15.3 第1课时 互斥事件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦互斥事件与对立事件，通过“甲、乙下棋”情境导入，引导学生从实际问题抽象概念，再经新知初探、自我诊断构建知识体系，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“想一想”辨析概念，结合医院派医生等实例强化应用，总结通性通法助学生掌握解题思路。学生能提升数学思维，教师可利用系统资源提高教学效率。

第1课时　互斥事件 1 1.结合实例，理解互斥事件、对立事件的含义及概率的常用性质（数学抽象、逻辑推理）. 2.掌握互斥事件和的概率计算，会求对立事件的概率（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 甲、 乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局 的概率是0.2. 【问题】 甲获胜的概率是多少？ 　　　 　 　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　互斥事件 1. 定义：若AB＝ ，即事件A与B 发生，这时，我们 称A，B为 ⁠. 2. 概率的加法公式：如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率， 等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝ ⁠ ⁠. 　　提醒：概率的加法公式的推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥， 那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）. ⌀　 不可能同时　 互斥事件　 P（A）＋P （B）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　对立事件 1. 定义：若AC＝ ，并且A＋C＝ ，即互斥事件A，C中 ⁠ 发生，这时，我们称A，C为 ，记作C＝ 或A＝ . 2. 概率的常用性质 （1）P（ ）＝ ⁠； （2）当A⊆B时，P（　A　） P（　B　）； （3）当A，B不互斥时，P（A＋B）＝ ⁠ ⁠. ⌀　 Ω　 必 有一个　 对立事件　 1－P（A）　 A ≤　 B P（A）＋P（B）－P （AB）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 互斥事件与对立事件之间有什么区别与联系？ 提示：对立事件必为互斥事件，但反之不然. 2. 在同一试验中，对任意两个事件A，B，P（A＋B）＝P（A）＋P （B）一定成立吗？ 提示：不一定，只有A与B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B）才 成立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若P（A）＋P（B）＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例 说明. 提示：A与B不一定对立.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数 点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）＋P（B）＝1，但A，B不 对立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 若干人站成一排，其中为互斥事件的是（　　） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙站排尾” C. “甲站排头”与“乙不站排头” D. “甲不站排头”与“乙不站排头” 解析：　根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 随着网络技术的发展，电子支付变得愈发普遍.已知某群体的成员在一 次活动中，只有现金支付与电子支付两种支付方式，只用现金支付的概率 为0.05，既用现金支付也用电子支付的概率为0.1，则只用电子支付的概 率为（　　） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.95 D. 0.8 解析：　由对立事件的概率公式可知，只用电子支付的概率为1－0.05－ 0.1＝0.85.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出 红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出红球或白球的概率 是 ⁠. 解析：记“摸出红球”为事件A，则P（A）＝0.42，记“摸出白球”为 事件B，则P（B）＝0.28，则摸出红球或白球的概率是P（A＋B）＝P （A）＋P（B）＝0.7. 0.7　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜互斥事件与对立事件的判断 【例1】　（链接教科书第290页例1）某射手进行一次射击，可能命中0～ 10环中的一种，记“命中环数大于7环”为事件A，“命中环数为10环”为 事件B，“命中环数小于6环”为事件C，“命中环数为6， 7， 8， 9， 10 环”为事件D. 判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为 对立事件. （1） A与B； 解：由题意知Ω＝{0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10}， A＝{8， 9， 10}， B＝{10}， C＝{0， 1， 2， 3， 4， 5}， D＝{6， 7， 8， 9， 10}. （1）因为AB＝{10}≠⌀，所以A， B不是互斥事件. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） A与C； 解：因为AC＝⌀，所以A，C是互斥事件.又因为A＋C≠Ω，所以A， C不是对立事件. （3） B与C； 解：因为BC＝⌀，所以B，C是互斥事件.又因为B＋C≠Ω，所以B， C不是对立事件. （4） C与D. 解：因为CD＝⌀，所以C，D是互斥事件.又因为C＋D＝Ω，所以C， D是对立事件. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 互斥事件、对立事件的判断方法 （1）利用基本概念判断：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先 是互斥事件，且必须有一个要发生. （2）利用集合的观点判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是 A，B，所有事件所含的结果组成的集合为I. ①事件A与B互斥，即集合 A∩B＝⌀；②事件A与B对立，即集合A∩B＝⌀，且A∪B＝I，即A＝ ∁IB或B＝∁IA. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 已知事件M “3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事 件M和N（　　） A. 是对立事件 B. 不是互斥事件 C. 是互斥但不对立事件 D. 无法判断 解析：　事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和 事件N互斥，而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都 发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能3个不发芽， 故事件M和事件N互斥不对立.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜互斥事件与对立事件概率公式的应用 【例2】　（链接教科书第290页例2）某医院要派医生下乡义诊，派出医 生的人数及其概率如下表所示： 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求派出医生至多2人的概率； 解：记“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名 医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件 E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼 此互斥，且P（A）＝0.1，P（B）＝0.16，P（C）＝0.3，P（D）＝ 0.2，P（E）＝0.2，P（F）＝0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为P（A＋B＋C）＝P（A）＋P （B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求派出医生至少2人的概率. 解：法一　“派出医生至少2人”的概率为P（C＋D＋E＋F）＝P （C）＋P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 法二　“派出医生至少2人”的概率为1－P（A＋B）＝1－0.1－0.16＝ 0.74. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 互斥事件、对立事件概率的求解方法 （1）互斥事件概率的加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（　B　）； （2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些 事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和； （3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常 考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题. B 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个 班取得冠军的概率分别为 和 ，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：　记甲班取得冠军为事件A，乙班取得冠军为事件B，则事件A， B是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件， 其概率为两个互斥事件的概率之和，即P（A＋B）＝P（A）＋P（B） ＝ ＋ ＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事 件A）的概率是 ，取到方块（事件B）的概率是 ，问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ 解：因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥， 所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝ . （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 解：事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件， 因此事件C与事件D是对立事件， 所以P（D）＝1－P（C）＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜概率性质的综合应用 【例3】　（链接教科书第291页例3）袋中有外形、质量完全相同的红 球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得 到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 . （1）试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； 解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球” “得到绿球”分别为A，B，C，D，它们彼此互斥， 则P（A）＝ ，P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝ ， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝ ，P（B＋C＋D）＝P（B）＋ P（C）＋P（D）＝1－P（A）＝1－ ＝ . 联立 解得P（B）＝ ，P（C）＝ ，P（D）＝ ， 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为 ， ， . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率. 解：事件“得到红球或绿球”可表示为A＋D，由（1）及互斥事件的概率加法公式得P（A＋D）＝P（A）＋P（D）＝ ＋ ＝ ，故得到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P（A＋D）＝1－ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率 转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概 率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到 简化. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工 800人，女职工500人.如果从该公司职工中随机抽取1人，求该职工为女职 工或第三分厂的职工的概率. 解：记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的 职工”，则AB表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A＋B表示“抽取的 为女职工或第三分厂的职工”，则有 P（A）＝ ＝ ， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 P（B）＝ ＝ ， P（AB）＝ ＝ ， 所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ － ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 若A，B为互斥事件，则（　　） A. P（A）＋P（B）＜1 B. P（A）＋P（B）＞1 C. P（A）＋P（B）＝1 D. P（A）＋P（B）≤1 解析：　因为A，B为互斥事件，所以A＋B是随机事件或必然事件，则 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）≤1，当A，B为对立事件时，P（A） ＋P（B）＝1. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任 意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有 （　　） A. 2个小球恰有1个红球 B. 2个小球不全为黑球 C. 2个小球至少有1个黑球 D. 2个小球都为黑球 解析：　由题意，知一次任意取出2个小球，这2个球可能为2个红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况.与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件为2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.故选A、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知P（A）＝0.4，P（B）＝0.2. （1）如果B⊆A，则P（A＋B）＝ ，P（AB）＝ ⁠； 解析：因为B⊆A，所以P（A＋B）＝P（A）＝0.4，P（AB）＝ P（B）＝0.2. （2）如果A，B互斥，则P（A＋B）＝ ，P（AB）＝ ⁠. 解析：如果A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.4＋0.2＝0.6，P（AB）＝0. 0.4　 0.2　 0.6　 0　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率 分别为0.4，0.5，0.1，则该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次 的概率为 ⁠. 解析：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C， “该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意 知，事件C与事件D互为对立事件，所以P（D）＝1－P（C）＝1－0.1 ＝0.9. 0.9　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率 是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（　　） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 解析：　因为事件A与B是互斥事件，所以P（A＋B）＝P（A）＋P （B）＝0.8，又因为P（A）＝3P（B），所以P（A）＝0.6.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次正面向上”的互斥事件是 （　　） A. 至多有一次正面向上 B. 两次都正面向上 C. 只有一次正面向上 D. 两次都反面向上 解析：　对于A，至多有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时 发生，不是互斥事件；对于B，两次都正面向上与至少有一次正面向上， 能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次正面向上与至少有一次 正面向上，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次都反面向上与至 少有一次正面向上，不能够同时发生，是互斥事件.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在一次数学考试（满分150分）中，某班学生的成绩（单位：分）在130 及以上的频率是0.1，在[120，129]内的频率是0.2，在[110，119]内的频 率是0.4，在[90，109]内的频率是0.2，90以下的频率是0.1，若认为成绩 在110及以上为优秀，则从该班学生中随机抽取一人，其成绩优秀的概率 是（　　） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 解析：　根据互斥事件的概率加法公式，易得所求事件的概率为0.1＋ 0.2＋0.4＝0.7.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知随机事件A，B发生的概率满足条件P（A＋B）＝ ，某人猜测事 件 ∩ 发生，则此人猜测正确的概率为（　　） A. 1 B. C. D. 0 解析：　事件 ∩ 与事件A＋B是对立事件，则此人猜测正确的概率P （ ∩ ）＝1－P（A＋B）＝1－ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分 别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（　　） A. A＋B与C是互斥事件，也是对立事件 B. B＋C与D是互斥事件，也是对立事件 C. A＋C与B＋D是互斥事件，也是对立事件 D. A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：　由于A，B，C，D彼此互斥，且P（A＋B＋C ＋D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1， 知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故四个事件的关系如 图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2 名学生去参加数学竞赛，则（　　） A. 恰有一名参赛学生是男生的概率为 B. 至少有一名参赛学生是男生的概率为 C. 至多有一名参赛学生是男生的概率为 D. 两名参赛学生都是男生的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：　从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有9种结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为 ＝ ，A对；“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1－ ＝ ，B错；“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为 ＝ ，D错；“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1－ ＝ ，C对.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 上海的高考英语科目有1月和6月两次机会，考生可以选择其一或者都参 加，最终计入高考成绩的分数是两次考试的最高分.某学生参加两次英语 高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是 0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分 的概率为 ⁠. 解析：记两次考试分别超过130分的事件为A，B，则P（A）＝0.5，P （B）＝0.7，P（AB）＝0.3，因此P（A＋B）＝P（A）＋P（B） －P（AB）＝0.9，所以两次考试中至少有一次超过130分的概率为0.9. 0.9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是 ， 都是白子的概率是 ，则从中任意取出2粒恰好是同色的概率是 　 　. 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子” 为事件B，“任意取出2粒恰好是同色”为事件C，则C＝A＋B，且事件 A与B互斥.所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝ ＋ ＝ .即任意取出2 粒恰好是同色的概率为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2 －a，P（B）＝4a－5，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：因随机事件A，B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝3a －3，依题意及概率的性质得 即 解得 ＜a≤ ，所以实数a的取值范围是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖 券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C. （1）求P（A），P（B），P（　C　）； 解：由题意，每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等 奖50个， 故P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ＝ . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求抽取1张奖券中奖的概率； 解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D， 则P（D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝ ＋ ＋ ＝ . （3）求抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E， 则P（E）＝1－P（A）－P（B）＝1－ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 如果事件A，B互斥，那么（　　） A. A＋B是必然事件 B. ＋ 是必然事件 C. 与 一定互斥 D. 与 一定不互斥 解析：　如图所示，因为事件A，B互斥，所以 ＋ ＝Ω是必然事件，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为 ，响第二声时被 接的概率为 ，响第三声时被接的概率为 ，响第四声时被接的概率为 . 则电话在响前四声内被接的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　记“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为 事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件 D，则A，B，C，D两两互斥，从而P（A＋B＋C＋D）＝P（A）＋ P（B）＋P（C）＋P（D）＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 从1，2，3，…，30这30个数中任意取出一个数，则取出的数是偶数或 能被5整除的数的概率是 ⁠. 解析：设事件A＝“取出的数为偶数”，事件B＝“取出的数能被5整 除”，则P（A）＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，所以P （A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝ ＋ － ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标 记数字不同外其他完全相同.现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将 抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. （1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； 解：由题意，得（a，b，c）所有可能的结果为（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）＝ ＝ .因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为 . （2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率. 解：设“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”为事件 ，则事件 包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种，所以P（B）＝1－P（ ）＝1－ ＝ . 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球， 从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求： （1）袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知， 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解得 所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， . 所以黑球的个数为9× ＝3，黄球的个数为9× ＝2，绿球的个数为9× ＝4， 所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3，2，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是 多少？ 解：由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2， 所以从所有黑球、黄球中任取两个球的样本空间中共有10个样本点，记黑球与黄球各得一个的事件为D，得D中包含6个样本点，则P（D）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）经计算从袋中任取两个球可得36个样本点，则两个球颜色不相同的 概率是多少？ 解：因为从袋中任取两个球可得36个样本点，其中两个黑球的样本点有3个，两个黄球的样本点有1个，两个绿球的样本点有6个，于是，两个球同色的概率为 ＝ ，则两个球颜色不相同的概率是1－ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $