12.3 复数的几何意义(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦复数的几何意义核心知识点，从实数轴表示实数类比引入复平面，建立复数与点、向量的对应关系，明确模的概念及运算性质，延伸到加减运算的平行四边形与三角形法则，构建完整知识支架。 该资料以高斯创立复平面的历史背景和问题驱动激发兴趣，通过题型分类（如复数与点/向量关系、模的应用）培养数学抽象与直观想象，例题结合通性通法提升数学思维。课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练帮助学生巩固，弥补知识盲点。

12.3　复数的几何意义 【基础落实】 知识点一 1.复平面　x　y　3.｜z｜　｜a＋bi｜　 知识点二 2.距离 自我诊断 1.BC　对于A，原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故A错误；对于B，若一个数是实数，则其虚部存在且为0，故B正确；对于C，复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－1），故C正确；对于D，复数的模可以为0，故D错误.故选B、C. 2.D　z＝＝＝，所以复数z＝在复平面内所对应的点为（，－），位于第四象限.故选D. 3.　解析：＝－＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.则｜｜＝｜1－i｜＝＝. 【典例研析】 【例1】　（1）C　复数5＋6i表示的点为A（5，6），复数3－2i表示的点为B（3，－2），因为C为线段AB的中点，所以C（4，2），故向量对应的复数为4＋2i.故选C. （2）解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数. ①当实数x满足 即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限. ②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应点的坐标为Z（x2＋x－6，x2－2x－15）， 当实数x满足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上. 跟踪训练 1.－6－8i　解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝（4，3），＝（－2，－5）.又＝－＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量表示的复数是－6－8i. 2.解：（1）由题意，知 解得 即－7＜m＜3. 故当－7＜m＜3时，复数z的对应点位于第四象限. （2）由题意，知 由②得m＝－7或m＝4. 因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①， 所以m＝4. 故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上. 【例2】　解：（1）因为｜z1｜＝｜＋i｜＝＝2，｜z2｜＝－＋i ＝ ＝1， 所以｜z1｜＞｜z2｜. （2）法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），则点Z的坐标为（x，y）. 由｜z｜＝｜z1｜＝2，得＝2，即x2＋y2＝4. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜｜＝2（O为坐标原点）， 所以Z到原点的距离为2. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 母题探究 　解：因为｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜≤2，可化为不等式组 设z＝x＋yi（x，y∈R）， 因为不等式｜z｜≥1的解集是圆｜z｜＝1上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式｜z｜≤2的解集是圆｜z｜＝2上和该圆内部所有点组成的集合， 这两个集合的交集，就是满足条件1≤｜z｜≤2的点的集合. 所以满足条件1≤｜z｜≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示. 跟踪训练 1.A　由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1，因为｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆.故选A. 2.解：（1）由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0， 即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0. （2）因为z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i， 所以｜z1＋z2｜＝＝， 故｜z1＋z2｜的最小值为，此时m＝0. 【例3】　解：因为点A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义知与对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i. （1）因为＝－＝－（3＋2i）＝－3－2i， ＝＋＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i， 所以及对应的复数分别为－3－2i，1＋6i. （2）因为＝－＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i， 所以｜｜＝｜5－2i｜＝＝. 跟踪训练 　解：（1）由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋， 于是＝－，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i. （2）由于＝－，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以对应的复数是5. 【例4】　A　由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即复数z在复平面内对应的点与复数－3－4i在复平面内对应的点的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆Q，数形结合可知｜z｜的最大值在点P处取得，则其最大值为＋2＝7.故选A. 跟踪训练 1.A　因为1≤｜z｜≤4，所以点Z所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为1，另一个半径为4，则其面积为π×42－π×12＝15π. 2.B　由｜z｜＝1可知，复数z对应的点在单位圆x2＋y2＝1上，表示单位圆上的动点P（x，y）到点（0，－2）的距离，所以的最大值为＋1＝3. 随堂检测 1.D　z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i在复平面内对应的点为（11，－7），它位于第四象限.故选D. 2.A　由题意得z＝3－4i，所以＝3＋4i，所以＝（3＋4i）2＝－7＋24i.故选A. 3.1或　解析：∵｜z｜＝＝，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为＝1；当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），两点间的距离为＝. 4.解：因为z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即（）2＝－1， 又因为i2＝－1，所以（）2＝i2，所以＝±i，即z＝1±i. 即方程z2－2z＋4＝0的两根为z1＝1＋i，z2＝1－i，对应点为Z1（1，），Z2（1，－）， 所以△OZ1Z2的面积为×1×2＝. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3　复数的几何意义 课标要求 1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模的概念（数学抽象）. 2.理解复数的代数表示及其几何意义（直观想象）. 3.了解复数加、减运算的几何意义（直观想象）. 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础. 　　复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础. 【问题】　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复平面及复数的几何意义 1.复平面：把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作　　　　　，　　轴叫作实轴，　　轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 3.复数的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则向量的模叫作复数z＝a＋bi的模（或绝对值），记作　　或　　　　.由模的定义知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　　　. 　　提醒：复数模的运算性质：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜｜＝；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z＝｜z｜2；③｜z1｜－｜z2｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜. 知识点二　复数加、减法的几何意义 1.复数加、减法的几何意义 设向量，分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）对应，且，不共线. 复数加法的几何意义 以，为两条邻边画▱OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量 复数减法的几何意义 从向量的终点指向向量的终点的向量就是复数z1－z2对应的向量 　　提醒：（1）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则；（2）复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 2.复数的差的模 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则｜z1－z2｜＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的　　　　. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数 B.若一个数是实数，则其存在虚部 C.复数z＝－i在复平面内对应点Z的坐标为（0，－1） D.复数的模一定是正实数 2.（2025·连云港期末）复数z＝在复平面内所对应的点位于（　　） A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 3.已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数的模为　　　　. 　 题型一｜复数与复平面内的点、向量的关系 【例1】　（1）（链接教科书第130页例1）在复平面内，复数5＋6i，3－2i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则向量对应的复数是（　　） A.8＋4i　 B.2＋8i C.4＋2i　 D.1＋4i （2）（链接教科书第131页练习3题）在复平面内，实数x分别取什么值时，复数z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应的点Z在： ①第三象限； ②直线x－y－3＝0上. 通性通法 1.利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 2.复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【跟踪训练】 1.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是　　　　. 2.求当实数m为何值时，复数z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－28）i在复平面内的对应点分别满足下列条件： （1）位于第四象限；（2）位于x轴的负半轴上. 题型二｜复数的模及其几何意义的应用 【例2】　（链接教科书第130页例2、例3）已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. （1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； （2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 【母题探究】 　（变条件，变设问）若本例（2）改为：设z∈C，满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 通性通法 1.在计算复数的模时，应先把复数表示成标准的代数形式，找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. 2.解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：（1）复数z的模｜z｜表示复数在复平面内对应的点Z到原点的距离，可依据｜z｜满足的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决. 【跟踪训练】 1.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（　　） A.1个圆 B.线段　　C.2个点 D.2个圆 2.已知复数z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其中m∈R. （1）若复数z1为实数，求实数m的值； （2）求｜z1＋z2｜的最小值. 题型三｜复数加、减法的几何意义 【例3】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i. 求：（1）及对应的复数； （2）对应的复数及｜｜. 通性通法 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 　　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）. 【跟踪训练】 　已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数. 题型四｜复数差的模的几何意义 【例4】　复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，则｜z｜的最大值是（　　） A.7　　 B.9　　　C.3　　 D.5 通性通法 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 【跟踪训练】 1.设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，若1≤｜z｜≤4，则点Z所在区域的面积为（　　） A.15π　 B.6π　　 C.3π　 D.2π 2.若复数z满足｜z｜＝1，则的最大值为（　　） A.4　 B.3　　 C.2　 D.1 1.i是虚数单位，则复数（3－i）（4－i）在复平面内对应的点位于（　　） A.第一象限　 B.第二象限　　 C.第三象限　 D.第四象限 2.（2025·泰州期末）复数z与复平面内的点（3，－4）对应，则＝（　　） A.－7＋24i　 B.25＋24i C.2　 D.25 3.若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝时，点Z与点（1，2）的距离为　　　　. 4.已知方程z2－2z＋4＝0的两根为z1，z2，对应点为Z1，Z2，求△OZ1Z2的面积. 提示：完成课后作业　第十二章　12.3 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $