第11章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了解三角形的核心内容，涵盖正弦定理、余弦定理及其在判断形状、面积计算、实际测量等方面的应用，通过体系构建将公式、应用场景与题型分类串联，形成“定理-应用-综合”的逻辑知识网络。 其亮点在于以“例题解析-跟踪训练-反思感悟”为主线，通过实际测量问题（如气球测河宽）培养数学眼光，借助边角互化推理发展数学思维，利用公式模型表达解决综合问题。分层设计让不同学生巩固知识，教师可精准把握复习重点，提升教学效率。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·必修第二册（SJ） 素养提升 素养提升 一、应用正弦、余弦定理解三角形 1. 这类问题一般要先审查题设条件，进行归类，根据题目类型确定应用哪 个定理解决.常见题型有：（1）一边和两角（如a，B，C）；（2）两边 和夹角（如a，b，C）；（3）三边（a，b，c）；（4）两边和其中一 边的对角（如a，b，A）. 2. 已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理 解此三角形.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况 是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时， 可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必 做到不漏解、不多解. 数学·必修第二册（SJ） 【例1】　（2025·连云港期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，且2c cos B＝a cos B＋b cos A. （1）求角B的大小； 解： 因为2c cos B＝a cos B＋b cos A， 由正弦定理可得2 sin C cos B＝ sin A cos B＋ sin B cos A， 即2 sin C cos B＝ sin （A＋B）＝ sin （π－C）＝ sin C， 又C∈（0，π），所以 sin C＞0，所以 cos B＝ ， 又B∈（0，π），所以B＝ . 数学·必修第二册（SJ） （2）若b＝ ，3a＝4c，求△ABC的面积. 解： 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得13＝a2＋c2－ac， 又3a＝4c，解得 （负值已舍去） 所以S△ABC＝ ac sin B＝ ×4×3× ＝3 . 数学·必修第二册（SJ） 反思感悟 应用正弦、余弦定理需注意的三个方面 （1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据 题目条件恰当地实现边角的统一； （2）统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变 形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进 行变形； （3）求值时注意方程思想的运用. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝ a cosB. （1）求B的大小； 解： ∵b sin A＝ a cos B， ∴由正弦定理，得 sin B sin A＝ sin A cos B. 在△ABC中， sin A≠0， 即得tan B＝ ，∴B＝ . 数学·必修第二册（SJ） （2）若b＝3， sin C＝2 sin A，求a，c的值. 解： ∵ sin C＝2 sin A，∴由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ， 解得a＝ ，∴c＝2a＝2 . 数学·必修第二册（SJ） 二、判断三角形的形状 1. 根据已知条件判断三角形的形状时，主要的方法是边角互化，一般有两 种途径：（1）将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；（2）将 已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解. 2. 边角互化的常见方法有：（1）通过正弦定理进行边角转换；（2）通过 余弦定理进行边角转换；（3）通过三角变换找出角之间的关系；（4）b2 ＋c2－a2＞0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2＜0⇔A 为钝角. 数学·必修第二册（SJ） 【例2】　（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（　B　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 解析： 法一　由正弦定理，得 sin B cos C＋ cos B sin C＝ sin 2A，即 sin （B＋C）＝ sin 2A，从而 sin （B＋C）＝ sin A＝ sin 2A，∵ sin A≠0，解得 sin A＝1，∴A＝ .故选B. B 法二　由余弦定理得b cos C＋c cos B＝a，从而a＝a sin A，∵a≠0， ∴ sin A＝1，∵A∈（0，π），∴A＝ .故选B. 数学·必修第二册（SJ） （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos A ＝b cos B，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为（　D　） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 D 数学·必修第二册（SJ） 解析： ∵a cos A＝b cos B，由正弦定理得 sin A cos A＝ sin B cos B， 即 sin 2A＝ sin 2B，又A，B∈（0，π），故可得A＝B或A＋B＝ ；又 c2＝a2＋b2－ab，即 cos C＝ ，又C∈（0，π），故可得C＝ .综上所 述，A＝B＝C＝ .故△ABC是等边三角形.故选D. 数学·必修第二册（SJ） 反思感悟 利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 （1）通过边之间的关系判断形状； （2）通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的 关系或角的关系. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　（2025·苏州期末）在△ABC中，已知 cos 2A＋ cos 2B＝2 cos 2C，则 △ABC的形状一定为（　　） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 解析： 　因为 cos 2A＋ cos 2B＝2 cos 2C，所以1－2 sin 2A＋1－2 sin 2B ＝2－2 sin 2C，所以 sin 2A＋ sin 2B＝ sin 2C，由正弦定理可得a2＋b2＝ c2，所以△ABC为直角三角形.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 三、正弦、余弦定理在实际问题中的应用 1. 正弦定理和余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题 涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面. 2. 在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时，关键是根据题意画出示意 图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最 后将结果还原为实际问题进行检验. 数学·必修第二册（SJ） 【例3】　如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别 为75°，30°，此时气球的高度AD是 60 m，则河流的宽度BC是（　　） A. 240（ －1）m B. 180（ －1）m C. 120（ －1）m D. 30（ ＋1）m √ 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60（m）， ∴AC＝120（m）.在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝ 180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝ ＝ ＝ 120（ －1）（m）.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 反思感悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 （1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图； （2）明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、方向角、方 位角等； （3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知 识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解 此三角形； （4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数 据，尽量减少计算中误差的积累. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋ ）n mile的两个观测点. 现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信 号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前 往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ 数学·必修第二册（SJ） 解：由题意知AB＝5（3＋ ）n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得 ＝ ， ∴DB＝ ＝ ＝ 数学·必修第二册（SJ） ＝ ＝10 n mile， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝ 20 n mile， ∴在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC· cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900，∴CD＝30 n mile. ∴t＝ ＝1 h. ∴救援船到达D点需要1 h. 数学·必修第二册（SJ） 四、与三角形有关的综合问题 　　该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关 系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定 理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和 与差的公式及倍角公式等. 数学·必修第二册（SJ） 【例4】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab， 可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 数学·必修第二册（SJ） （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解： 由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理 有 ＝ ， 从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 数学·必修第二册（SJ） 反思感悟 解三角形综合问题的方法 （1）三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面 积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法进 行求解； （2）解三角形常与平面向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查， 解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题 目条件和要求选择正弦或余弦定理求解. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　已知向量a＝（ sin x， cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）＝ a·b. （1）求函数f（x）＝a·b的最小正周期； 解： f（x）＝ sin x cos x＋ cos 2x ＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝ sin （2x＋ ）＋ ， 所以f（x）的最小正周期T＝ ＝π. 数学·必修第二册（SJ） （2）在△ABC中，BC＝ ， sin B＝3 sin C，若f（A）＝1，求△ABC 的周长. 解： 由f（A）＝1，可得 sin （2A＋ ）＝ ， 又0＜A＜π，所以 ＜2A＋ ＜ ， 所以2A＋ ＝ ，故A＝ . 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以a2＝b2＋c2－bc＝7.又 sin B＝3 sin C，所以b＝3c. 故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1. 所以b＝3，△ABC的周长为4＋ . 数学·必修第二册（SJ） $