9.3.3 向量平行的坐标表示(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.3.3　向量平行的坐标表示 【基础落实】 知识点 　x1y2－x2y1＝0 想一想 　提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义. 自我诊断 1.BD　对于A，当y1y2＝0时不成立，故A错误；对于C中，向量（2，3）与向量（－4，－6）反向，故C错误；B、D正确.故选B、D. 2.C　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝（6，10）.故选C. 3.　解析：因为向量a与b共线，所以6（x－1）－2（2－x）＝0，解得x＝. 【典例研析】 【例1】　（1）A　A：×（－3）－×（－2）＝－＋＝0，∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D：2×2－3×＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行. （2）解：＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）. 法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和 方向相反. 法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反. 跟踪训练 　证明：由题意知＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1）， ∴＝＝，＝＝， 设点E（x1，y1），F（x2，y2）. ∴＝（x1，y1）－（－1，0）＝，＝（x2，y2）－（3，－1）＝. ∴（x1，y1）＝，（x2，y2）＝， ∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝. ∵4×－（－1）×＝0，∴∥. 【例2】　解：（1）a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4）， 2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2）， 由（a＋2b）∥（2a－2b）， 可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0， 解得λ＝. （2）∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b， ∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2. 当x＝2时，a＝（2，1），b＝（4，2），a与b共线且方向相同； 当x＝－2时，a＝（－2，1），b＝（4，－2）， a与b共线且方向相反.∴x＝2. 跟踪训练 　解：（1）＝＋t＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋3t， 2＋3t）. 如果点P在x轴上，有2＋3t＝0，解得t＝－； 如果点P在y轴上，有1＋3t＝0，解得t＝－. （2）假设四边形OABP为平行四边形，则有＝. 又因为＝（1＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3）， 所以此方程组无解， 故四边形OABP不能构成平行四边形. 【例3】　证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令｜｜＝1，则｜｜＝1，｜｜＝2. ∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形. ∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）. （1）∵＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1），＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），∴＝，∴∥，即DE∥BC. （2）连接MB，MD.∵M为CE的中点，∴M， ∴＝（－1，1）－＝，＝（1，0）－＝. ∴＝－，∴∥. 又与有公共点M，∴D，M，B三点共线. 跟踪训练 　D　＝＋＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故选D. 随堂检测 1.B　因为a∥b，所以2sin α＝cos α，所以tan α＝.故选B. 2.C　法一 由题意，＝（1，3）－（4，－1）＝（－3，4），设与同方向的单位向量为a＝（－3m，4m）（m＞0），则＝＝1，解得m＝－（舍去）或m＝，所以a＝（－，）.故选C. 法二 因为＝（1，3）－（4，－1）＝（－3，4），则＝＝5，所以与同方向的单位向量为＝＝（－3，4）＝（－，）.故选C. 3.1　解析：由A（1，－3），B（8，），C（9，λ），可得＝（7，），＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得∥，则7（λ＋3）－8×＝0，解得λ＝1. 4.解：（1）由a⊥c得2x－4＝0，则x＝2. 由b∥c得－4＝2y，则y＝－2. （2）｜a＋b｜＝＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3.3　向量平行的坐标表示 课标要求 1.能用坐标表示平面向量共线的条件（数学运算）. 2.会用坐标表示平面向量共线的条件解决问题（逻辑推理）. 　　在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1，y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满足关系x1x2＋y1y2＝0. 【问题】　（1）怎样用坐标反映两向量平行呢？ （2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　向量平行的坐标表示 　设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则a∥b⇔　　　　　　. 　　提醒：（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b⇔＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 【想一想】 两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成＝吗？ 1.〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则＝ B.若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1 C.向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向 D.若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b 2.若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是（　　） A.（2，1）　　　　　　　　 B.（－1，2） C.（6，10）　 D.（－6，10） 3.已知向量a＝（2，x－1），b＝（6，2－x），若向量a与b共线，则x＝　　　　. 题型一｜向量共线的判定与证明 【例1】　（1）下列各组向量是平行向量的有（　　） A.a＝，b＝（－2，－3） B.a＝（0.5，4），b＝（－8，64） C.a＝（2，3），b＝（3，4） D.a＝（2，3），b＝ （2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 通性通法 向量共线的判定与证明的方法 （1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b； （2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0. 【跟踪训练】 　已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C（1，2），且＝，＝，求证：∥. 题型二｜利用向量共线求参数 【例2】　（链接教科书第39页例1）（1）已知向量a＝（1，2），b＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值； （2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a与b共线且方向相同，求x. 通性通法 利用向量共线的坐标表示求参数的思路 （1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数； （2）利用向量共线的坐标表示直接求参数. 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解. 【跟踪训练】 　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），点P坐标满足＝＋t（t∈R）. （1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？ （2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由. 题型三｜坐标法判断三点共线问题 【例3】　如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： （1）DE∥BC； （2）D，M，B三点共线. 通性通法 1.三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：（1）证明向量平行；（2）证明两个向量有公共点. 2.若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线. 【跟踪训练】 　已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A.　 B.　 　C.－　 D.－ 1.已知a＝（2，1），b＝（cos α，sin α），且a∥b，则tan α＝（　　） A.2　 B.　　C.－2　 D.－ 2.已知点A（1，3），B（4，－1），则与同方向的单位向量为（　　） A.（，－）　 B.（3，－4） C.（－，）　 D.（－3，4） 3.已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝　　　　. 4.已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，求： （1）实数x，y的值； （2）｜a＋b｜的值. 提示：完成课后作业　第九章　9.3　9.3.3 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $