9.3.3 向量平行的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

9.3.3　向量平行的坐标表示 1 1.能用坐标表示平面向量共线的条件（数学运算）. 2.会用坐标表示平面向量共线的条件解决问题（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1，y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满足关系x1x2 ＋y1y2＝0. 【问题】　（1）怎样用坐标反映两向量平行呢？ （2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　向量平行的坐标表示 　设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则a∥b⇔ ⁠ ⁠. x1y2－ x2y1＝0　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a 与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝ （x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而 简化了代数运算；（3）a∥b⇔ ＝ ，其中a＝（x1，y1），b＝ （x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较 易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成 ＝ 吗？ 提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则 ＝ B. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1 C. 向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向 D. 若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b 解析： 　对于A，当y1y2＝0时不成立，故A错误；对于C中，向量（2， 3）与向量（－4，－6）反向，故C错误；B、D正确.故选B、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是 （　　） A. （2，1） B. （－1，2） C. （6，10） D. （－6，10） 解析： 　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝ （6，10）.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知向量a＝（2，x－1），b＝（6，2－x），若向量a与b共线，则x ＝ ⁠. 解析：因为向量a与b共线，所以6（x－1）－2（2－x）＝0，解得x＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量共线的判定与证明 【例1】　（1）下列各组向量是平行向量的有（　　） A. a＝ ，b＝（－2，－3） B. a＝（0.5，4），b＝（－8，64） C. a＝（2，3），b＝（3，4） D. a＝（2，3），b＝ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A： ×（－3）－ ×（－2）＝－ ＋ ＝0， ∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行.C： 2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D：2×2－3× ＝4＋4 ＝8≠0，∴a，b不平行. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断 与 是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴ 与 共线，通过观察可 知， 和 方向相反. 法二　∵ ＝－2 ，∴ 与 共线且方向相反. 解： ＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3）， ＝（5，－3）－ （1，3）＝（4，－6）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量共线的判定与证明的方法 （1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b； （2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C （1，2），且 ＝ ， ＝ ，求证： ∥ . 证明：由题意知 ＝（2，2）， ＝（－2，3）， ＝（4，－1）， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， 设点E（x1，y1），F（x2，y2）. ∴ ＝（x1，y1）－（－1，0）＝ ， ＝（x2，y2）－（3，－ 1）＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴（x1，y1）＝ ，（x2，y2）＝ ， ∴ ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝ . ∵4× －（－1）× ＝0， ∴ ∥ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜利用向量共线求参数 【例2】　（链接教科书第39页例1）（1）已知向量a＝（1，2），b＝ （λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值； 解： a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4）， 2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2）， 由（a＋2b）∥（2a－2b）， 可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0， 解得λ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a与b共线且方向相同，求x. 解： ∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b， ∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2. 当x＝2时，a＝（2，1），b＝（4，2），a与b共线且方向相同； 当x＝－2时，a＝（－2，1），b＝（4，－2）， a与b共线且方向相反.∴x＝2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用向量共线的坐标表示求参数的思路 （1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数； （2）利用向量共线的坐标表示直接求参数. 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），点P坐标满足 ＝ ＋t （t∈R）. （1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？ 解： ＝ ＋t ＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋3t， 2＋3t）. 如果点P在x轴上，有2＋3t＝0，解得t＝－ ； 如果点P在y轴上，有1＋3t＝0，解得t＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能， 请说明理由. 