13.2.4 第2课时 两平面垂直(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦两平面垂直核心内容，系统梳理二面角（含半平面、定义、平面角）的概念，衔接面面垂直的定义、判定定理及性质定理，构建从概念到应用的完整学习支架。 以笔记本电脑开合实例引入，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过“想一想”问题引导数学思维，结合“一作二证三求”通性通法提升逻辑推理，题型与跟踪训练助力学生巩固，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

第2课时　两平面垂直 课标要求 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角（直观想象、数学运算）. 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直（逻辑推理）. 3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题（逻辑推理）. 　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉. 【问题】　如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角”呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　二面角的概念 1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成　　　　，其中的每一部分都叫作　　　　. 2.二面角：一条直线和由这条直线出发的　　　　　　所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面.如图①，②中，棱为l或AB，面为α，β，记作二面角α-l-β（α-AB-β）或P-l-Q（P-AB-Q）（P，Q分别为在α，β内且不在棱上的点）. 3.二面角的平面角 定义 一般地，以二面角的棱上　　　　　　为端点，在两个面内分别作垂直于　　的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，　　　　　　，O∈l，　　　　，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 二面角α的取值范围为0°≤α≤180° 规定 二面角的大小可以用它的　　　　来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是　　　　的二面角叫作直二面角 【想一想】 　二面角与平面几何中的角有什么区别？ 知识点二　平面与平面垂直的判定定理 1.平面与平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是　　　　　　，那么就说这两个平面　　　　　　. 2.平面垂直的画法：两个互相垂直的平面通常画成如图①，②所示. 此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β垂直，记作　　　　. 3.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 　　提醒：判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线. 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面　　　　，如果一个　　　　有一条直线垂直于这两个平面的　　，那么这条直线与另一个平面　　　　 图形语言 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，　　　　⇒a⊥β 　　提醒：对面面垂直的性质定理的再理解：①定理成立的条件有三个：（ⅰ）两个平面互相垂直；（ⅱ）直线在其中一个平面内；（ⅲ）直线与两平面的交线垂直；②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；③已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 【想一想】 如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.这种说法正确吗？ 1.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（　　） A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B.AO⊥l，BO⊥l C.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 2.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　） A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的大小为　　　　. 题型一｜求二面角的大小 【例1】　（链接教科书第192页例3）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. （1）求二面角A-PD-C的大小； （2）求二面角B-PA-C的大小. 通性通法 求二面角大小的步骤 　　简称为“一作二证三求”. 提醒：作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点. 【跟踪训练】 1.在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（　　） A.　 B.　 　　C. 　 D. 2.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，则二面角P-BC-A的大小为（　　） A.30°　 B.45°　　C.60°　 D.90° 题型二｜平面与平面垂直的判定定理的应用 【例2】　（链接教科书第193页例4）如图所示，在四面体A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 通性通法 证明面面垂直常用的方法 （1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 【跟踪训练】 如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点.求证：平面BDC1⊥平面BDC. 题型三｜平面与平面垂直的性质定理的应用 【例3】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点. （1）求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB. 通性通法 1.在应用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直. 2.面面垂直的性质定理等价于：如果两个平面互相垂直，则过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在这个平面内. 【跟踪训练】如图所示，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD.则AE与平面BCD的位置关系为　　　　. 1.如图，AB是圆的直径，PA⊥BC，C是圆上一点（不同于A，B），且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为（　　） A.60°　　 B.30°　　　C.45°　　 D.15° 2.〔多选〕已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥AB， PA⊥AC， AB⊥AC，则下列关系中正确的有（　　） A.平面PAB⊥平面ABC B.平面PAC⊥平面ABC C.平面PAB⊥平面PAC D.平面PBC⊥平面ABC 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则二面角D1-BC-D的余弦值为　　　　. 4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD. 提示：完成课后作业　第十三章　13.2　13.2.4　第2课时 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　两平面垂直 【基础落实】 知识点一 1.两部分　半平面　2.两个半平面　 3.任意一点　棱　α∩β＝l　OA⊥l　平面角　直角 想一想 　提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 知识点二 1.直二面角　互相垂直　2.α⊥β 知识点三 　垂直　平面内　交线　垂直　a⊥l 想一想 　提示：不正确.当垂直于交线的直线不落在两个互相垂直平面其中之一时，该直线可能与两个平面都不垂直. 自我诊断 1.D 2.D　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D. 3.45°　解析：由正方体的性质易知，∠ABA1是二面角A-BC-A1的平面角，且∠ABA1＝45°. 【典例研析】 【例1】　解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. 又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD. ∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A-PD-C的大小为90°. （2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的大小为45°. 跟踪训练 1.B　由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则cos∠AEB＝，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故选B. 2.B　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB.又AB∩PA＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.∵PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴∠PBA是二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°，∴二面角P-BC-A的大小为45°.故选B. 【例2】　证明：法一（利用定义证明）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝a，BD＝＝a. 在Rt△ABD中，AD＝a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角， 故平面ABC⊥平面SBC. 法二（利用判定定理）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC. 跟踪训练 　证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1A1， ∴BC⊥平面ACC1A1. 又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°， ∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC. 又∵DC∩BC＝C，DC，BC⊂平面BDC， ∴DC1⊥平面BDC， ∵DC1⊂平面BDC1， ∴平面BDC1⊥平面BDC. 【例3】　证明：（1）连接PG（图略），∵△PAD为正三角形，且点G为AD边的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD. ∵BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG. 又四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，连接BD（图略），则△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，且AD⊂平面PAD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD. （2）由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD. 又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥平面PBG. ∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB. 跟踪训练 　平行　解析：如图所示，取BC的中点M，连接DM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD. 随堂检测 1.C　∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC.又PA⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC＝BC，PC∩AC＝C，∴由二面角的定义，得∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.故选C. 2.ABC　对于A，因为PA⊥AB，PA⊥AC， AB∩AC＝A，又AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故A正确；对于B，PA⊥平面ABC，又PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故B正确；对于C，因为AB⊥PA，AB⊥AC， PA∩AC＝A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，故C正确；对于D，假设平面PBC⊥平面ABC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为D，则D∈BC，又PA⊥平面ABC，所以点A与点D重合，则A，B，C三点共线，与△ABC矛盾，故D错误.故选A、B、C. 3.　解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，∴CD1＝.∵BC⊥平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴BC⊥CD1.又平面D1BC∩平面BCD＝BC，BC⊥CD，∴∠D1CD为二面角D1-BC-D的平面角，cos∠D1CD＝＝＝，∴二面角D1-BC-D的余弦值为. 4.证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF， 所以EF是△SAC的中位线，所以EF∥SC. 因为SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD. 又EF⊂平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $