倒圆锥的底面圆的面积为π×()2=,倒圆锥的母线长为, 所以倒圆锥的侧面积为π, 所以该空间图形的表面积为(24+2)-=24+2+2π. 规律方法　怎样求组合体的表面积 (1)求组合体的表面积的基本步骤: ①弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么; ②根据组合体的组成形式设计计算思路; ③根据公式计算求值. (2)求组合体的表面积的解题策略: ①对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响; ②对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化. 跟踪训练3 如图1,一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图2,已知该圆锥的高为3米,圆柱的高为4米,底面直径为8米.求该蒙古包的侧面积. 图1 图2 解 由题意可知BC=DE=4米,AE=3米,BE=4米,则AD==5(米). 圆锥的侧面积S1=π·DE·AD=π×4×5=20π(平方米), 圆柱的侧面积S2=2π·BC·BE=2π×4×4=32π(平方米), ∴该蒙古包的侧面积S=S1+S2=20π+32π=52π(平方米). 故该蒙古包的侧面积为52π平方米. $