第11章培优课 正弦定理和余弦定理的综合应用课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第11章　解三角形 培优课　正弦定理和余弦定理的综合应用 苏教版 必修第二册 题型分析·能力素养提升 【题型一】三角形的多解问题 例 1 在△ABC中,∠A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为(　　) A.(2,4) B.(2,4) C.(4,+∞) D.(2,2) B 解析 作∠A=30°,在∠A的一条边上取AB=c=4,过点B作BH垂直于∠A的另一边,垂足为H(图略).则|BH|=4sin 30°=2,以点B为圆心,BC的长为半径画圆弧,因为2<BC<AB,即2<BC<4,所以圆弧与∠A的另一边有两个交点C1,C2,所以△BAC1,△BAC2均满足条件,所以满足条件的三角形有两个. 规律方法　已知a,b和A,用正弦定理求B时的情况 (1)当A为锐角时,①若a<bsin A,三角形无解;②若a=bsin A,三角形一解;③若bsin A≤a≤b,三角形两解;④若a≥b,三角形一解. (2)当A为钝角时,①若a≤b,三角形无解;②若a>b,三角形一解. 跟踪训练1 (多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则满足下列条件的三角形中,有唯一解的是(　 　) A.b=9,B=90°,C=30° B.b=5,c=4,B=45° C.a=6,b=3,B=60° D.a=20,b=30,A=30° ABC 解析 对于A,若b=9,B=90°,C=30°,则由正弦定理得,得c=,由勾股定理可得a=,所以三角形有唯一解,故A正确;对于B,若b=5,c=4,B=45°,因为B为锐角,且b>c,所以三角形有唯一解,故B正确;对于C,若a=6,b=3,B=60°,因为B为锐角,且asin B=3=b,所以三角形有唯一解,故C正确;对于D,若a=20,b=30,A=30°,因为A为锐角,且bsin A= 15<a<b,所以三角形有两个解,故D错误. 【题型二】正弦定理、余弦定理与平面向量的综合问题 例 2 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,cos B=,a=7,且= -21,求角C的大小. 解∵=-21,=21, =||||cos B=accos B=21. 又cos B=,∴sin B=,ac=35,且B为锐角, 又a=7,∴c=5. ∴b2=a2+c2-2accos B=72+52-2×7×5=32,∴b=4 由正弦定理,得sin C=sin B= ∵c<b,∴C一定是锐角,∴C=45°. 规律方法　求解平面向量与解三角形综合问题时的注意点 利用正弦定理、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时,注意数量积定义的应用,其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系,例如的夹角等于内角A,但的夹角等于内角A的补角. 跟踪训练2 在△ABC中,AB=2,AC=3,=3,则BC=(　　) A. B. C. D. B 解析 由AB=2,AC=3,=3,得cos A= 又BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=22+32-2×2×3=7,故BC=故选B. 【题型三】与三角形面积相关的计算 例 3 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bcos C=acos C+ccos A. (1)求角C的大小; (2)若b=2,c=,求a及△ABC的面积. 解 (1)因为2bcos C=acos C+ccos A, 所以由正弦定理可得2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C, 可得2sin Bcos C=sin(A+C)=sin B, 因为sin B>0,所以cos C=, 因为C∈(0,π),所以C= (2)因为b=2,c=,C=, 所以由余弦定理可得7=a2+4-2·a·2, 整理可得a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1(舍去), 所以△ABC的面积S=absin C=3×2 跟踪训练3 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos B=,b=2. (1)当A=30°时,求a的值; (2)当△ABC的面积为3时,求a+c的值. 解 (1)在△ABC中,因为cos B=, 所以sin B= 又A=30°,利用正弦定理,得a= (2)因为S△ABC=acsin B,所以ac=3,即ac=, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 所以4=a2+c2-ac=a2+c2-9, 故a2+c2=13,则(a+c)2-2ac=13, 所以(a+c)2=28,故a+c=2 $