9.3.3 向量平行的坐标表示-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦“向量平行的坐标表示”，通过类比向量垂直坐标关系导入，衔接旧知提出问题，搭建从几何运算到代数表达的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于对接数学运算、逻辑推理核心素养，设置分层题型（判定、求参数、三点共线）并总结通性通法，结合实例培养能力。学生能夯实基础提升解题能力，教师可利用系统资源实施有效教学。

9.3.3　 向量平行的坐标表示 新课程标准解读 核心素养 1.能用坐标表示平面向量共线的条件 数学运算 2.会用坐标表示平面向量共线的条件解 决问题 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示.设向量a＝（x1， y1）， b＝（x2， y2）（a≠0），如果a⊥b，那么x1， y1， x2， y2满 足关系x1x2＋y1y2＝0. 【问题】　（1）怎样用坐标反映两向量平行呢？ （2）当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点　向量平行的坐标表示 　设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a≠0），则 a∥b⇔ ⁠. x1y2－x2y1＝0　 提醒　（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a 与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a ＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数 λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b⇔ ＝ ，其中a＝（x1， y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通 过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【想一想】 两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成 ＝ 吗？ 提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. （多选）下列说法中，正确的是（　　） A. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则 ＝ B. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a∥b，则x1y2＝x2y1 C. 向量a＝（2，3）与向量b＝（－4，－6）同向 D. 若a＝（－3，2），b＝（6，－4），则a∥b 解析： 　对于A，当y1y2＝0时不成立，故A错误；对于C中，向 量（2，3）与向量（－4，－6）反向，故C错误；B、D正确.故选 B、D. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 若向量a＝（1，2），b＝（2，3），则与a＋b共线的向量可以是 （　　） A. （2，1） B. （－1，2） C. （6，10） D. （－6，10） 解析： 　a＋b＝（1，2）＋（2，3）＝（3，5）＝ （6，10）. 故选C. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·无锡月考）已知A（1，1），B（2，－4），C（x，－ 9），且 ∥ ，则x＝ ⁠. 解析： ＝（1，－5）， ＝（x－1，－10），根据 ∥ ，得－5（x－1）＝1×（－10），解得x＝3. 3　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 向量共线的判定与证明 【例1】　（1）下列各组向量是平行向量的有（　　） A. a＝ ，b＝（－2，－3） B. a＝（0.5，4），b＝（－8，64） C. a＝（2，3），b＝（3，4） D. a＝（2，3），b＝ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　A： ×（－3）－ ×（－2）＝－ ＋ ＝0， ∴a∥b.B：0.5×64－4×（－8）＝32＋32＝64≠0，∴a，b 不平行.C：2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行.D： 2×2－3× ＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3）， 判断 与 是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是 相反？ 解： ＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3）， ＝ （5，－3）－（1，3）＝（4，－6）. 法一　∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴ 与 共线，通过观察 可知， 和 方向相反. 法二　∵ ＝－2 ，∴ 与 共线且方向相反. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 向量共线的判定与证明的方法 （1）利用向量共线定理，由a＝λb（b≠0）推出a∥b； （2）利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知A，B，C三点的坐标分别为A（－1，0），B（3，－1），C （1，2），且 ＝ ， ＝ ，求证： ∥ . 证明：由题意知 ＝（2，2）， ＝（－2，3）， ＝（4，－1）， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， 设点E（x1，y1），F（x2，y2）. ∴ ＝（x1，y1）－（－1，0）＝ ， ＝（x2，y2）－（3，－1）＝ . ∴（x1，y1）＝ ，（x2，y2）＝ ， ∴ ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝ . ∵4× －（－1）× ＝0， ∴ ∥ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 利用向量共线求参数 【例2】　（链接教科书第39页例1）（1）已知向量a＝（1，2），b ＝（λ，1），（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值； 解： a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4）， 2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2）， 由（a＋2b）∥（2a－2b）， 可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0， 解得λ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）已知a＝（x，1），b＝（4，x），a与b共线且方向相同，求 x. 解： ∵a＝（x，1），b＝（4，x），a∥b， ∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2. 当x＝2时，a＝（2，1），b＝（4，2），a与b共线且方向相 同； 当x＝－2时，a＝（－2，1），b＝（4，－2）， a与b共线且方向相反.∴x＝2. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 利用向量共线的坐标表示求参数的思路 （1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数； （2）利用向量共线的坐标表示直接求参数. 提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知O（0， 0）， A（1， 2）， B（4， 5），点P坐标满足 ＝ ＋t （t∈R）. （1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？ 解： ＝ ＋t ＝（1， 2）＋t（3， 3）＝（1＋ 3t， 2＋3t）. 如果点P在x轴上，有2＋3t＝0，解得t＝－ ； 如果点P在y轴上，有1＋3t＝0，解得t＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不 能，请说明理由. 解： 假设四边形OABP为平行四边形，则有 ＝ . 又因为 ＝（1＋3t， 2＋3t）， ＝（3， 3）， 所以此方程组无解， 故四边形OABP不能构成平行四边形. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 坐标法判断三点共线问题 【例3】　如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝ 2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证 明： （1）DE∥BC； 目录 数学·必修第二册 (SJ) （1）∵ ＝（－1，1）－（0，0）＝（－1， 1）， ＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1）， ∴ ＝ ，∴ ∥ ，即DE∥BC. 证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x 轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令｜ ｜＝1，则｜ ｜＝1，｜ ｜＝2. ∵AD⊥AB，CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形. ∴E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）D，M，B三点共线. 证明：连接MB，MD. ∵M为CE的中点， ∴M ， ∴ ＝（－1，1）－ ＝ ， ＝（1，0）－ ＝ . ∴ ＝－ ，∴ ∥ . 又 与 有公共点M，∴D，M，B三点共线. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向 相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平 行证明三点共线需分两步完成：（1）证明向量平行；（2）证明两 个向量有公共点. 2. 若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知向量 ＝（7，6）， ＝（－3，m）， ＝（－1， 2m），若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　 ＝ ＋ ＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共 线，所以 与 共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－ . 故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 已知向量a＝（ cos α，－2），b＝（ sin α，1）且a∥b，则tan α＝（　　） A. －1 B. － C. D. 1 解析： 因为a∥b，所以 cos α＋2 sin α＝0，所以tan α＝－ .故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 设向量a＝（－3，4），向量b与向量a方向相反，且 ＝10，则 向量b的坐标为（　　） A. B. （－6，8） C. D. （6，－8） 解析： 　由题意不妨设b＝（－3m，4m）（m＜0），则 ＝ ＝10，解得m＝－2或m＝2（舍去），所以 b＝（6，－8）.故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·常州月考）已知A（1，－3），B（8， ），C（9， λ），且A，B，C三点共线，则λ＝ ⁠. 解析：由A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），可得 ＝ （7， ）， ＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得 ∥ ，则7（λ＋3）－8× ＝0，解得λ＝1. 1　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且 a⊥c，b∥c，求： （1）实数x，y的值； 解： 由a⊥c得2x－4＝0，则x＝2. 由b∥c得－4＝2y，则y＝－2. （2）｜a＋b｜的值. 解： ｜a＋b｜＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 下列各组向量中，共线的是（　　） A. a＝（－1，2），b＝（ ，1） B. a＝（3， ），b＝（2， ） C. a＝（2，3），b＝（2，－3） D. a＝（－3，2），b＝（3，－2） √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　选项A中，2× －（－1）×1≠0，则a与b不共线；同 理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2） ＝0，则有a∥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－ 2b），则 ＝（　　） A. －2 B. 2 C. － D. 解析： 　由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝ （4，－1），因为（ma＋nb）∥（a－2b），所以－（2m－n） －4（3m＋2n）＝0.所以 ＝－ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. 已知向量a＝（－1，m），b＝（2，－4），c＝（m，6），若 a∥b，则b＋c与a的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为a∥b，所以m＝2，所以a＝（－1，2），c＝ （2，6），b＋c＝（4，2），所以（b＋c）·a＝－4＋4＝0，则 （b＋c）⊥a，故b＋c与a的夹角为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. （2024·常州月考）已知 ＝（k，2）， ＝（1，2k）， ＝ （1－k，－1），且相异三点A，B，C共线，则实数k＝（　　） A. － B. 1 C. － 或1 D. －1或 解析： 　 ＝ － ＝（1－k，2k－2）， ＝ － ＝ （1－2k，－3），由题意可知 ∥ ，所以（－3）×（1－k） －（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－ （k＝1不合题意舍去）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中 正确的是（　　） A. 不存在实数x，使a∥b B. 存在实数x，使（a＋b）∥a C. 存在实数x，m，使（ma＋b）∥a D. 存在实数x，m，使（ma＋b）∥b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由a∥b，得x2＝－9，无实数解，故A正确；a＋b＝ （x－3，3＋x），由（a＋b）∥a，得3（x－3）－x（3＋x） ＝0，即x2＝－9，无实数解，故B错误；ma＋b＝（mx－3，3m ＋x），由（ma＋b）∥a，得（3m＋x）x－3（mx－3）＝0， 即x2＝－9，无实数解，故C错误；由（ma＋b）∥b，得－3（3m ＋x）－x（mx－3）＝0，即m（x2＋9）＝0，所以m＝0， x∈R，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）已知向量a＝（1，－2），b＝（t，1），若a＋b与3a －2b共线，则下列结论正确的是（　　） A. t＝ B. ＝ C. a·b＝－ D. a∥b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由已知可得a＋b＝（1，－2）＋（t，1）＝（t＋ 1，－1），3a－2b＝3（1，－2）－2（t，1）＝（3－2t，－ 8），因为a＋b与3a－2b共线，所以－8×（t＋1）＋1×（3－ 2t）＝0，得到t＝－ ，则 ＝ ＝ ，a·b＝－ －2＝－ ，a＝－2b，即a∥b.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. （2024·徐州月考）已知向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）方 向相同，则实数m＝ ⁠. 解析：由向量a＝（m，2），b＝（3，2m＋1）共线，得m（2m ＋1）－6＝0，即2m2＋m－6＝0，解得m＝－2或m＝ .当m＝－ 2时，a＝（－2，2），b＝（3，－3）＝－ a，a与b方向相反， 不符合题意；当m＝ 时，a＝（ ，2），b＝（3，4）＝2a，a 与b方向相同，符合题意.故实数m的值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y）.若a∥b， （a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），则向量｜ ｜＝ ⁠. 解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝（4，－2），所以a＋b＝ （6，－3），b－c＝（1，－2－y）.因为（a＋b）⊥（b－ c），所以（a＋b）·（b－c）＝0，即6－3（－2－y）＝0，所 以y＝－4.所以向量 ＝（y－x，x－y）＝（－8，8）， ＝8 . 8 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·南通质检）已知向量 ＝（3，－4）， ＝（0，－ 3）， ＝（5－m，－3－m），若点A，B，C不能构成三角 形，则实数m的值为 ⁠. 解析：∵A，B，C不能构成三角形，∴A，B，C三点共线， ∴ 与 共线.又 ＝（－3，1）， ＝（5－m，－m）， ∴（－3）·（－m）－（5－m）＝0，即m＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，－ 2），C（4，1）. （1）若 ＝ ，求D点的坐标； 解： 设D（x，y）.因为 ＝ ，所以（2，－2） －（1，3）＝（x，y）－（4，1），整理得（1，－5）＝ （x－4，y－1）， 所以解得所以D（5，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）设向量a＝ ，b＝ ，若向量ka－b与a＋3b平行，求 实数k的值. 解： 因为a＝ ＝（1，－5），b＝ ＝（4，1） －（2，－2）＝（2，3）， 所以ka－b＝k（1，－5）－（2，3）＝（k－2，－5k－ 3）， a＋3b＝（1，－5）＋3（2，3）＝（7，4）. 因为向量ka－b与a＋3b平行， 所以7（－5k－3）－4（k－2）＝0，解得k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·盐城月考）已知a＝（－2，1－ cos θ），b＝ ，且a∥b，则锐角θ＝（　　） A. 45° B. 30° C. 60° D. 15° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　由a∥b，得－2× －（1－ cos θ）（1＋ cos θ）＝0，即 ＝1－ cos 2θ＝ sin 2θ，得 sin θ＝± ，又θ为 锐角，∴ sin θ＝ ，θ＝45°，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－ 2，－n），其中m，n均为正数，且（a－b）∥c，下列说法正 确的是（　　） A. a与b的夹角为钝角 B. 向量a在b方向上的投影向量为 b C. 2m＋n＝4 D. mn的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 对于A，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝ 2－1＝1＞0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误；对于B，∵a＝ （2，1），b＝（1，－1），∴a·b＝1，｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，∴向量a在b方向上的投影向量为｜a｜· · ＝ b，故B错误；对于C，∵a＝（2，1），b＝（1，－1），∴a－ b＝（1，2），又（a－b）∥c，c＝（m－2，－n），∴－n＝ 2（m－2），∴2m＋n＝4，故C正确；对于D，∵2m＋n＝4，而m，n均为正数，∴mn＝ （2m·n）≤ ＝2，当且仅当2m＝n，即m＝1，n＝2时等号成立，∴mn的最大值为2，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. 设 ＝（－2，4）， ＝（－a，2）， ＝（b，0），a＞ 0，b＞0，若A，B，C三点共线，则 ＋ 的最小值 是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析：由题意，得 ＝ － ＝（－a＋2，－2）， ＝ － ＝（b＋2，－4）.又 ∥ ，所以－4（－a＋2）＝－2 （b＋2），整理得2a＋b＝2，所以 ＋ ＝ （2a＋b）· ＝ ≥ · ＝ ，当且仅当b＝ a 时等号成立，即 ＋ 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. （2024·镇江月考）已知向量a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－ 2），c＝（ sin x－3，1），d＝（1，k），x∈R，k∈R. （1）若x∈ ，a∥（b＋c），求x的值； 解： 因为b＋c＝（ sin x－1，－1），且a∥（b＋c）， 所以－（2＋ sin x）＝ sin x－1，即 sin x＝－ . 又x∈ ，所以x＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求 出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 解： a＋d＝（3＋ sin x，1＋k），b＋c＝（ sin x－ 1，－1）， 若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0， 即（3＋ sin x）（ sin x－1）－（1＋k）＝0， 所以k＝ sin 2x＋2 sin x－4＝（ sin x＋1）2－5. 由 sin x∈ ，可得k∈ ， 所以存在k∈ ，使得（a＋d）⊥（b＋c）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ＝（4，0）， ＝（2，2 ）， ＝（1－λ） ＋λ （λ2≠λ）. （1）求 · 及 在 上的投影向量； 解： · ＝4×2＋0×2 ＝8， 设 与 的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝ ， ∴ 在 上的投影向量为｜ ｜ cos θ ＝4× × ＝（1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）证明A，B，C三点共线，且当 ＝ 时，求λ的值； 解： ∵ ＝ － ＝（－2，2 ）， ＝ － ＝（1－λ） －（1－λ） ＝（λ－1） ，且λ2≠λ， ∴A，B，C三点共线. 当 ＝ 时，λ－1＝1，∴λ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （3）求｜ ｜的最小值. 解： ｜ ｜2＝（1－λ）2 ＋2λ（1－λ） · ＋λ2 ＝16λ2－16λ＋16＝16 ＋12， ∴当λ＝ 时，｜ ｜取得最小值2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $