13.2.4 第2课时 两平面垂直-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦两平面垂直，涵盖二面角及其平面角、面面垂直的判定与性质定理。以笔记本电脑打开情境导入，通过问题引导学生从直观感知过渡到数学抽象，搭建从空间图形到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养直观想象，通过“一作二证三求”等通性通法总结提升逻辑推理能力，结合正方体、正四面体等实例深化理解。分层练习设计帮助学生巩固，教师可依托此资料高效开展教学，提升学生空间观念与数学运算素养。

第2课时　两平面垂直 1 1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角（直观想象、数学运算）. 2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直（逻辑推理）. 3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大 的感觉. 【问题】　如何用数学语言刻画两个平面所形成的这种“角”呢？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　二面角的概念 1. 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成 ，其中的每一部 分都叫作 ⁠. 2. 二面角：一条直线和由这条直线出发的 ⁠所组成的图形叫 作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每 个半平面叫作二面角的面.如图①，②中， 棱为l或AB，面为α，β，记作二面角 α-l-β（α-AB-β）或P-l-Q（P-AB-Q） （P，Q分别为在α，β内且不在棱上的点）. 两部分　 半平面　 两个半平面　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 二面角的平面角 定义 一般地，以二面角的棱上 为端点，在两个面内分 别作垂直于 的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的 平面角 图示 任意一点　 棱　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 符号 OA⊂α，OB⊂β， ，O∈l， ⁠， OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 二面角α的取值范围为0°≤α≤180° 规定 二面角的大小可以用它的 来度量，二面角的平面角 是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是 ⁠的二面 角叫作直二面角 α∩β＝l　 OA⊥l　 平面角　 直角　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 　二面角与平面几何中的角有什么区别？ 提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　平面与平面垂直的判定定理 1. 平面与平面垂直的定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是 ⁠ ，那么就说这两个平面 ⁠. 2. 平面垂直的画法：两个互相垂直的平面通常画成如图①，②所示. 此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面α与β垂直， 记作 ⁠. 直二 面角　 互相垂直　 α⊥β　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 　　提醒：判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关 键是在平面内寻找另一个面的垂线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面 ，如果一个 ⁠有一条直线垂直 于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平 面 ⁠ 图形语言 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α， ⇒a⊥β 垂直　 平面内　 交线　 垂直　 a⊥l　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：对面面垂直的性质定理的再理解：①定理成立的条件有三个： （ⅰ）两个平面互相垂直；（ⅱ）直线在其中一个平面内；（ⅲ）直线与两 平面的交线垂直；②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明 线面垂直；③已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化 为线线垂直. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.这种 说法正确吗？ 提示：不正确.当垂直于交线的直线不落在两个互相垂直平面其中之一 时，该直线可能与两个平面都不垂直. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面 角，则必须具有的条件是（　　） A. AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B. AO⊥l，BO⊥l C. AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D. AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　） A. α∥γ B. α⊥γ C. α与γ相交但不垂直 D. 以上都有可能 √ 解析： 　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底 面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的大小 为 ⁠. 解析：由正方体的性质易知，∠ABA1是二面角A-BC-A1的平面角，且 ∠ABA1＝45°. 45°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜求二面角的大小 【例1】　（链接教科书第192页例3）如图，四边形ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求二面角A-PD-C的大小； 解： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. 又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD. ∵PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD. 又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A-PD-C的大小为90°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求二面角B-PA-C的大小. 解： ∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的大小为45°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求二面角大小的步骤 　　简称为“一作二证三求”. 提醒：作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无 关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连 接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD， AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A- CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE ＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则 cos∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，则二面 角P-BC-A的大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 解析： 　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥AB. 又AB∩PA＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB. ∵PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴∠PBA是二面角P-BC-A的平面角.在 Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°，∴二面角P-BC-A的大小为 45°.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜平面与平面垂直的判定定理的应用 【例2】　（链接教科书第193页例4）如图所示，在四面体A-BCS中，已 知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面 ABC⊥平面SBC. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：法一（利用定义证明）　因为∠BSA＝∠CSA＝ 60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a， 所以SD＝ a，BD＝ ＝ a. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 在Rt△ABD中，AD＝ a， 在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2， 所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角， 故平面ABC⊥平面SBC. 法二（利用判定定理）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝ ∠CSA＝60°， 所以SA＝AB＝AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明面面垂直常用的方法 （1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直， 即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂 直于此平面. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°， AA1＝2AC，D是棱AA1的中点.求证：平面BDC1⊥平面BDC. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面 ACC1A1， ∴BC⊥平面ACC1A1. 又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°， ∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC. 又∵DC∩BC＝C，DC，BC⊂平面BDC， ∴DC1⊥平面BDC， ∵DC1⊂平面BDC1， ∴平面BDC1⊥平面BDC. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜平面与平面垂直的性质定理的应用 【例3】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为a的菱 形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，G为AD边的中点. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求证：BG⊥平面PAD； 证明：连接PG（图略），∵△PAD为正三角形，且点G为AD边的 中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面 ABCD. ∵BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG. 又四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，连接BD（图略），则△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，且AD⊂平面PAD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求证：AD⊥PB. 证明： 由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD. 又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥平面PBG. ∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 在应用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅 助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂 直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直. 2. 面面垂直的性质定理等价于：如果两个平面互相垂直，则过一个平面内 一点垂直于另一个平面的直线在这个平面内. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC， BD＝CD. 则AE与平面BCD的位置关系为 ⁠. 解析：如图所示，取BC的中点M，连接DM，因为BD＝ CD，所以DM⊥BC. 又因为平面BCD⊥平面ABC，平面 BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面 ABC，所以AE∥DM. 又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面 BCD，所以AE∥平面BCD. 平行　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 如图，AB是圆的直径，PA⊥BC，C是圆上一点（不同于A，B）， 且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为（　　） A. 60° B. 30° C. 45° D. 15° √ 解析： 　∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC. 又PA⊥BC，AC∩PA＝A， AC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC. 而PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC. 又平面ABC∩平面PBC＝BC，PC∩AC＝C，∴由二面角的定义，得 ∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC，得 ∠PCA＝45°.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥AB， PA⊥AC， AB⊥AC，则下列关系中正确的有（　　） A. 平面PAB⊥平面ABC B. 平面PAC⊥平面ABC C. 平面PAB⊥平面PAC D. 平面PBC⊥平面ABC √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，因为PA⊥AB，PA⊥AC， AB∩AC＝A，又AB⊂ 平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又PA⊂平面PAB，所以 平面PAB⊥平面ABC，故A正确；对于B，PA⊥平面ABC，又PA⊂平面 PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故B正确；对于C，因为AB⊥PA， AB⊥AC， PA∩AC＝A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥ 平面PAC，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，故C正确；对于 D，假设平面PBC⊥平面ABC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为D，则 D∈BC，又PA⊥平面ABC，所以点A与点D重合，则A，B，C三点共 线，与△ABC矛盾，故D错误.故选A、B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝1，则二面角 D1-BC-D的余弦值为 ⁠. 　 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2， AA1＝1，∴CD1＝ .∵BC⊥平面DCC1D1，CD1⊂ 平面DCC1D1，∴BC⊥CD1.又平面D1BC∩平面BCD＝ BC，BC⊥CD，∴∠D1CD为二面角D1-BC-D的平面角， cos ∠D1CD＝ ＝ ＝ ，∴二面角D1-BC-D的余弦值为 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是 SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD. 证明：如图所示，连接AC交BD于点F，连接EF， 所以EF 是△SAC的中位线，所以EF∥SC. 因为SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD. 又EF⊂平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正 确的是（　　） A. 若m⊥n，n∥α，则m⊥α B. 若m∥β，β⊥α，则m⊥α C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α、m与α相交或m⊂α，故A 错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α、m与α相交或m⊂α，故B错 误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正 确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α、m与α相交或m⊂α， 故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝ AD，则二面角A-BD-C的 大小为（　　） A. 60° B. 30° C. 45° D. 15° √ 解析： 因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC. 又因为 BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BD⊥平面ACD. 因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为二面角A-BD-C的 平面角.在Rt△ACD中，AC＝ AD，所以∠ADC＝30°，故二面角A- BD-C的大小为30°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点 C1在底面ABC上的射影点H必在（　　） A. 直线AB上 B. 直线BC上 C. 直线AC上 D. △ABC内部 √ 解析： 　连接AC1（图略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B， AB，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面 ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面 ABC的交线AB上，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1， B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° √ 解析： 　在三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则 BC⊥BB1.又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC. 所以 ∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角.因为△ABC为等边三角形，所以 ∠ABC＝60°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中 正确的是（　　） A. 若α∥β，l∥β，则l∥α B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β C. 若l⊥α，l∥β，则α⊥β D. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或 l⊂α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则 α∥β，故B正确；对于C，如图，若l⊥α，l∥β，过l 的平面γ与β相交，设交线为m，∵l∥β，l⊂γ， β∩γ＝m，则l∥m，∵l⊥α，则m⊥α，∵m⊂β， 故α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，在正四面体A-BCD中，E，F，G分别是BC，CD， DB的中点，下面四个结论中正确的是（　　） A. BC∥平面AGF B. EG⊥平面ABF C. 平面AEF⊥平面ACD D. 平面ABF⊥平面BCD √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵F，G分别是CD，DB的中点，∴GF∥BC，则BC∥平 面AGF，故A正确；∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点， ∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，∵EG∥CD，∴EG⊥平面 ABF，故B正确；∵CD⊥平面ABF，CD⊂平面BCD，∴平面ABF⊥平面 BCD，故D正确；对于选项C，假设平面AEF⊥平面ACD，由平面AEF∩ 平面ACD＝AF，CD⊂平面ACD，CD⊥AF，∴CD⊥平面AEF， CD⊥EF，与CD，EF夹角为60°矛盾，故C错误.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三 角形，PA＝ ，则二面角P-BC-A的大小为 ⁠. 解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二 面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝ ，PA＝ ，所以 △POA为直角三角形，∠POA＝90°. 90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2， AC＝BC＝ ，等边三角形ADB以AB为轴运动.当平面ADB ⊥平面ABC时，CD＝ ⁠. 解析：如图，取AB的中点E，连接DE，CE. 因为△ADB是等 边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时，因为平 面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC. 所以 DE⊥CE. 由已知可得DE＝ ，EC＝1.在Rt△DEC中，CD ＝ ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的 角分别为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则 ＝ ⁠. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a， ∴AB∶A'B'＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD， AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均为正方形. （1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD； 解： 证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均 为正方形， 所以AA1⊥AD，AA1⊥AB. 又AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD， 所以AA1⊥平面ABCD. 因为AA1⊂平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求二面角B1-CD-A的余弦值. 解：过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）. 由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD， 又BH∩BB1＝B，BH，BB1⊂平面BB1H， 所以CD⊥平面BB1H， 所以B1H⊥CD， 所以∠BHB1为二面角B1-CD-A的平面角. 由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝ ， 所以B1H＝ ＝ ，故 cos ∠BHB1＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，则二面角A1-BC-A 的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　取BC的中点M，连接AM，A1M，因为△ABC为 等边三角形，所以AM⊥BC. 又因为AA1⊥平面ABC，AB， AC，AM⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，AA1⊥ AM. 易知△AA1B≌△AA1C，所以A1B＝A1C，则A1M⊥ BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠AMA1.设AB＝2，则A1A＝2，AM＝ ，A1M＝ ＝ ，所以 cos ∠AMA1＝ ＝ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC， PA＝2AB，则下列结论中正确的是（　　） A. PB⊥AD B. 平面PAB⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABC所成的角为45° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，A错误；平 面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面PBC垂直，B错误； BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，C错误；直线PD 与平面ABC所成角为∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝ 45°，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC把平面ACD折 起，使平面ACD⊥平面ABC，则折叠后∠BCD的余弦值为 ⁠. 解析：过点D作DE⊥AC，垂足为点E，连接BE，结 合平面ACD⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，所以 DE⊥BE. 又CD＝AB＝4，AD＝3，则AC＝5，DE ＝ ，AE＝ ，在Rt△ABC中， cos ∠CAB＝ ＝ ，在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB· cos ∠CAB＝ ，所以DB2＝DE2＋BE2＝ .在△BCD中，由余弦定理得 cos ∠BCD＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面 PBC，点E为垂足. （1）求证：PA⊥平面ABC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明： 如图，在平面ABC内取一点D， 作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， ∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA. 作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. ∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， ∴PA⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 证明： 如图，连接BE并延长交PC于点H. ∵点E是△PBC的垂心， ∴PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴PC⊥AE. ∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 由（1）知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM ＝2MD. 将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，E 是线段AM的中点. （1）求证：平面BDE⊥平面ABCM； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：证明：由已知DA＝DM，E是AM 的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM， 平面ADM∩平面ABCM＝AM， DE⊂平面ADM， ∴DE⊥平面ABCM. ∵DE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件； （ⅰ）l⊂平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD？请说明理由. 解：过B点存在一条直线l，同时满足 以下两个条件： （ⅰ）l⊂平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD. 理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，l⊂平面ABCM， ∴l⊥平面ADM. ∵AD⊂平面ADM，∴l⊥AD. 故存在满足题意的直线l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $