10.1.2 第1课时 两角和与差的正弦公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(苏教版)

该教案聚焦两角和与差的正弦公式及辅助角公式，通过回顾两角和差余弦公式与诱导公式，以问题驱动引导学生推导正弦公式，搭建旧知到新知的学习支架。 以逻辑推理为核心，通过公式推导过程培养学生推理能力，结合给角求值、给值求角等题型训练提升数学运算素养，辅助角公式应用实例助力知识迁移，帮助学生深化理解，为教师提供系统教学资源与分层训练素材。

10.1.2　两角和与差的正弦 新课程标准解读 核心素养 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系 逻辑推理 2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征 逻辑推理 3.能够运用两角和与差的正弦公式解决有关求值、化简等问题 数学运算 第1课时　两角和与差的正弦公式 　　观察下面两组公式： 　　（1）cos（－α＋）＝sin α，sin （－α＋）＝cos α； 　　（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C（α＋β）），cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β））. 　　前面一节课我们学习了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱导公式可以实现正弦与余弦的互化. 【问题】　你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式，推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin（α＋β），sin（α－β）的公式吗？ 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的 正弦公式 sin（α＋β）＝　sin αcos β＋cos αsin β　 S（α＋β） α，β∈R 两角差的 正弦公式 sin（α－β）＝　sin αcos β－cos αsin β　 S（α－β） 提醒　两角和与差的正、余弦公式的联系： 知识点二　辅助角公式 1.构造含特殊角的三角函数式 sin x±cos x＝　　sin（x±　　）； sin x± cos x＝　2　sin（x±　　）； sin x±cos x＝　2　sin（x±　　）. 2.构造含辅助角的三角函数式 f（x）＝asin x＋bcos x＝sin（x＋φ）（其中tan φ＝　　）＝cos（x－φ）（其中tan φ＝　　）. 提醒　通过特殊角或辅助角三角函数构造和差角正弦、余弦公式形式，把三角函数的和差化成和差角的一个三角函数，有利于研究三角函数的图象和性质. 1.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的 B.∃α，β∈R，使得sin（α－β）＝sin α－sin β成立 C.sin（α－β）＝sin βcos α－sin αcos β D.sin（α＋β）＝sin α＋sin β 一定不成立 解析：AB　对于A，两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的，故A正确；对于B，当α＝β＝0时，sin（α－β）＝sin α－sin β成立，故B正确；对于C，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，故C错误；对于D，当α＝β＝0时，sin（α＋β）＝sin α＋sin β成立，故D错误.故选A、B. 2.sin 15°＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝.故选B. 3.在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝　　. 解析：sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A，由A＝，得sin A＝，cos A＝，由B为△ABC内角，cos B＝，则sin B＝.则sin C＝ ×＋×＝. 题型一 给角求值 【例1】　（1）（链接教科书第59页练习2题）sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝（　D　） A.－　 　 B.－　 　 C. 　　 D. （2）－＝（　B　） A.2 B.4 C.6 D.8 解析：（1）sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝sin（18°＋12°）＝sin 30°＝. （2）－＝－＝＝＝＝＝4. 通性通法 解决给角化简与求值问题的策略 （1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦； （2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：①将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin（60°－45°）；②逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin（13°＋17°）＝sin 30°；③进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β. 【跟踪训练】 1.（2024·泗阳实验高中月考）计算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：B　sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin（50°＋10°）＝sin 60°＝.故选B. 2.化简：－2cos（α＋β）. 解：原式＝ ＝ ＝＝. 题型二 给值求值 【例2】　（链接教科书第57页例1）（1）已知sin α＝，α∈（，π），cos β＝－，β∈（π，），求sin（α－β）的值； （2）（2024·镇江中学月考）若cos（α＋）＝－，α∈（0，），求sin α的值. 解：（1）由sin α＝，α∈（，π），得cos α＝－＝－＝－. 又由cos β＝－，β∈（π，），得sin β＝－＝－＝－. ∴sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－（－）×（－）＝－. （2）∵α∈（0，），∴＜α＋＜，sin（α＋）＝＝＝，则sin α＝sin（α＋－）＝sin（α＋）cos－cos（α＋）sin＝×－（－）×＝. 通性通法 解给值求值问题的思路及常用变换 （1）解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量，确定哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的终边所在的象限确定符号； （2）解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算及函数名的差异，常见角的变换有： ①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α； ②＝－，＝（ α＋）－； ③＋＝＋（α＋β），＋＝＋（α－β）. 另外，还要特别注意题干中的隐含条件. 【跟踪训练】 　已知α，β都是锐角，且sin α＝，sin（α－β）＝，求sin β的值. 解：∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝＝， ∵α，β都是锐角，∴－＜α－β＜， 又sin（α－β）＝，∴cos（α－β）＝＝， ∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝. 题型三 给值求角 【例3】　已知sin（α＋β）＝，cos α＝，α，β均为锐角，求角β的值. 解：因为α为锐角，则0＜α＜，又cos α＝，所以sin α＝. 又因为β为锐角，则0＜β＜，所以0＜α＋β＜π. 因为sin（α＋β）＝＜sin α，所以cos（α＋β）＝－， 所以sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝×－（－）×＝. 又因为0＜β＜，所以β＝. 通性通法 解决给值求角问题的方法 　　解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是（0，π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 【跟踪训练】 　已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值. 解：因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sin β＝. 所以sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－. 又因为α，β均为锐角，所以－＜α－β＜. 故α－β＝－. 题型四 辅助角公式及应用 【例4】　（链接教科书第58页例3）已知f（x）＝sin x－cos x. （1）将f（x）化成y＝Asin（x＋φ）的形式； （2）求f（x）的最小正周期及最大值. 解：（1）f（x）＝sin xcos－cos xsin＝sin（x－）. （2）由（1）知T＝＝＝2π， 当x－＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值1. 【母题探究】 　（变条件）若本例条件改为：已知f（x）＝sin x－cos x，如何求解？ 解：（1）f（x）＝（sin x－cos x）＝（cossin x－sincos x）＝sin（x－）. （2）由（1）知T＝＝＝2π， 当x－＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值. 通性通法 将asin x＋bcos x化为Asin（ωx＋φ）的方法技巧 （1）对形如sin x±cos x，sin x±cos x的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式，即y＝Asin（x＋φ）的形式； （2）对于不能构造含特殊角的三角函数式也可通过辅助角公式进行化简. 【跟踪训练】 　求函数y＝cos x＋cos（x＋）的最大值. 解：y＝cos x＋cos x－sin x ＝cos x－sin x ＝（cos x－sin x） ＝（sincos x－cossin x） ＝sin（－x）＝－sin（x－）， 故当x－＝－＋2kπ（k∈Z），即x＝－＋2kπ（k∈Z）时，函数y取得最大值. 1.（2024·徐州月考）sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：B　原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin（7°－37°）＝sin（－30°）＝－.故选B. 2.设α∈，若sin α＝，则2sin（α＋）＝　　. 解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝，∴原式＝2＝2×（×＋×）＝. 3.（2024·常州月考）函数f（x）＝sin x－cos（x＋）的值域为　[－，]　. 解析：f（x）＝sin x－cos x＋sin x＝·sin x－cos x＝（sin x－cos x）＝sin（x－），所以f（x）的值域为[－，]. 1.化简sin＋sin＝（　　） A.－sin x　　　　　　　B.sin x C.－cos x D.cos x 解析：B　sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x. 2.（2024·南通月考）在△ABC中，已知sin C＝2sin（B＋C）cos B，则△ABC一定是（　　） A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析：B　由sin C＝2sin（B＋C）cos B得sin（A＋B）＝2sin Acos B，所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin（A－B）＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形.故选B. 3.已知cos（α－β）＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α＝（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：A　∵α∈，β∈，∴cos β＝，∴0＜α－β＜π，∴sin（α－β）＝，∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝×＋×＝＝.故选A. 4.已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，则β＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，由cos α＝得sin α＝，由cos（α－β）＝得sin（α－β）＝，∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝＝，∴β＝.故选C. 5.（多选）已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ不能取得的值是（　　） A. B.　 C. D. 解析：BCD　sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）＝sin.∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin≤.故选B、C、D. 6.（多选）下列计算正确的是（　　） A.sin 15°－cos 15°＝ B.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ C.sin－cos＝ D.sin 105°＝ 解析：BD　对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin（15°－60°）＝sin（－45°）＝－，故A错误；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin－cos＝2（sincos－sincos）＝2sin＝2sin＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin（60°＋45°）＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，故D正确.故选B、D. 7.（2024·宿迁如东中学期中）＝　　. 解析：＝＝＝＝. 8.（2024·泗阳实验高中月考）化简3sin x－3cos x＝　6sin（x－）　. 解析：3sin x－3cos x＝6·（sin x－cos x）＝6sin（x－）. 9.已知sin α＝－，α∈，cos β＝－，β∈，则cos（α＋β）＝　　，sin（α＋β）＝　　. 解析：∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝－＝－，∵cos β＝－，β∈，∴sin β＝，∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝＋＝，sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＝. 10.化简下列各式： （1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）； （2）sin＋2sin－cos. 解：（1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）＝sin αcos 30°－cos αsin 30°＋sin αcos 30°＋cos αsin 30°＝2sin αcos 30°＝sin α. （2）法一　原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x＝sin x＋（sin－2sin－cos）·cos x＝（＋1－×）sin x＋［－2×－×］cos x＝0. 法二　原式＝sin＋cos＋2sin＝2［sin·＋cos（x＋）·］＋2sin＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin＝0. 11.（2024·淮安月考）已知sin θ＋sin＝1，则sin＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B. 12.（多选）已知α，β均为锐角，则下列不等式一定成立的是（　　） A.sin（α＋β）＞sin α＋sin β B.sin（α＋β）＜sin α＋sin β C.cos（α＋β）＞cos α＋cos β D.cos（α＋β）＜cos α＋cos β 解析：BD　对于A，当α＝β＝时，sin（α＋β）＜sin α＋sin β，故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以sin α，cos α，sin β，cos β的范围均为（0，1），所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋sin βcos α＜sin α＋sin β，故B正确；对于C，当α＝β＝时，cos（α＋β）＜cos α＋cos β，故C错误；对于D，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，故D正确.故选B、D. 13.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝　　. 解析：由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sin·cos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝. 14.已知α，β∈（0，），cos α＝，cos（α＋β）＝. （1）求sin β的值； （2）求2α＋β的值. 解：（1）∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π）， 又cos α＝，cos（α＋β）＝， 则sin α＝＝， sin（α＋β）＝＝， ∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝×－×＝. （2）cos（2α＋β）＝cos[（α＋β）＋α]＝cos（α＋β）cos α－sin αsin（α＋β）＝×－×＝0. 由α，β∈（0，），得2α＋β∈（0，）， ∴2α＋β＝. 15.（2024·扬州月考）已知函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋. （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的对称轴和对称中心. 解：（1）函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋＝2＋＝2sin（2x＋）＋， 故它的最小正周期为＝π. （2）令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， 故函数f（x）的对称轴为x＝＋，k∈Z. 令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 故函数f（x）的对称中心为，k∈Z. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $