章末检测（十一）解三角形-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了解三角形的核心知识，包括正弦定理、余弦定理及其应用，通过典型例题将边角关系、形状判断、面积计算等内容串联，构建“定理-应用-实际问题”的知识网络。 其亮点在于融入“数学眼光、思维、语言”素养，如通过测量塔高（题目8）等实际问题培养数学建模，用推理判断三角形形状（题目9）发展逻辑思维，分层设计从基础选择到综合解答题，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情。

章末检测（十一）　解三角形 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在△ABC中，A＝ ，BC＝3，AB＝ ，则C＝（　　） A. 或 B. C. D. 解析： 　由正弦定理，得 sin C＝ ＝ .因为BC＞AB，所以A＞ C，则0＜C＜ ，故C＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 2. 已知三角形的两边长分别为4，5，它们夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2 ＝0的根，则第三边长是（　　） A. B. C. D. 解析： 　设三角形长为4，5的两边的夹角为θ，由2x2＋3x－2＝0，得x ＝ 或x＝－2（舍去），∴ cos θ＝ ，∴第三边长为 ＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 3. 在△ABC中，a＝26， cos A＝ ， cos B＝ ，则b＝（　　） A. 72 B. 18 C. D. 30 解析： 　因为 cos A＝ ，所以 sin A＝ ＝ .同理得 sin B＝ .由 ＝ ，得b＝ ＝ ＝30.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 4. 在△ABC中，a＝x，b＝ ，A＝ ，若该三角形有两个解，则x的取 值范围是（　　） A. （ ，6） B. （2，2 ） C. D. 解析： 　∵三角形有两个解，∴b sin A＜x＜b，即 ＜x＜ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 5. 在△ABC中，若 sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4，则最小角的余弦值为 （　　） A. B. C. D. 解析： 　因为 sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4，所以a∶b∶c＝ 2∶3∶4，设a＝2t（t＞0），则b＝3t，c＝4t，所以A＜B＜C，所以 cos A＝ ＝ ＝ ，所以最小角的余弦值 为 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 6. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ＝ ，则B＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　在△ABC中，由 ＝ ，得2 sin C cos B－ sin A cos B＝ cos A sin B，整理得2 sin C cos B＝ sin A cos B＋ cos A sin B＝ sin （A＋B） ＝ sin C，而 sin C＞0，解得 cos B＝ ，而0＜B＜π，所以B＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 7. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝ 2c，B＝ ，则△ABC的面积为（　　） A. 6 B. 12 C. 6 D. 12 解析： 　由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得36＝4c2＋c2－ 2×2c×c× ＝3c2，解得c＝2 ，a＝4 ，所以△ABC的面积S△ABC ＝ ac sin B＝ ×4 ×2 × ＝6 .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 8. 如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度MN，在琉璃塔的正东 方向找到一座建筑物AB，高度约为39 m，在地面上点C处（B，C，N三 点共线）测得建筑物顶部A和琉璃塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在 A处测得塔顶部M的仰角为15°，则琉璃塔的高度约为（　　） A. 78 m B. 74 m C. 64 m D. 52 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　根据题意，得∠ACM＝180°－45°－30°＝105°，∠MAC ＝30°＋15°＝45°，在△AMC中，∠AMC＝180°－∠MAC－∠ACM ＝30°.在Rt△ABC中，AB⊥AC，∠ACB＝30°，所以AC＝2AB＝78， 在△AMC中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，即 ＝ ，解得CM＝78 ，在Rt△MNC中，MN⊥CN，∠NCM＝45°， 所以MN＝CM sin 45°＝78.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的 是（　　） A. 若 cos A＝ cos B，则△ABC为等腰三角形 B. 若a＝ ，b＝ ，A＝30°，则符合条件的△ABC有且只有一个 C. 若b cos A＝a cos B，则△ABC为等腰直角三角形 D. 若 sin 2A＋ sin 2B－ sin 2C＜0，则△ABC是钝角三角形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，因为 cos A＝ cos B，A，B∈（0，π），所以A＝ B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，由正弦定理得： sin B ＝ ＝ ＝ ，因为b＞a，所以B＞A，即30°＜B＜150°，所 以B＝60°或120°，则三角形有两解，故B错误；对于C，在△ABC中，b cos A＝a cos B，由正弦定理得 sin B cos A＝ sin A cos B，即 sin （A－B） ＝0，因为A，B∈（0，π），所以A－B∈（－π，π），所以A＝B，所 以△ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，若 sin 2A＋ sin 2B＜ sin 2C， 由正弦定理得a2＋b2＜c2，由余弦定理得 cos C＝ ＜0，所以C为 钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝4且 sin A∶ sin B∶ sin C＝1∶2∶ ，下列说法正确的是（　　） A. △ABC为钝角三角形 B. AB边的中线长为3 C. △ABC周长为6＋2 D. △ABC的外接圆面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，∵ sin A∶ sin B∶ sin C＝1∶2∶ ， ∴a∶b∶c ＝1∶2∶ ，设a＝k，b＝2k，c＝ k，∵b＝4，∴k＝2，a＝2，c ＝2 ，又∵c＞b＞a，∴最大角为C，由余弦定理得：c2＝28＝22＋42 －2×2×4 cos C，解得 cos C＝－ ，又∵0＜C＜π，∴C＝ ，∴△ABC 为钝角三角形，故A正确；对于B，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin A＝ ，∵角A为锐角， cos A＝ ＝ ，设 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） AB的中点为D，在△ADC中，由余弦定理得：CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD· cos A＝16＋7－2×4× × ＝3，则CD＝ ，即AB边的中线长为 ，故B错误；对于C，△ABC周长为a＋b＋c＝2＋4＋2 ＝6＋2 ，故C正确；对于D，由正弦定理：R＝ ＝ ，则△ABC外接圆的面积为πR2＝ ，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 11. 图①是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽 弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一 个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的 钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图②所 示，若AB＝7，DE＝2，则（　　） A. BD＝3 B. AD＝5 C. cos ∠ABD＝ D. △ABD的面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 设BD＝x，则AD＝2＋x.在△ABD中，∠ADB＝180°－ 60°＝120°，并由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD· cos ∠ADB，即49＝（2＋x）2＋x2－2（2＋x）x· ，整理得x2＋2x－15 ＝0，解得x＝3（x＝－5舍去），所以BD＝3，AD＝5.则 cos ∠ABD＝ ＝ ＝ ，所以 sin ∠ABD＝ ＝ ，所 以△ABD的面积S＝ AB·BD sin ∠ABD＝ ×7×3× ＝ .故选A、 B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线 航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方 向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两 点间的距离是 ⁠. 解析：根据已知条件可知，在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°， ∠ABC＝105°，所以C＝45°，由正弦定理，得 ＝ ，所以 BC＝ ＝10 . 10 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 13. 在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝ π，则AB边上的高为 　 　. 解析：因为BC＝3，AB＝7，C＝ π，所以由余弦定理可得AB2＝AC2＋ BC2－2AC·BC· cos π，即49＝AC2＋9＋3AC，解得AC＝5或AC＝－8 （舍去），设AB边上的高为h，则 AB·h＝ AC·BC· sin C，即7h＝ 3×5× ⇒h＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析：∵a＝3 ，c＝ ， cos C＝ ，C∈（0，π），∴ sin C＝ ＝ ，由正弦定理，得 sin A＝ ＝ ＝ ，可得 cos A ＝ ＝± ，当 cos A＝ 时， cos B＝－ cos （A＋C）＝ sin A sin C－ cos A cos C＝ × － × ＝－ ＜0，由于b＜a，B为锐 角，矛盾，舍去，∴ cos A＝－ ， cos B＝－ cos （A＋C）＝ sin A sin C － cos A cos C＝ × － × ＝ ，可得 sin B＝ ＝ ，由正弦定理可得b＝ ＝ ＝3. 14. △ABC中，a＝3 ，c＝ ， cos C＝ ，则 sin A＝ 　 　，若b ＜a，则b＝ ⁠. 　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，且a（ sin C＋ cos C）＝b＋c. （1）求角A的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解： 因为a（ sin C＋ cos C）＝b＋c， 由正弦定理得， sin C sin A＋ sin A cos C＝ sin B＋ sin C＝ sin （A＋ C）＋ sin C， 又 sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C， 所以 sin C sin A－ cos A sin C＝ sin C，又因为C∈（0，π），则 sin C＞0， 所以 sin A－ cos A＝1，整理得 sin （A－ ）＝ ， 又A∈（0，π），则A－ ∈（－ ， ）， 所以A－ ＝ ，则A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）若a＝ ，C＝ ，线段CA延长线上一点D满足AD＝4，求BD的 长. 解： 如图所示，在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得c＝2， 因为∠BAC＝ ，由题意可得∠BAD＝ ，AD＝4， 在△BAD中，AB＝c＝2，由余弦定理可得BD ＝ ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 16. （本小题满分15分）如图，已知A，B，C是一条直路上的三点，AB ＝BC＝1 km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向， 在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路 ABC的最短距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解：由题意得∠CMB＝30°，∠AMB＝45°， ∵AB＝BC＝1，∴S△MAB＝S△MBC， 即 MA×MB× sin 45°＝ MC×MB× sin 30°， ∴MC＝ MA， 在△MAC中，由余弦定理，得AC2＝MA2＋MC2－2MA×MC× cos75°， ∴MA2＝ ， 设M到AB的距离为h km， 则由△MAC的面积得 MA×MC× sin 75°＝ AC×h， ∴h＝ × sin 75°＝ × × sin 75°＝ . ∴塔到直路ABC的最短距离为 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 17. （本小题满分15分）在① cos A＝ ，②b cos C＝（2a－c） cos B 中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答. 问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 　　. （1）求B； 解： 选择条件①：因为 cos A＝ ， 在△ABC中，由余弦定理可得 ＝ ，化简得a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理可得 cos B＝ ＝ ＝ ， 因为B∈（0，π），所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 选择条件②：因为b cos C＝（2a－c） cos B，由正弦定理得， sin B cos C＋ sin C cos B＝2 sin A cos B. 即 sin （B＋C）＝2 sin A cos B， 则 sin A＝2 sin A cos B， 因为A∈（0，π）， sin A≠0，所以 cos B＝ ， 因为B∈（0，π），所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）若△ABC的外接圆半径为1，且 cos A cos C＝－ ，求a＋c. 注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分. 解： 因为B＝ ，所以A＋C＝ ，即 cos （A＋C）＝－ ， 即 cos A cos C－ sin A sin C＝－ ， 又因为 cos A cos C＝－ ，所以 sin A sin C＝ . 由于△ABC的外接圆半径R＝1，由正弦定理可得 sin A sin C＝ · ， 可得ac＝ ，所以b＝2R sin B＝ ， 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝（a＋c）2－3ac＝3， 所以a＋c＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 18. （本小题满分17分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c.向量m＝（ cos B， cos A），n＝（b－2c，－a），且m∥n. （1）求角A； 解： 因为m∥n， 所以（b－2c） cos A＋a cos B＝0， 即b cos A＋a cos B＝2c cos A， 由余弦定理得b· ＋a· ＝2c cos A， 即c＝2c cos A，所以 cos A＝ ， 又A∈（0，π），所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）若a＝2，①求 的值； ②求△ABC周长的范围. 解： ①由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝ . 所以 ＝ . ②由①知4＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc， 所以bc＝ . 又b＋c≥2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 所以（b＋c）2≥4· ， 即（b＋c）2≤16，所以－4≤b＋c≤4. 又b＋c＞a＝2，所以2＜b＋c≤4. 故4＜a＋b＋c≤6， 即△ABC周长的范围为（4，6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 19. （本小题满分17分）如图，某镇有一块空地形如△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一 个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上， 且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的 △OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网. （1）当AM＝ km时，求防护网的总长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解： 因为在△OAB中，OA＝3 km，OB＝3 km， ∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°. 在△AOM中，由OA＝3 km，AM＝ km，∠OAM＝60°及余 弦定理，得 OM＝ ＝ km. 所以OM2＋AM2＝OA2，即OM⊥AN， 所以∠AOM＝30°，即∠AON＝60°. 所以△OAN为等边三角形，所以△OAN的周长为3OA＝9 km， 即防护网的总长度为9 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）为了节省投入的资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小.问：如何设 计施工方案，可使△OMN的面积最小，最小面积是多少？ 解： 设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°）. 在△OAN中，由 ＝ ，得ON＝ km. 在△AOM中，由 ＝ ，得OM＝ km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 所以S△OMN＝ OM·ON· sin 30°＝ ＝ km2. 当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积最小，最小面积为 km2. 即设计∠AOM＝15°时，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） $