第15章 培优课 古典概型的综合问题 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦古典概型综合问题，涵盖“放回”与“不放回”、与统计综合及实际应用三大题型，通过具体例题（如产品抽取、转盘活动）导入，以通性通法总结和跟踪训练为支架，衔接基础概念与综合应用。 其亮点在于结合频率分布直方图、趣味活动等实例，通过数学思维分析样本空间，用数学语言描述事件，培养抽象能力与模型意识。学生能提升综合解题能力，教师可借助系统题型与方法提高教学效率。

培优课　古典概型的综合问题 能力提升 1 题型一｜古典概型中的“放回”与“不放回”问题 【例1】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一 件，每次取出后不放回，连续取两次. （1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； 解：每次取一件，取出后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}， 其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次 取出的产品. Ω1由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的. 数学·必修第二册（SJ） 用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件， 则A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}， 事件A由4个样本点组成，所以P（A）＝ ＝ . （2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”， 则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？ 解：有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω2＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，共9个样本点.用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则B＝{（a1， b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}. 事件B由4个样本点组成，所以P（B）＝ . 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 解决“放回”与“不放回”问题的方法及注意点 （1）关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也 可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观 察的角度必须一致，否则会产生错误； （2）关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序 不同，所以（a1，b1），（b1，a1）不是同一个样本点.解题的关键是要清 楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会 都是均等的. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　一个袋中装有四个大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； 解：从袋中随机取两个球，所有可能样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个，从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的样本点为（1，2），（1，3），共2个， 因此所求事件的概率为 ＝ . 数学·必修第二册（SJ） （2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋 中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率. 解：先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随 机取一个球，记下编号为n， 则试验的样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2）， （3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共 16个样本点. 满足条件n≥m＋2的事件的样本点有：（1，3），（1，4），（2，4）， 共3个， 所以满足条件n≥m＋2的概率为 . 数学·必修第二册（SJ） 题型二｜古典概型与统计的综合问题 【例2】　〔多选〕某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名，按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，且该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的（　　） A. 应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人 B. 第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为 C. 第5组志愿者被抽中的概率为 D. 第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 解析：　第3组抽取 ×6＝3（人），第4组抽取 ×6＝2（人），第5组抽取 ×6＝1（人），故A正确；设第3组抽取的3人分别为a，b，c，第4组抽取的2人分别为d，e，第5组抽取的1人为f，则6人中随机抽取2人有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种抽法，其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种抽法，则其概率为 ，故B正确；第5组志愿者被抽中有5种抽法，其概率为 ＝ ，故C正确； 第3组志愿者至少有一人被抽中有12种抽法，其概率为 ＝ ，故D错误. 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　古典概型与统计的综合问题，无论是直接描述还是利用频率分布表、 频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，此类问 题即可解决，解决此类题目的步骤主要有： （1）根据题目要求求出数据（有的用到分层抽样、有的用到频率分布直 方图等知识）； （2）列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； （3）找出所求事件包含的样本点个数； （4）根据古典概型概率计算公式求解； （5）明确规范地表述结论. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级 男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如表. 组别（cm） x≤160 160＜x≤170 170＜x≤180 x＞180 人数 15 42 38 5 根据上表，随机选取该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180 cm 的概率是（　　） A. 0.05 B. 0.38 C. 0.57 D. 0.95 解析：　由频数分布表可知，随机选取该地区一名九年级男生，估计他 的身高不高于180 cm的概率是 ＝0.95. √ 数学·必修第二册（SJ） 题型三｜古典概型的综合应用 【例3】　某儿童乐园在“六一儿童节”推出了一项趣味活 动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转 动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设 两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. 数学·必修第二册（SJ） （1）求小亮获得玩具的概率； 解：用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝ {（x，y）｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}， 其中共有16个样本点. （1）记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的样本点个数为5，即（1，1），（1，2），（1，3）， （2，1），（3，1）. 所以P（A）＝ ，即小亮获得玩具的概率为 . 数学·必修第二册（SJ） （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 解：记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C，则事件B包含的样本点个数为6，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）， 所以P（B）＝ ＝ . 事件C包含的样本点个数为5，即（1，4），（2，2），（2，3），（3， 2），（4，1），所以P（C）＝ . 因为 ＞ ，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是 古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件包 含的样本点个数，最后代入公式求出概率. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖 方法是从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和 2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中 奖，否则不中奖. （1）用球的标号列出所有的样本点； 解：所有样本点包含（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2），（A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）. 数学·必修第二册（SJ） （2）有人认为两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大 于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 解：不正确，理由如下： 由（1）知，所有样本点共12个， 其中摸出的2个球都是红球的样本点有（A1，a1），（A1，a2），（A2， a1），（A2，a2），共4个， 所以中奖的概率为 ＝ ，不中奖的概率为1－ ＝ ，故不中奖的概率比 较大. 数学·必修第二册（SJ） 1. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝ 3＋5，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率 为（　　） A. B. C. D. 解析：　因为不超过11的素数有2，3，5，7，11五个数，从中选取两个不同的数的样本点有（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共10个，其中和为偶数的样本点有（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共6个，所以和为偶数的概率为 ＝ . √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概 率是 　 　，若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是 　 　. 解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有（1，2），（1，3）， （1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4）， （3，5），（4，5），共10个.因为两数都为奇数的样本点有（1，3）， （1，5），（3，5），共3个，所以所求概率为 .从5个数字中有放回的 任取两数，样本点共有25个，两数都为偶数的样本点有（2，4），（4， 2），（2，2），（4，4），共4个，故概率为 . 　 　 数学·必修第二册（SJ） 3. 如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是 ⁠. 解析：由图可知，B桶不可能第一个被取到，故画树形图表 示所有可能的取法，如图.共有3种等可能的结果，其中最后 一个取到B的结果有2种，所以最后一个取到B的概率为 . 　 数学·必修第二册（SJ） 课时作业 课时作业 1. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　样本空间Ω＝{（红，红），（红，白），（红，蓝），（白， 红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）}，共9个样本点，其中颜色相同的样本点有（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3个，故所求的概率P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 解析：　2个1和3个0随机排成一行，样本点有00011，00101，01001， 10001，10010，10100，11000，01100，00110，01010，共10个；其中2个1不相邻的有00101，01001，10001，10010，10100，01010，共6个样本 点，所以所求概率为P＝ ＝0.6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 3. （2025·苏州期末）抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的 面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况： （正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）， （反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反）， 共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正， 反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正， 反），（正，反，反），共有6种不同的结果，所以既有正面向上，也有 反面向上的概率为P＝ ＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 4. 已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}， 则A∩B＝B的概率是（　　） A. B. C. D. 1 解析：　因为a∈A，b∈A，所以（a，b）的结果可用列表法得到，样本点的总个数为9（如下表所示）. 　 　b a　 　 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 因为A∩B＝B，所以B可能为⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}， {2，3}.当B＝⌀时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2， 3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝ 2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满 足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件 的a，b.综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 5. 某校从高二年级800名男生中随机抽 取50名测量其身高（单位：cm，被测学 生的身高全部在155 cm到195 cm之间）， 将测量结果按如下方式分成8组：第一组 [155，160），第二组[160，165），…， 第八组[190，195]，绘制成的频率分布 直方图如图所示，若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名， 记他们的身高分别为x，y，则｜x－y｜≤5的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析：　由频率分布直方图，可知身高在[180， 185）的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a， b，c，d；身高在[190，195]的人数为0.008 ×5×50＝2，分别记为A，B；则可用数组 （x，y）表示样本点，设M＝“从身高位于 第六组和第八组的男生中随机抽取2名”，若 xy∈[180，185），则M＝{（a，b），（a， c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6种情况；若x，y∈[190，195]，则M＝{（A，B）}，共1种情况；若x∈[180，185），y∈ [190，195]（或x∈[190，195]，y∈[180，185）），则M＝{（a，A），（b，A），（c，A），（d，A），（a，B），（b，B），（c，B），（d，B）}，共8种情况. 所以样本点的总数为6＋1＋8＝15，而事件“｜x－y｜≤5”所包含的样本 点个数为6＋1＝7，故P（｜x－y｜≤5）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 27 6. 设连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m， n），b＝（2，3），则事件“a∥b”发生的概率为 ⁠. 解析：由题意可知，m，n∈{1，2，3，4，5，6}，故（m，n）所有可 能的情况共36种.因为平面向量a＝（m，n），b＝（2，3），且a∥b， 则3m－2n＝0，则满足条件的（m，n）有（2，3），（4，6），共2 种，所以事件“a∥b”发生的概率为 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 7. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽 取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ⁠. 解析：从5张卡片中随机抽 取1张，放回后再随机抽取 1张的情况如图所示.样本点总数为25，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共10个，故所求的概率为 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 8. 据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动 人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的 小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方 式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用 完），那么这两个数的和不小于9的概率为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析：用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4 根小木棍可以组成1与4，1与8，共2种不同的组合，其和分别为5，9；第 二种是用2根和3根小木棍可以组成2与3，2与7，6与3，6与7，共4种不同 的组合，其和分别为5，9，9，13，故用五根小木棍随机摆放成图中的两 个数，有2＋4＝6（种）不同的组合，其中两个数的和不小于9的有4种， 所以这两个数的和不小于9的概率为P＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 9. 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙 也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则 所得的两条直线互相垂直的概率是 ⁠. 解析：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个 样本点.4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种，包括10个样 本点，即AB与BC，AB与AD，BC与BA，BC与CD，CD与BC，CD与 AD，AD与CD，AD与AB，AC与BD，BD与AC. 所以概率为P＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 10. 如图所示，现有一只迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可 能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3 处，则跳动一次可以等可能地进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动 后，首次进入5处的概率是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析：由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为（3→1→3→1）， （3→1→3→2），（3→1→3→4），（3→1→3→5），（3→2→3→2）， （3→2→3→1），（3→2→3→4），（3→2→3→5），（3→4→3→4）， （3→4→3→1），（3→4→3→2），（3→4→3→5），（3→5→3→5）， （3→5→3→1），（3→5→3→2），（3→5→3→4），共16个，满足题意 的样本点为（3→1→3→5），（3→2→3→5），（3→4→3→5），共3个. 由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处 的概率是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 11. 垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措. 住建部于6月28日拟定了包括某市在内的46个 重点试点城市，要求这些城市在2024年底基本 建成垃圾分类处理系统，为此，该市某中学对 学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进 行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频 率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩； 解：由题意得（2a＋3a＋7a＋6a＋2a）×10＝1， 解得a＝0.005， 平均成绩为55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）学校要求对不及格（60分以下）的同学进 行补考，现用分层抽样的方法在成绩为[50，70） 的同学中抽取5名，再从这5名同学中抽取2人， 求这2人中至少有一人需要补考的概率. 解：由题意知抽取的5人中，成绩在[50，60） 内的有2人，记为a，b；成绩在[60，70）内的 有3人，记为A，B，C. 随机试验的所有可能结果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10个，其中至少有1人需要补考的结果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，共7个.所以所求概率为P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 12. 随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人， 某“网红”甜品店出售几种甜品，为了了解每个种类的甜品的销售情况， 专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得到如下 表格： 甜品种类 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品 销售总额（万元） 10 5 20 20 12 销售量（千份） 5 2 10 5 8 利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 （利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价 格的比值） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高 于0.2的概率； 解：由题意知本月共卖出3万份甜品，利润率高于0.2的是A甜品和D甜品，共有1万份， 设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A， 则P（A）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）假设每种甜品利润率不变，销售一份A甜品获利x1元，销售一份B甜 品获利x2元，销售一份C甜品获利x3元，销售一份D甜品获利x4元，销售 一份E甜品获利x5元，设 ＝ ，若该甜品店从五种“网 红甜品”中随机卖出两种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过 元的 概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解：由题意得销售一份甜品A，B，C，D，E分别获利为8元，5 元，3元，10元，3元. 所以 ＝ ＝ ，故A甜品和D甜品获利超过 ， 从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同甜品，共含有10个样本点，分别 为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE. 设“至少有一种甜品获利超过 元”为事件M，则事件M包含7个样本 点，分别为AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE， 所以至少有一种甜品获利超过 元的概率为P（M）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） $