13.1.1 棱柱、棱锥和棱台(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦棱柱、棱锥、棱台的结构特征及多面体概念，从平面图形过渡到空间几何体，系统梳理三者的定义、相关概念、分类及转化关系，构建空间图形认知的学习支架。 以生活中建筑实例引入，通过“想一想”互动辨析概念本质，结合例题与通性通法指导，培养数学抽象与直观想象素养。课中助力教师引导学生建立空间观念，课后练习题与跟踪训练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

13.1.1　棱柱、棱锥和棱台 课标要求 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构（数学抽象、直观想象）. 　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　棱柱的结构特征 类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱 柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作： 棱柱ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 【想一想】 棱柱的侧棱是否都互相平行且相等？ 知识点二　棱锥的结构特征 类 别 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱 锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共顶点的三角形； 侧棱：相邻侧面的　　　； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 【想一想】 各个面都是三角形的几何体是棱锥吗？ 知识点三　棱台的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱 台 用一个　　　　的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… 　　提醒：（1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱台、三棱锥为例） （2）常见的几种四棱柱之间的转化关系 【想一想】 棱台的侧棱延长后是否会相交于一点？ 知识点四　多面体 定义 由若干个　　　　　　围成的空间图形 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个　　　　　　； 棱：相邻两个面的　　　　； 顶点：棱与棱的公共点 分类 按平面多边形的个数分为四面体、五面体、六面体…… 1.下列几何体中，棱数最多的是（　　） A.五棱锥　　　　 B.三棱台 C.三棱柱　 D.四棱锥 2.〔多选〕下面多面体中，是棱锥的为（　　） 3.下列几何体中，是棱台的为（　　） 题型一｜棱柱的结构特征 【例1】　（1）〔多选〕下列关于棱柱的说法中正确的是（　　） A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 （2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 通性通法 棱柱结构特征的辨析方法 　　判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征： （1）有两个面互相平行； （2）其余各面都是平行四边形； （3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 提醒：（1）以上三个本质特征缺一不可；（2）在概念辨析时，也可用举反例法直接判断（否定）. 【跟踪训练】 下列命题中正确的是（　　） A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的空间图形叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 题型二｜棱锥、棱台的结构特征 【例2】　（1）〔多选〕下列说法中正确的有（　　） A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 （2）下列说法中正确的是（　　） A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 通性通法 判断棱锥、棱台的方法 （1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法； （2）直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【跟踪训练】 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是　　　　. 题型三｜棱柱、棱台、棱锥的画法 【例3】　（链接教科书第153页例1）画一个三棱柱和四棱台. 通性通法 棱柱、棱锥、棱台的画法步骤 （1）画棱柱：①画上底面：画出上底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画侧棱：从上底面多边形的每一个顶点画平行且相等的线段；③画下底面：顺次连接这些线段的另一个端点. （2）画棱锥：①画底面：画出底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画顶点：在底面的上方取一个符合要求的空间点；③画侧棱：顺次连接底面多边形的顶点与棱锥的顶点. （3）画棱台：首先画一个棱锥，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去. 提醒：在画棱柱、棱锥和棱台时，要特别注意被遮挡的线要画成虚线，未被遮挡的线要画成实线.这样不仅虚实分明，还使得空间图形更加富有立体感. 【跟踪训练】 画一个四面体（三棱锥）. 题型四｜多面体的侧面展开图 【例4】　某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（　　） 通性通法 　　多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养. 【跟踪训练】 　如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？ 1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有（　　） A.1个　　　　　　　 B.2个 C.3个　 D.4个 2.下列说法错误的是（　　） A.多面体至少有六条棱 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 3.如图中的几何体叫作　　　　（填“棱柱”“棱锥”“棱台”），PA，PB是它的　　　　，△PBC，△PCD是它的　　　　，四边形ABCD是它的　　　　. 4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　　　　. 提示：完成课后作业　第十三章　13.1　13.1.1 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1　基本立体图形 13.1.1　棱柱、棱锥和棱台 【基础落实】 知识点一 想一想 　提示：由棱柱的定义及特点可知，棱柱的侧棱都互相平行且相等. 知识点二 　公共边 想一想 　提示：不一定是棱锥.如图所示的几何体不是棱锥. 知识点三 　平行于棱锥底面 想一想 　提示：由棱台的特点知棱台的侧棱延长后都相交于一点. 知识点四 　平面多边形　平面多边形　交线 自我诊断 1.A　因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥.故选A. 2.ABD　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A、B、D是棱锥，C不是棱锥，故选A、B、D. 3.D　A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义；D符合棱台的定义. 【典例研析】 【例1】　（1）CD　棱柱的侧面是平行四边形，上下底面可以是三角形，也可以是四边形及多边形，故A错误，B错误；由棱柱的定义易知C正确；对于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，故D正确.故选C、D. （2）解：①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. ②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 跟踪训练 　D　由棱柱的定义知D正确. 【例2】　（1）AB　（2）D　解析：（1）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错. （2） 对于A，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间部分是棱台，A中的平面不一定平行于底面，故A错误；对于选项B、C，可以用反例验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；对于D，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选D. 跟踪训练 　①②　解析：①正确，棱台的侧棱延长后必交于一点，故侧面一定不是平行四边形，而是梯形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体（三棱锥）；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 【例3】　解：（1）画三棱柱可分以下三步完成： 第一步，画上底面——画一个三角形； 第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段； 第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）. （2）画四棱台可分以下三步完成： 第一步，画一个四棱锥； 第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段； 第三步，将多余的线段擦去（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）. 跟踪训练 　解：画四面体可分以下两步完成： 第一步，画底面——画一个△ABC； 第二步，画侧棱——在底面上方任取一点P，顺次连接PA，PB，PC，三棱锥P-ABC即为所画的四面体（如图所示）. 【例4】　A　其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻. 跟踪训练 　解：在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 随堂检测 1.D　三棱锥的四个面均可作为底面.故选D. 2.D　由棱柱的定义知D不正确.故选D. 3.棱锥　侧棱　侧面　底面 4.1∶4　解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $