第9章 培优课 平面向量中的最值（范围）问题 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

培优课　 平面向量中的最值（范围）问题 能力提升 1 题型一｜向量线性运算中的最值（范围）问题 【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得 ＝2 ，D点在线段BC上 运动，点O∉直线AB，满足 ＝λ ＋μ ，则λμ的取值范围是 （　　） A. ［－ ，0］ B. ［－2， ］ C. ［－ ，0］ D. [－1，1] √ 数学·必修第二册（SJ） 2 解析： 　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由A，B，D三 点共线可知， ＝ ＋ ，∴ ＝ － ，∴λ＝－ ，μ＝ ，x∈[0，1]，则λμ＝－ ＝－ （x2＋2x）， ∴λμ∈［－ ，0］. 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不 等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4， CD＝1，动点P在边BC上，且满足 ＝m ＋n （m，n均为正实 数），则 ＋ 的最小值为 　 　. 　 数学·必修第二册（SJ） 解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝ 4，CD＝1，所以 ＝ ＋ ＝ － ，所以 ＝m ＋n ＝m ＋n（ － ）＝（m－ n） ＋n ，由P，B，C三点 共线得，m－ n＋n＝m＋ n＝1（m，n＞0），所以 ＋ ＝（ ＋ ）（m＋ n）＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋ ＝ （当且仅当 3n2＝4m2时，取等号），即 ＋ 的最小值为 . 数学·必修第二册（SJ） 题型二｜向量数量积的最值（范围）问题 【例2】　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任 意一点，则 ·（ － ）的最大值为 ⁠. 解析：法一　根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所 在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， ∴A（0，3），B（4，0），C（0，0），∴ ＝（4， －3），设 ＝λ （λ∈[0，1]），则 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－3λ），λ∈[0，1]， ·（ － ）＝ · ＝（4λ，3－3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴ ·（ － ）的最大值为9. 9　 法二　由数量积的几何意义，可知 ·（ － ）＝ · ≤ ＝9. 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量 或两个变量表示，利用数量积的运算法则建立关于变量的关系式，然后利 用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们也可以利用图形 直观求解. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°. 动点E和F分别在线段BC和DC上，且 ＝λ ， ＝ ，则 · 的最小值为 ⁠. 解析：根据题意，可知 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ λ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋λ · ＋ · ＝1＋ ＋ － ≥1＋2 － ＝ ，当且仅当λ＝ 时，等号成立. 　 数学·必修第二册（SJ） 题型三｜向量模的最值（范围）问题 【例3】　已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，非零向量b＝xe1＋ ye2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则｜b｜的最小值为 ⁠. 解析：e1·e2＝ cos ＝ ，b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∵x＋2y＝ 2，∴x＝2－2y.∴b2＝（2－2y）2＋y2＋（2－2y）y＝3y2－6y＋4＝3 （y－1）2＋1.∴当y＝1时，b2取得最小值1.∴｜b｜的最小值为1. 1　 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或 不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜ b｜求解. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为 ，则｜a｜＋｜b｜的最大值 为 ⁠. 　 数学·必修第二册（SJ） 解析：将｜a＋b｜＝2两边平方并化简得（｜a｜＋｜b｜）2－｜a｜｜ b｜＝4，由基本不等式得｜a｜｜b｜≤（ ）2＝ ，故 （｜a｜＋｜b｜）2≤4，即（｜a｜＋｜b｜） 2≤ ，即｜a｜＋｜b｜≤ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝ 时，等号 成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为 . 数学·必修第二册（SJ） 题型四｜向量夹角的最值（范围）问题 【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b 的夹角的最小值为 ⁠. 解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2｜a｜｜b｜ cos θ＝ a2b2.由基本不等式知， cos θ＝ ｜a｜·｜b｜≤ （ ）2＝ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝1时等号成立，即 cos θ≤ ，又θ∈[0， π]，故θ∈［ ，π］.故a与b的夹角的最小值是 . 数学·必修第二册（SJ） 通性通法 　　求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值 cos θ＝ 的最值（范围）问题. 数学·必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 已知向量a，b满足a＝（t，2 －t），｜b｜＝1，且（a－b）⊥b， 则a，b夹角θ的最小值为（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　因为（a－b）⊥b，所以（a－b）·b＝0，a·b＝b2， cos θ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，又因为2t2－4 t ＋8＝2[（t－ ）2＋2]≥2[（ － ）2＋2]＝4，所以0＜ cos θ≤ ，所以θ的最小值为 . 数学·必修第二册（SJ） 1. 已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若 m∥n，则m·n的取值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. （0，＋∞） C. [2，4） D. （2，4） √ 解析： 　因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－ 2a＞0，所以0＜a＜2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab＝4－a（4－ 2a）＝2a2－4a＋4＝2（a－1）2＋2∈[2，4）. 数学·必修第二册（SJ） 2. 已知点A（4，3）和B（1，2），O为坐标原点，则｜ ＋t ｜ （t∈R）的最小值为（　　） A. 5 B. 5 C. 3 D. √ 解析： 　由题意可得 ＝（4，3）， ＝（1，2），则｜ ＋ t ｜＝｜（4，3）＋t（1，2）｜＝｜（4＋t，3＋2t）｜＝ ＝ ＝ ，结合 二次函数的性质可得，当t＝－2时，｜ ＋t ｜min＝ . 数学·必修第二册（SJ） 3. （2025·南京期末）如图，在等边△ABC中，BC＝4，点P为边BC上的 一动点，则 · 的最小值为（　　） A. 0 B. －1 C. －2 D. － 解析： 　由题意在等边△ABC中，BC＝4，设 ＝λ （0≤λ≤1），则 · ＝（ ＋ ）· ＝λ2 ＋ ·λ ＝ 16λ2＋λ · ＝16λ2＋λ×4×4× cos 120°＝16λ2－8λ＝16（λ－ ）2－1，当λ＝ 时， · 取到最小值－1.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 4. 设向量a＝（2，3），b＝（6，t），若a与b的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意得，a·b＞0，且a与b不平行，则2×6＋3t＞0，且 2t≠18，得t＞－4，且t≠9，故实数t的取值范围是（－4，9）∪（9，＋ ∞）. （－4，9）∪（9，＋∞）　 数学·必修第二册（SJ） 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，则m 的取值范围为（　　） A. [－ ， ] B. [－ ， ] C. [－3，3] D. [－5，5] 解析： 　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝ ≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－ ≤m≤ ，即实数m的 取值范围为[－ ， ]，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·必修第二册（SJ） 2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a与b的 夹角θ的取值范围是（　　） A. ［0， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ，π］ D. （ ， ） 解析： 　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜ a｜｜b｜ cos θ－2×16＝－14－3×3×4 cos θ≥4，所以 cos θ≤－ ， 所以θ∈［ ，π］. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 3. 在矩形ABCD中，AB＝2 ，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为 线段CD上的动点，则 · 的取值范围是（　　） A. [2，14] B. [0，12] C. [0，6] D. [2，8] √ 解析： 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），E （2 ，1），设F（x，2）（0≤x≤2 ），所以 ＝ （2 ，1）， ＝（x，2），因此 · ＝2 x＋ 2，因为0≤x≤2 ，所以2≤2 x＋2≤14，故 · 的取值范围是[2，14]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 4. 设0≤θ＜2π，已知两个向量 ＝（ cos θ， sin θ）， ＝（2＋ sin θ，2－ cos θ），则向量 的长度的最大值是（　　） A. B. C. 3 D. 2 √ 解析： 　∵ ＝ － ＝（2＋ sin θ－ cos θ，2－ cos θ－ sin θ），∴｜ ｜ ＝ ＝ ，∵0≤θ＜2π，∴－1≤ cos θ≤1，∴ ≤ ≤3 ，当 cos θ＝－1时，｜ ｜有最大值3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 5. 设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动 点， ＝λ ，若 · ≥ · ，则实数λ的取值范围是（　　） A. ≤λ≤1 B. 1－ ≤λ≤1 C. ≤λ≤1＋ D. 1－ ≤λ≤1＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　∵ ＝λ ＝（－λ，λ）， ＝（1－λ） ＋λ ＝ （1－λ，λ）， · ≥ · ，∴（1－λ，λ）·（－1，1）≥ （λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－ ≤λ≤1＋ ，∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，即满足条件 的实数λ的取值范围是1－ ≤λ≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 6. 〔多选〕如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动 点， ＝λ ＋μ ，则下列结论正确的是（　　） A. 当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B. λμ的最大值为 C. μ的取值范围为[0，1] D. λ＋μ的取值范围为［ ，2］ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析： 　以B为原点， ， 为x，y轴正方向建立平面直角坐标 系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t， 2），则0≤t≤2，因为 ＝λ ＋μ ，所以（t，2）＝λ（0，1） ＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2 －t，μ＝ ，对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋ μ＝2－ ＝ ，A正确；对于选项B，λμ＝（2－t） ＝t－ t2， 0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为 ，B正确；对于选项C，因为μ＝ ，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 对于选项D，λ＋μ＝2－ ，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的 取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 7. 向量a，b满足｜a｜＝1，a与b的夹角为 ，则｜a－b｜的最小值 为 ⁠. 解析：｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×｜b｜ cos ＋｜b｜2＝｜b｜2－｜b｜＋1＝（｜b｜－ ）2＋ ≥ ，所以｜a－b｜ ≥ ，当｜b｜＝ 时取得最小值 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 8. 在△ABC中， ·（ －4 ）＝0，则 cos A的最小值为 ⁠. 解析：在△ABC中， ＝ － ，所以 ·（ －4 ）＝（ － ）·（ －4 ）＝－4｜ ｜2－｜ ｜2＋5 · ＝－4｜ ｜2 －｜ ｜2＋5｜ ｜·｜ ｜ cos A＝0，在△ABC中，设｜ ｜＝ b，｜ ｜＝c，则有－4b2－c2＋5bc cos A＝0，所以 cos A＝ ≥ ＝ ，当且仅当2b＝c时，等号成立. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 9. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之 一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装 点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是 一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形 ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在 正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则 · 的取值范围是 ⁠ ⁠. [2， 3]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 解析：如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为 2的正三角形，易得｜OQ｜＝ ，又 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝｜ ｜2＋ · ＋ · ＋ · ＝｜ ｜2＋ ·（ ＋ ）－1＝｜ ｜2－ 1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值为 ，此时｜ ｜2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值为2，此时｜ ｜2－1＝3，所以2≤ · ≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（1，5），P（1， 2），M在直线OP上. （1）若四边形APBQ是平行四边形，求点Q的坐标； 解：设Q（m，n），由A（3，3），B（1，5），P（1，2），则 ＝（2，1）， ＝（m－1，n－5）， 由四边形APBQ是平行四边形，则 ＝ ，即 解得 即点Q的坐标是（3，6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）求 · 的取值范围. 解： 由P（1，2），且M在直线OP上，可设M（t，2t）， 则 ＝（3－t，3－2t）， ＝（1－t，5－2t）， 故 · ＝（3－t）（1－t）＋（3－2t）（5－2t）＝t2－4t＋3＋4t2 －16t＋15 ＝5t2－20t＋18＝5（t－2）2－2≥－2， 故 · ∈[－2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 11. 如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点（不包括边 界），设 ＝a， ＝b. （1）试用a，b表示 ； 解： 如图①，延长AG，交BC于点D，则D为BC 的中点， ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ ［ ＋ （ － ）］＝ a＋ b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）若 ＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围. 解： ＝ － ＝ a－ b，如图②，连接GP 并延长，交BC于点P'. 令 ＝t '（0＜t＜1）， '＝m （0＜m＜1）， 则 ＝ ＋ ＝ a＋ b＋t '＝ a＋ b＋t（ ＋ '）＝ a＋ b＋t（ ＋m ）＝ a＋ b＋t（a－ b）＋tm（b－a）＝（ ＋ t－tm）a＋（ － t＋tm）b（0＜t＜1，0＜m＜1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 因为 ＝λa＋μb，所以λ＝ ＋ t－tm，μ＝ － t＋tm，故λ＋μ＝ ＋ t， 因为0＜t＜1，所以λ＋μ＝ ＋ t∈（ ，1）. 故λ＋μ的取值范围为（ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足 ＝ ＋ . （1）证明A，B，C三点共线，并求 的值； 解： 因为 ＝ ＋ ， 所以 － ＝ （ － ），所以 ＝ . 又 ， 有公共点B， 所以A，B，C三点共线， ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） （2）已知A（1， sin x），B（1＋ sin x， sin x），x∈（0，π），且函 数f（x）＝ · ＋（ 2m－ ）｜ ｜的最小值为 ，求实数m的值. 解： 因为A（1， sin x），B（1＋ sin x， sin x）， 所以 ＝ ＋ ＝（ 1＋ sin x， sin x）， 所以 · ＝1＋ sin x＋ sin 2x. 又｜ ｜＝ sin x， 所以f（x）＝ · ＋（ 2m－ ）｜ ｜ ＝ sin 2x＋2m sin x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） 设 sin x＝t， 因为x∈（0，π），所以t∈（0，1]， 所以y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2. ①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意； ②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时， 当t＝－m时，ymin＝1－m2＝ ，所以m＝－ ； ③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝ ，m＝－ ＞－ 1，不合题意. 综上可知，m＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·必修第二册（SJ） $