解： 假设四边形OABP为平行四边形，则有 ＝ . 又因为 ＝（1＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3）， 所以 此方程组无解， 故四边形OABP不能构成平行四边形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜坐标法判断三点共线问题 【例3】　如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD， 过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）DE∥BC； 证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在 直线为y轴建立平面直角坐标系. 令｜ ｜＝1，则｜ ｜＝1，｜ ｜＝2. ∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC， ∴四边形AECD为正方形. ∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1， 1），A（－1，0）. （1）∵ ＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1）， ＝（0，1）－ （1，0）＝（－1，1），∴ ＝ ，∴ ∥ ，即DE∥BC. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）D，M，B三点共线. 证明： 连接MB，MD. ∵M为CE的中点，∴M ， ∴ ＝（－1，1）－ ＝ ， ＝（1，0）－ ＝ . ∴ ＝－ ，∴ ∥ . 又 与 有公共点M，∴D，M，B三点共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同 或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点 共线需分两步完成：（1）证明向量平行；（2）证明两个向量有公共点. 2. 若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知向量 ＝（7，6）， ＝（－3，m）， ＝（－1，2m），若 A，C，D三点共线，则m＝（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　 ＝ ＋ ＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所 以 与 共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－ .故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知a＝（2，1），b＝（ cos α， sin α），且a∥b，则tan α＝ （　　） A. 2 B. C. －2 D. － 解析： 　因为a∥b，所以2 sin α＝ cos α，所以tan α＝ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知点A（1，3），B（4，－1），则与 同方向的单位向量为 （　　） A. （ ，－ ） B. （3，－4） C. （－ ， ） D. （－3，4） √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　法一 由题意， ＝（1，3）－（4，－1）＝（－3，4），设 与 同方向的单位向量为a＝（－3m，4m）（m＞0），则 ＝ ＝1，解得m＝－ （舍去）或m＝ ，所以a＝ （－ ， ）.故选C. 法二 因为 ＝（1，3）－（4，－1）＝（－3，4），则 ＝ ＝5，所以与 同方向的单位向量为 ＝ ＝ （－ 3，4）＝（－ ， ）.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），且A，B，C三点共 线，则λ＝ ⁠. 解析：由A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），可得 ＝（7， ）， ＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得 ∥ ，则7（λ ＋3）－8× ＝0，解得λ＝1. 1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c， b∥c，求： （1）实数x，y的值； 解： 由a⊥c得2x－4＝0，则x＝2. 由b∥c得－4＝2y，则y＝－2. （2）｜a＋b｜的值. 解： ｜a＋b｜＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 下列各组向量中，共线的是（　　） A. a＝（－1，2），b＝（ ，1） B. a＝（3， ），b＝（2， ） C. a＝（2，3），b＝（2，－3） D. a＝（－3，2），b＝（3，－2） √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　选项A中，2× －（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B， C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有 a∥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·泰州期末）在△ABC中，A（1，－2），C（t，1）， ＝ （2，6），则（　　） A. t≠－ B. t≠－ C. t≠ D. t≠2 解析： 　由A（1，－2），C（t，1），得 ＝（t－1，3），因为 AB，AC是△ABC的两条边，所以 ， 不共线，所以2×3≠6（t－ 1），即t≠2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若 a∥b，则b＋c与a的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析： 因为a∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝（2，6）， b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，则（b＋c）⊥a，故b ＋c与a的夹角为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. （2025·盐城期末）已知向量a＝（2，x），b＝（3x，6），则“x＝ 2”是“a∥b”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　因为a∥b，所以2×6＝3x·x，即x2＝4，解得x＝±2，则“x ＝2”是a∥b的充分不必要条件.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中正确 的是（　　） A. 不存在实数x，使a∥b B. 存在实数x，使（a＋b）∥a C. 存在实数x，m，使（ma＋b）∥a D. 存在实数x，m，使（ma＋b）∥b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A正确；a＋b＝（x－ 3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x）＝0，即x2＝－ 9，无实数解，故B错误；ma＋b＝（mx－3，3m＋x），由（ma＋b） ∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0，即x2＝－9，无实数解，故C错 误；由（ma＋b）∥b，得－3（3m＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2 ＋9）＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b与3a－2b 共线，则下列结论正确的是（　　） A. t＝ B. ＝ C. a·b＝－ D. a∥b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋1，－ 1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－8），因为a＋b 与3a－2b共线，所以－8×（t＋1）＋1×（3－2t）＝0，得到t＝－ ， 则 ＝ ＝ ，a·b＝－ －2＝－ ，a＝－2b，即a∥b.故选B、 C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. （2025·南通期末）已知向量a＝（－2，4），b＝（1，x），若 a∥b，则｜b｜＝ ⁠. 解析：因为a∥b，所以－2x－4＝0，解得x＝－2，所以｜b｜＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b，（a ＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），则向量｜ ｜ ＝ ⁠. 解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝（6， －3），b－c＝（1，－2－y）.因为（a＋b）⊥（b－c），所以（a＋ b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所以y＝－4.所以向量 ＝ （y－x，x－y）＝（－8，8）， ＝8 . 8 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知向量 ＝（3，－4）， ＝（0，－3）， ＝（5－m，－3－ m），若点A，B，C不能构成三角形，则实数m的值为 ⁠. 解析：∵A，B，C不能构成三角形，∴A，B，C三点共线，∴ 与 共线.又 ＝（－3，1）， ＝（5－m，－m），∴（－3）·（－m） －（5－m）＝0，即m＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－2），C （4，1）. （1）若 ＝ ，求D点的坐标； 解： 设D（x，y）.因为 ＝ ，所以（2，－2）－（1，3）＝ （x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝（x－4，y－1）， 所以 解得 所以D（5，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设向量a＝ ，b＝ ，若向量ka－b与a＋3b平行，求实数k的 值. 解： 因为a＝ ＝（1，－5），b＝ ＝（4，1）－（2，－2）＝ （2，3）， 所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－3）， a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）. 因为向量ka－b与a＋3b平行， 所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知a＝（－2，1－ cos θ），b＝ ，且a∥b，则锐 角θ＝（　　） A. 45° B. 30° C. 60° D. 15° 解析： 　由a∥b，得－2× －（1－ cos θ）（1＋ cos θ）＝0， 即 ＝1－ cos 2θ＝ sin 2θ，得 sin θ＝± ，又θ为锐角，∴ sin θ＝ ，θ＝45°，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－2，－ n），其中m，n均为正数，且（a－b）∥c，下列说法正确的是 （　　） A. a与b的夹角为钝角 B. 向量a在b方向上的投影向量为 b C. 2m＋n＝4 D. mn的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝2－1＝1 ＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；对于B，∵a＝（2，1），b＝ （1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，∴向量a在b方向上 的投影向量为｜a｜· · ＝ b，故B错误；对于C，∵a＝ （2，1），b＝（1，－1），∴a－b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝ （m－2，－n），∴－n＝2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正确；对于 D，∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，∴mn＝ （2m·n）≤ ＝2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，∴mn的最大值为 2，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 设 ＝（－2，4）， ＝（－a，2）， ＝（b，0），a＞0，b ＞0，若A，B，C三点共线，则 ＋ 的最小值是 　 　. 解析：由题意，得 ＝ － ＝（－a＋2，－2）， ＝ － ＝ （b＋2，－4）.又 ∥ ，所以－4（－a＋2）＝－2（b＋2），整理 得2a＋b＝2，所以 ＋ ＝ （2a＋b）· ＝ ≥ · ＝ ，当且仅当b＝ a时等号成立，即 ＋ 的最 小值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知向量a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－2），c＝（ sin x－3， 1），d＝（1，k），x∈R，k∈R. （1）若x∈ ，a∥（b＋c），求x的值； 解： 因为b＋c＝（ sin x－1，－1），且a∥（b＋c）， 所以－（2＋ sin x）＝ sin x－1，即 sin x＝－ . 又x∈ ，所以x＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取 值范围；若不存在，请说明理由. 解： a＋d＝（3＋ sin x，1＋k），b＋c＝（ sin x－1，－1）， 若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0， 即（3＋ sin x）（ sin x－1）－（1＋k）＝0， 所以k＝ sin 2x＋2 sin x－4＝（ sin x＋1）2－5. 由 sin x∈ ，可得k∈ ， 所以存在k∈ ，使得（a＋d）⊥（b＋c）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ＝（4，0）， ＝ （2，2 ）， ＝（1－λ） ＋λ （λ2≠λ）. （1）求 · 及 在 上的投影向量； 解： · ＝4×2＋0×2 ＝8，设 与 的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝ ， ∴ 在 上的投影向量为｜ ｜ cos θ ＝4× × ＝ （1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）证明A，B，C三点共线，且当 ＝ 时，求λ的值； 解： ∵ ＝ － ＝（－2，2 ）， ＝ － ＝（1－λ） －（1－λ） ＝（λ－1） ，且λ2≠λ， ∴A，B，C三点共线. 当 ＝ 时，λ－1＝1，∴λ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）求｜ ｜的最小值. 解： ｜ ｜2＝（1－λ）2 ＋2λ（1－λ） · ＋λ2 ＝16λ2－16λ＋16＝16 ＋12， ∴当λ＝ 时，｜ ｜取得最小值2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $