13.1.3 直观图的斜二测画法(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦“直观图的斜二测画法”核心知识点，系统梳理水平放置平面图形与空间图形的画法步骤，明确原图形与直观图的“三变三不变”及面积关系，构建从平面到空间、从步骤到应用的递进学习支架。 资料以“水立方”抽象几何体为情境引入，通过问题驱动激发探究欲，设置平面图形、空间几何体直观图画法及还原计算题型，结合通性通法总结。注重直观想象与数学运算核心素养培养，课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过例题与跟踪训练巩固知识、查漏补缺。

13.1.3　直观图的斜二测画法 课标要求 能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、柱、锥、台及其简单组合体）的直观图（直观想象、数学运算）. 图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体. 【问题】　你能画出一个长方体吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　斜二测画法 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 　　提醒：对斜二测画法的再理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”. 2.用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤 （1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝　　，且∠yOz＝　　； （2）画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'O'y'＝　　　（或　　　），∠x'O'z'＝　　，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面； （3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中　　　　　　　　　；平行于y轴的线段，在直观图中　　　　　　　　　　. 　　提醒：（1）斜二测画法下原图形与直观图中的“三变”与“三不变”： ①“三变” ②“三不变” （2）斜二测画法下原图形与直观图面积的关系：①S直观图＝S原图形；②S原图形＝2S直观图. 1.下列说法中正确的是（　　） A.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变 B.在空间图形的直观图中，原来平行的直线仍然平行 C.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变 D.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45° 2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是（　　） 3.△AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是（　　） A.　 　　　 B.4 C.2　 D.4 题型一｜平面图形的直观图的画法 【例1】　（链接教科书第158页例4）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 通性通法 画平面图形的直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段. 【跟踪训练】 按如图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 题型二｜空间几何体的直观图的画法 【例2】　（链接教科书第159页例5）已知一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥）的底面边长为4，高为3，用斜二测画法画出此正四棱锥的直观图. 通性通法 　　用斜二测画法画空间图形的直观图的原则 （1）用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴，y轴，z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x'轴，y'轴，z'轴的线段； （2）平行于x轴，z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的. 【跟踪训练】 已知一棱柱的底面是边长为3 cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm，用斜二测画法画出此棱柱的直观图. 题型三｜直观图的还原与计算 【例3】　（1）如图①，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'＝，则这个平面图形的面积是（　　） A.1　 B.　　　C.2　 D.4 （2）如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积. 通性通法 直观图的还原技巧 　　由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 【跟踪训练】 1.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（　　） A.等腰三角形　　　 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形　 D.直角三角形 2.已知等边△ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（　　） A.a2　 B.a2 C.a2　 D.a2 1.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成（　　） A.平行于z'轴且长度为10 cm B.平行于z'轴且长度为5 cm C.与z'轴成45°且长度为10 cm D.与z'轴成45°且长度为5 cm 2.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图形是（　　） 3.〔多选〕对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是（　　） A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.锐角在直观图中依然是锐角 C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 4.如图，等腰直角三角形O'A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则原图形的面积是　　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　13.1　13.1.3 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1.3　直观图的斜二测画法 【基础落实】 知识点 1.45°　135°　水平面　x'轴或y'轴　保持原长度不变　一半　2.（1）90°　90°　（2）45°　135°　90°　（4）保持原长度不变　长度为原来的一半 自我诊断 1.B　在斜二测画法中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半，故A错误，C错误；在空间图形的直观图中，原来平行的直线仍然平行，故B正确；对于D，∵∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，∴在直观图中，∠A＝45°或135°，故D错误.故选B. 2.C　正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 3.D　依题意，由斜二测画法规则知，△AOB的底边OB＝O'B'＝2，边OB上的高h＝2×2，所以△AOB的面积是S＝·OB·h＝4.故选D. 【典例研析】 【例1】　解：画法：（1）如图所示，取AB所在的直线为x轴，以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 跟踪训练 　解：画法：（1）作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H，如图①. （2）画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于O'，使∠x'O'y'＝45°，如图②. （3）在图②中的x'轴上取O'B'＝OB，O'G'＝OG，O'C'＝OC，O'H'＝OH，y'轴上取O'E'＝OE，分别过G'和H'作y'轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'＝GA，H'D'＝HD. （4）连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'，如图③. 【例2】　解：（1）画轴.如图①，画x'轴，y'轴，z'轴，使得∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°. （2）画底面.以点O'为中点，在x'轴上画MN＝4，在y'轴上画PQ＝2，分别过点M，N作y'轴的平行线，过点P，Q作x'轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱锥的底面. （3）画高确定顶点.在z'轴上截取O'S＝3. （4）连线成图.顺次连接SA，SB，SC，SD，去掉作为辅助线的坐标轴，将被遮挡部分改为虚线，就得到了正四棱锥的直观图，如图②. 跟踪训练 　解：（1）画轴.画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面.以点O为中点，在x轴上画MN＝3 cm，在y轴上画PQ＝ cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面. （3）画侧棱.过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'，如图①所示. （4）成图.连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示. 【例3】　（1）C　由题图知，△OAB为直角三角形.∵O'B'＝，∴A'B'＝，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故选C. （2）解：建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2. 连接BC，便得到了原图形（如图）. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. ∴面积为S＝×2＝5. 跟踪训练 1.D　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形. 2.D　法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°，由直观图画法，知A'B'＝AB＝a，O'C'＝OC＝a.过点C'作C'D'⊥O'x'于点D'，则C'D'＝O'C'＝a.所以△A'B'C'的面积是S＝·A'B'·C'D'＝·a·a＝a2. 法二　S△ABC＝a2，又S△A'B'C'＝S△ABC，所以S△A'B'C'＝×a2＝a2. 随堂检测 1.A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A. 2.A　根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A. 3.ACD　对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，由斜二测画法特点知锐角在直观图中不一定是锐角，故B错误；C、D显然正确.故选A、C、D. 4.2　解析：由题意O'A'＝A'B'＝，由已知得△ABC的原图形如图所示，原图形中OA＝2，OB＝2，且OA⊥OB，因此其面积为S＝OA·OB＝×2×2＝2. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $