10.1.1 两角和与差的余弦(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

10.1.1　两角和与差的余弦 课标要求 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤（数学抽象、逻辑推理）. 2.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值（逻辑推理、数学运算）. 　　设向量a＝（cos 75°，sin 75°），b＝（cos 15°，sin 15°），则向量a与向量b的夹角θ＝60°. 【问题】　（1）分别用公式a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ及a·b＝x1x2＋y1y2计算a·b的值，比较两次计算的结果，你能发现什么？ （2）上述结论能否进行推广？即已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），你能得到什么结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角差的 余弦公式 cos（α－β）＝　　　　　 C（α－β） α，β∈R 两角和的 余弦公式 cos（α＋β）＝　　　　　 C（α＋β） 　　提醒：（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos（α－β），cos（α＋β）是一个整体；（2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式. 【想一想】 诱导公式cos＝sin α与两角差的余弦公式有何联系？ 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.cos（60°－30°）＝cos 60°－cos 30° B.∃α，β∈R，cos（α－β）＝cos α－cos β成立 C.对∀α，β∈R，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β都成立 D.∃α，β∈R，cos（α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin β成立 2.coscos－sinsin＝（　　） A.　　 B.　　　C.　　 D.1 3.已知sin＝，α∈，则cos＝　　　　. 题型一｜两角和与差的余弦公式的直接应用 【例1】　（1）（链接教科书第54页例1）利用两角和（差）的余弦公式证明： ①cos（＋α）＝－sin α； ②cos（＋α）＝sin α. （2）利用两角和（差）的余弦公式化简： ①cos（＋α）＋cos（－α）； ②sin（α－β）sin α＋cos（β－α）cos α. 通性通法 1.利用两角和与差的余弦公式可对一些等式进行证明. 2.对有些复杂的式子，要先化简或变形，只有当式子结构与公式结构完全一致时，才可使用两角和（差）的余弦公式. 【跟踪训练】 1.cos（30°＋α）－cos（30°－α）＝（　　） A.sin α　　　　　 B.cos α C.－sin α　 D.－cos α 2.cos（α－β）cos（α＋β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝（　　） A.cos 2α　 B.－cos 2α C.cos 2β　 D.－cos 2β 题型二｜给角求值 【例2】　（链接教科书第55页例2）计算： （1）cos（－75°）； （2）cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°； （3）sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°； （4）cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°. 通性通法 利用公式C（α±β）求值的方法技巧 　　在利用两角差（和）的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（和）（或同一个非特殊角与特殊角的差（和）），运用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差（和）的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值. 【跟踪训练】 1.cos（－15°）＝（　　） A.　 B. C.　 D.－ 2.cos 105°＋sin 105°＝　　　　. 题型三｜给值求值 【例3】　（1）（链接教科书第55页例3）已知sin α＝，α∈（0， ），cos β＝－，β∈（π，），求cos（α－β）的值； （2）已知α，β∈（0，），且cos α＝，cos（α＋β）＝－，求cos β的值. 通性通法 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角； （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）. 【跟踪训练】 　已知cos α＝，sin（α－β）＝，且α，β∈（0，），则cos（2α－β）＝　　　　. 题型四｜给值求角 【例4】　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝　　　　. 【母题探究】 （变条件）若本例中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝　　　　. 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 【跟踪训练】 若cos（α＋β）＝，sin（α－β）＝，且＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，则2β＝　　　　. 1.cos 105°＝（　　） A.　 B. C.　 D. 2.〔多选〕若cos 5xcos（－2x）－sin（－5x）sin 2x＝0，则x的值可能是（　　） A.　　 B.　　C.　　 D. 3.化简：＝　　　　. 4.已知α，β都是锐角，cos α＝，sin（α－β）＝，则cos β＝　　　　. 提示：完成课后作业　第十章　10.1　10.1.1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1　两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 【基础落实】 知识点 　cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β 想一想 　提示：诱导公式cos＝coscos α＋ sinsin α＝sin α，是两角差的余弦公式的特殊情况. 自我诊断 1.BCD　对于A，cos（60°－30°）＝，cos 60°－cos 30°＝－，故A错误；对于B，若α＝，β＝，cos（α－β）＝cos（－）＝，cos α－cos β＝，故B正确；对于C，由两角差的余弦公式，C正确；对于D，若α＝β＝0，则cos（α＋β）＝1，cos αcos β＋sin αsin β＝1，故D正确.故选B、C、D. 2.B　coscos－sinsin＝cos＝cos＝，故选B. 3.－　解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，所以cos＝cos α＋sin α＝－. 【典例研析】 【例1】　解：（1）证明：①cos（＋α）＝coscos α－sinsin α＝－sin α. ②cos（＋α）＝coscos α－sinsin α＝sin α. （2）①原式＝（coscos α－sinsin α）＋（cos·cos α＋sinsin α）＝cos α. ②原式＝cos αcos（β－α）－sin αsin（β－α）＝cos[α＋（β－α）]＝cos β. 跟踪训练 1.C　原式＝（cos 30°cos α－sin 30°sin α）－（cos 30°cos α＋sin 30°sin α）＝－2sin 30°sin α＝－sin α.故选C. 2.C　原式＝cos[（α－β）－（α＋β）]＝cos（α－β－α－β）＝cos（－2β）＝cos 2β.故选C. 【例2】　解：（1）原式＝cos（45°－120°）＝cos 45°cos 120°＋sin 45°sin 120°＝×＋×＝. （2）原式＝cos（15°－105°）＝cos（－90°）＝cos 90°＝0. （3）原式＝－（cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°）＝－cos（34°＋26°）＝－cos 60°＝－ . （4）原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝. 跟踪训练 1.C　cos（－15°）＝cos 15°＝cos（60°－45°）＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝，故选C. 2.　解析：cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos（60°－105°）＝cos（－45°）＝. 【例3】　解：（1）由sin α＝，α∈（0，），得cos α＝＝＝. 又由cos β＝－，β∈（π，），得sin β＝－＝－＝－. ∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×（－）＋×（－）＝－. （2）∵α，β∈（0，），∴0＜α＋β＜π. 由cos（α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝＝＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝. ∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋×＝. 跟踪训练 　　解析：因为α，β∈（0，），所以α－β∈（－，）.又因为sin（α－β）＝＞0，所以0＜α－β＜.又cos α＝，所以sin α＝＝，cos（α－β）＝＝.所以cos（2α－β）＝cos[α＋（α－β）]＝cos αcos（α－β）－sin αsin（α－β）＝×－×＝. 【例4】　　解析：∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.故α－β＝. 母题探究 　－　解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝，∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又∵sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0，故α－β＝－. 跟踪训练 　π　解析：因为cos（α＋β）＝，且＜α＋β＜2π，所以sin（α＋β）＝－.因为sin（α－β）＝，且＜α－β＜π，所以cos（α－β）＝－.所以cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝－1.又易得＜2β＜，所以2β＝π. 随堂检测 1.B　原式＝－cos 75°＝－cos（45°＋30°）＝－（cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°）＝－×＋×＝. 2.BD　由题意知cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝0，即cos（5x－2x）＝0，cos 3x＝0，∴3x＝＋kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z，经检验B、D成立，A、C不成立.故选B、D. 3.　解析：原式＝ ＝ ＝＝. 4.　解析：因为α，β∈（0，），所以α－β∈（－，），所以sin α＝，cos（α－β）＝，所以cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos α·cos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝×＋×＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $