章末检测（十二）复数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学复数章末检测复习课件系统梳理了复数的概念、运算、几何意义及应用，通过单项选择、多项选择、填空、解答等题型，将虚部、纯虚数、共轭复数、模、复平面向量等核心内容串联，构建完整的复数知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展提升”的分层设计，如通过复平面向量题培养几何直观（数学眼光），方程求解题强化逻辑推理（数学思维），帮助学生用数学语言表达数量关系。这种设计让不同水平学生巩固知识，教师也能精准把握学情，提升复习效率。

章末检测（十二）　复数 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z满足（1＋i）z＝2，则z的虚部为（　　） A. －1 B. －i C. i D. 1 解析： 　∵复数z满足（1＋i）z＝2，∴z＝ ＝ ＝1－i， 则z的虚部为－1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 若复数z＝a＋（a2－1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1 解析： 　根据题意，a＝0且a2－1≠0，解得a＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 3. 已知复数z满足（2－i）z＝5（i是虚数单位），z的共轭复数为 ，则 z· ＝（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析： 　由（2－i）z＝5，可得z＝ ＝ ＝2＋i，所以 ＝2 －i，所以z· ＝5.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 4. 在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是 ， ，其中O 是坐标原点，则向量 对应的复数为（　　） A. 1＋i B. 5－i C. 5－3i D. －5＋i 解析： 　由题设 ＝（3，2）， ＝（－2，3），则 ＝ － ＝（－5，1），所以向量 对应的复数为－5＋i.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 5. 若z＝1＋i，则｜iz＋3 ｜＝（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 解析： 因为z＝1＋i，所以iz＋3 ＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i ＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3 ｜＝｜2－2i｜＝ ＝ 2 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 6. 已知i为虚数单位，若 ＝a＋bi（a，b∈R），则ab＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析： 　i为虚数单位， ＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝ ＝a＋ bi，根据复数相等得到 所以ab＝ ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 7. 已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足 ·z2 是纯虚数，则复数z2＝（　　） A. 1－2i B. 1＋2i C. 2－i D. 2＋i 解析： 　由z1＝2＋i，得 ＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1 上，可设z2＝1＋bi（b∈R），则 ·z2＝（2－i）（1＋bi）＝2＋b＋ （2b－1）i.由 ·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故 z2＝1－2i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 8. 已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi， 则复数z＝（　　） A. 2－2i B. 2＋2i C. －2＋2i D. －2－2i 解析： 　由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可得b2＋ （4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋4）＝0，所以 解得 所以z＝2－2i.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 若复数zi＝3＋4i，则（　　） A. ＝－4－3i B. ＝2 C. z＋3i为实数 D. z的虚部为3 √ √ 解析： 因为z＝ ＝4＋ ＝4＋ ＝4－3i，虚部为－3，故D错 误；z＋3i＝4－3i＋3i＝4为实数，故C正确； ＝4＋3i，故A错误； ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 ，故B正 确.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 10. 已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（　　） A. ＝ ＋ B. 若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0 C. ｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜ D. 若 ＋ ＝0，则z1＝z2＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，因为复数z1，z2∈C，所以设z1＝a＋bi，z2＝c＋ di（a，b，c，d∈R），z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i⇒ ＝（a ＋c）－（b＋d）i， ＋ ＝a－bi＋c－di＝（a＋c）－（b＋d） i，故A正确；对于B，因为z1z2＝0，所以z1，z2中至少有一个为0，故B正 确；对于C，因为复数z1，z2∈C，所以设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a， b，c，d∈R），z1·z2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i，｜z1·z2｜＝ ＝ ＝｜z1｜·｜z2｜， 故C正确；对于D，令z1＝1，z2＝i，显然 ＋ ＝0成立，但是z1＝z2＝0 不成立，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 11. 已知z1，z2∈C，方程x2＋x＋1＝0的两个根为z1，z2，则（　　） A. ＝z2 B. ｜z1｜＝｜z2｜ C. ＝z1z2 D. ＝z1z2 √ √ √ 解析： 　由求根公式可知，方程x2＋x＋1＝0的两个根分别为－ ＋ i，－ － i，两根互为共轭复数，即z1，z2互为共轭复数，故A正确；两 根的模长相等且均为1，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） ＝ ＝1，（－ ＋ i）（－ － i）＝ ＋（ ）2＝1，即 ＝ ＝z1z2，故C正确；（－ ＋ i）2＝ － i－ ＝－ － i，（－ － i）2＝ ＋ i－ ＝－ ＋ i，所以 ＝－ － i或－ ＋ i，而z1z2＝1，所以 ≠z1z2，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点分别 为Z1和Z2，且 ⊥ （O为坐标平面），则a＝ 　 　. 解析：依题意可知 ＝（－3，4）， ＝（2a，1）.因为 ⊥ ，所以 · ＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 13. 已知复数z1＝ cos θ－i，z2＝ sin θ＋i，θ∈R，则z1·z2的实部的最大 值为 ⁠. 解析：z1z2＝（ cos θ－i）（ sin θ＋i）＝（ cos θ sin θ＋1）＋（ cos θ－ sin θ）i，而 sin θ cos θ＋1＝ sin 2θ＋1，故z1z2的实部的最大值 为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 14. 已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值 范围为 ⁠. 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜ z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对 应点A（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0）之间 的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B 重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3]. [0，3]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝ .求： （1）z1z2； （1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i. 解：z2＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2） . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 16. （本小题满分15分）复数z＝（1＋i）2＋ ，其中i为虚数单位. （1）求复数z及｜z｜； 解： z＝（1＋i）2＋ ＝2i＋i（1＋i）＝－1＋3i， ｜z｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）若z2＋a ＋b＝2＋3i，求实数a，b的值. 解： 由z2＋a ＋b＝2＋3i得， （－1＋3i）2＋a（－1－3i）＋b＝2＋3i， 即（－8－a＋b）＋（－6－3a）i＝2＋3i， 所以 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 17. （本小题满分15分）（1）在复平面内画出与以下复数z1，z2，z3，z4 分别对应的向量 ， ， ， ，z1＝1，z2＝i，z3＝4＋3i，z4＝ 4－3i； 解： 由题意可得如图所示图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）求向量 ， ， ， 的模； 解：（2）由于 ， ， ， 的坐标分别为（1，0），（0， 1），（4，3），（4，－3）， 则向量 ， ， ， 的模分别为 ｜ ｜＝1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （3）点P1，P2，P3，P4中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它 们所对应的复数有什么关系？ 解： 点P3（4，3），P4（4，－3）关于实轴对称，它们所对应的复 数4＋3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 18. （本小题满分17分）已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i） ＝0. （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； 解： 原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0， 设方程的实数根为x0，则 即 又θ是锐角，故θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）证明：对任意θ≠kπ＋ （k∈Z），方程无纯虚数根. 解： 证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，则－b2 －（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，可得 －b2＋b－2＝0，解得b＝ ，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 19. （本小题满分17分）设z是虚数，ω＝z＋ 是实数，且－1＜ω＜2. （1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围； 解： ∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， ∴ω＝z＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋ ＋（y－ ）i， 可得 ⇒x2＋y2＝1⇒｜z｜＝1， 此时，ω＝2x⇒－ ＜x＜1， 即z的实部的取值范围为（－ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）设μ＝ ，求证：μ为纯虚数； 解： 证明：μ＝ ＝ ＝ ＝ ，∵y≠0， ∴μ为纯虚数. （3）求ω－μ2的最小值. 解： ω－μ2＝2x－（－ i）2， 化简得ω－μ2＝2（x＋1）＋ －3≥ 2 －3＝1. 当且仅当x＋1＝ ，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） $