章末检测（十五）概率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学概率单元复习课件系统梳理了事件关系（包含、互斥、独立）、概率计算（古典概型、频率估计、独立事件概率）等核心知识，通过选择、填空、解答题等题型串联知识点，帮助学生构建完整的概率知识体系。 其亮点在于结合射箭环数统计、购物抽奖等生活实例设计问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过分层练习（如基础判断事件关系到综合电路概率计算）发展逻辑推理思维，助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

章末检测（十五）　概率 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A＝“向上的点数为3”，B ＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，则有（　　） A. A⊆B B. C⊆B C. A∩B＝C D. A∪B＝C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 解析：　抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A＝“向上的点数为3”，B＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，对于A，A与B没有包含关系，故A错误；对于B，∵B＝“向上的点数为6”，C＝“向上的点数为3或6”，∴B⊆C，故B错误；对于C，A∩B＝⌀，故C错误；对于D，A∪B＝C，故D正确. 数学·必修第二册（SJ） 2. 某射箭运动员射箭60次的统计结果如表： 环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8 则估计他击中的环数不小于8的概率为（　　） A. 0.46 B. 0.55 C. 0.57 D. 0.63 解析：　根据题意，该运动员击中的环数不小于8的频率为 ＝ 0.55，因此估计相应概率为0.55. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 3. 某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机 会，中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是（　　） A. 某人抽奖100次，一定能中奖10次 B. 某人消费1 000元，至少能中奖1次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖10次，可能1次也没中奖 解析：　中奖的概率为10%，与抽的次数无关，不能保证一定中奖，也 不能保证一定不中奖，只是有10%的可能性中奖，故D选项正确.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 4. 自然对数的底数是指无理数e＝2.718 281 828 459 045….e是一个奇妙有 趣的无理数，它取自数学家欧拉Euler的英文字头.某教师为帮助同学们了 解“e”，让同学们从小数点后的3位数字7，1，8中随机选取两位数字，整 数部分2不变，那么得到的数字小于2.71的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　∵让同学们从小数点后的3位数字7，1，8中随机选取两位数 字，整数部分2不变，∴样本点总数N＝6，得到的数字小于2.71的样本点 有（1，7），（1，8），即2.17＜2.71，2.18＜2.71，∴得到的数字小于 2.71的样本点个数M＝2，∴得到的数字小于2.71的概率P＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 5. 掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚 出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为（　　） A. 相互独立 B. 互斥 C. 对立 D. 相等 解析：　由题意得P（A）＝ ，P（B）＝ 且P（AB）＝ ，即P（AB）＝P（A）P（B），而事件A，B可以同时发生，故它们不互 斥，更不相等，故B、D错误；由于 ＝“第一枚出现偶数点”， ＝“第 二枚出现点数超过3”，则A，B不是对立事件，故C错误.综上，A正确. 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 6. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有45%的人近视， 而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为 50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生，则他近视 的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：　设该校有x个同学，则约有0.45x的学生近视，∵0.2x的学生每 天玩手机超过1小时且玩手机超过1小时的学生中有0.1x的学生近视，∴有 0.8x的学生每天玩手机不超过1小时且其中有0.35x的学生近视，∴从每天 玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生，则他近视的概率为P＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 7. 4×100米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人 共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲、乙、丙、 丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练 情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别 是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没 有失误的概率是（　　） A. p1p2p3 B. 1－p1p2p3 C. （1－p1）（1－p2）（1－p3） D. 1－（1－p1）（1－p2）（1－p3） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析：　由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：1－p1，1－p2，1－ p3，则该组合交接棒没有失误的概率为：（1－p1）（1－p2）（1－p3）. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 8. 在如图所示的电路中，5个箱子表示保险匣， 箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率， 当开关合上时，电路畅通的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：　当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求 得A至B畅通的概率为1－ × ＝ ，B至C畅通的 概率为1－ × ＝ ，所以电路畅通的概率为 × ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件 A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷， 结果向上的点数之和为奇数”记为事件C，则下列叙述中正确的有（　） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. B与C对立 D. P（A＋B）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析：　对于A，事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）}，事件B＝{（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6）}，故A∩B≠⌀，事件A和事件B不互斥，故A错误； 对于B，连续抛掷两次骰子，共有36种情况，其中事件A包含的样本点数 为12，故P（A）＝ ＝ ，事件C＝{（1，2），（1，4），（1，6）， （2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4， 1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （6，3），（6，5）}，共18个样本点，故P（C）＝ ＝ ，事件AC＝ {（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5）}，共 6个样本点，故P（AC）＝ ＝ ，由于P（AC）＝P（A）·P（C）， 故A与C相互独立，故B正确；对于C，由A、B选项知，B∩C≠⌀，事件 B与事件C不互斥，故不对立，故C错误； 对于D，事件A∪B＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1， 5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）， （2，6），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（3，4），（4， 4），（5，4），（6，4），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6）}， 共24个样本点，故P（A＋B）＝ ＝ ，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 10. 某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（　　） A. 两件都是次品的概率为0.28 B. 至多有一件正品的概率为0.72 C. 恰有一件正品的概率为0.26 D. 至少有一件正品的概率为0.98 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析：　记事件A为“从甲机床制造的产品中抽到一件正品”，事件B为“从乙机床制造的产品中抽到一件正品”，事件C为“抽取的两件产品中至多有一件正品”，事件D为“抽取的两件产品中恰有一件正品”，事件E为“抽取的两件产品中至少有一件正品”.由题意知A，B是相互独立事件，则P（ ）＝P（ ）P（ ）＝0.1×0.2＝0.02，故A错误；P（C）＝P（A ）＋P（ B）＋P（ ）＝P（A）P（ ）＋P（ ）P（B）＋P（ ）P（ ）＝0.9×0.2＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝0.28，故B错误；P（D）＝P（A ）＋P（ B）＝P（A）P（ ）＋P（ ）·P（B）＝0.9×0.2＋0.1×0.8＝0.26，故C正确；P（E）＝1－P（ ）＝1－0.02＝0.98，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 11. 已知关于x的二次函数f（x）＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1，2，3}， Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数 对（a，b），则（　　） A. 所有的数对（a，b）共有30种情况 B. 函数y＝f（x）有零点的概率为 C. 使函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的数对（a，b）共有 13种情况 D. 函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解析：　（a，b）有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3）， （1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共15种情况， 故A错误；函数y＝f（x）有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，有（1，2）， （1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况，所 以函数y＝f（x）有零点的概率为 ＝ ，故B正确； 易知a＞0，函数y＝f（x）图象的对称轴为直线x＝ ，且在区间[1，＋ ∞）上单调递增，所以有 ≤1.满足条件的数对有（1，－1），（1，1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共13种情况， 所以函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增的概率为 ，故C正确， D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到 这种动物400只，标记后放回.一个月后，调查人员两次逮到该种动物800 只，其中标记的有2只，估算该保护区有鹅喉羚 只. 解析：设保护区内有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所 以 ＝ ，解得x＝160 000. 160 000　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 13. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别 为 ， ，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的 概率为 ，则p的值为 　 　. 解析：在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，∴至少投中一次的 对立事件为事件 ，∴至少投中一次的概率P＝1－ × ×（1－p）＝ ，解得p＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 14. 甲、乙、丙、丁四人到电影院看电影，只剩下编号为1，2，3的三个座 位，于是四人抽签决定谁坐几号座位（抽到空签的人离开），则甲抽到2 号座位的概率为 ⁠. 解析：设“甲抽到2号座 位”为事件A，四个人 抽3个座位，情况较复杂， 可以利用树形图表示抽签 的结果，如图所示.由图可 知，有4大类，每大类中有6种可能结果，共有4×6＝24（种）结果，其中 甲抽到2号座位的结果有6种，所以P（A）＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的 元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学 独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.假 设每道灯谜被猜对的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 解：设A＝“任选一道灯谜甲猜对”，B＝“任选一道灯谜乙猜对”，C＝“任选一道灯谜丙猜对”. 则P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ，故P（ ）＝ ，P（ ）＝ ，P（ ）＝1－ . “甲、乙两位同学恰有一个人猜对”＝A ∪ B，且A 与 B互斥. 每位同学独立竞猜，故A，B互相独立，则A与 ， 与B， 与 均相互 独立. 所以P（A ∪ B）＝P（A ）＋P（ B）＝P（A）·P（ ）＋P （ ）P（B）＝ × ＋ × ＝ . 所以甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为 ，求n的值. 解：设D＝“甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”，则 ＝ . 所以P（D）＝1－P（ ）＝1－P（ ）＝1－P（ ）P（ ）P （ ）＝1－ × × ＝ ，解得n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 16. （本小题满分15分）如图所示，在树人 中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题： （1）求成绩在[80，90）这一组的频数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：依题意成绩在[50，60）这一组的频率为 0.015×10＝0.15， 成绩在[60，70）这一组的频率为0.025×10＝0.25， 成绩在[70，80）这一组的频率为0.035×10＝0.35， 成绩在[90，100]这一组的频率为0.005×10＝0.05，则成绩在[80，90） 这一组的频率为[1－（0.15＋0.25＋0.35＋0.05）]÷2＝0.1， 故其频数为40×0.1＝4. 数学·必修第二册（SJ） （2）从成绩是50分以下和90分及以上这两个分数段的学生中选2人，求他 们不在同一分数段的概率. 解：记选出的2人不在同一分数段为事件E，成绩在[40，50）内有40×0.1＝4人，设为a，b，c，d，成绩在[90，100]内有40×0.05＝2人，设为1，2，从这6人中选出2人，有（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2），共15个样本点，其中事件E包括（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），共8个样本点，于是得P（E）＝ ，所以不在同一分数段的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 17. （本小题满分15分）已知三种不同的元件X，Y，Z，其中元件X，Y 正常工作的概率分别为0.6，0.8，每个元件是否正常工作不受其他元件的 影响. （1）用元件X，Y连接成系统S（如图）， 当元件X，Y都正常工作时，系统S正常工 作，求系统S正常工作的概率； 解：记元件X正常工作为事件A，元件Y正常工作为事件B， 系统S正常工作为事件M，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.8， 所以P（M）＝P（A）P（B）＝0.6×0.8＝0.48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）用元件X，Y，Z连接成系统T（如 图），当元件X正常工作且Y，Z中至少 有一个正常工作时，系统T正常工作.若 系统T正常工作的概率为0.57，求元件Z正常工作的概率. 解：记元件Z正常工作为事件C，系统T正常工作为事件N，则P（N）＝P（ABC＋AB ＋A C）＝P（ABC）＋P（AB ）＋P（　A C　）＝P（A）·P（B）·P（C）＋P（A）·P（B）·[1－P（C）]＋P（A）·[1－P（B）]·P（　C　）＝0.6×0.8×P（C）＋0.6×0.8×[1－P（C）]＋0.6×0.2×P（C）＝0.57， 解得P（C）＝0.75，即元件Z正常工作的概率为0.75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 18. （本小题满分17分）某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬 盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的 甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出 现故障发生在保修期内的数据如表： 型号 甲 乙 首次出现故障的时间 x（年） 0＜x ≤1 1＜x ≤2 2＜x ≤3 0＜x ≤1 1＜x ≤2 2＜x ≤3 硬盘数（个） 2 1 2 1 2 3 假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现 故障发生在保修期内的概率； 解：在图表中，甲品牌的50个样本中，首次出现故障发生在保修期内的频率为 ＝ ， 即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生 在保修期内的概率估计为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估 计恰有一个首次出现故障发生在保修期第3年（即2＜x≤3）的概率. 解：设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件B，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件C，利用频率估计概率，得P（B）＝ ＝ ，P（C）＝ ， 则P（B ＋ C）＝P（B）P（ ）＋P（ ）P（C）＝P（B）[1－ P（C）]＋[1－P（B）]P（C） ＝ × ＋ × ＝ ，所以某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） 19. （本小题满分17分）甲、乙两人玩摸球猜猜猜的游戏，规则如下：一 个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲 采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜.若乙猜出的结果 与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后 进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）.乙所要猜的方案从以下两种猜法中 选择一种； 猜法一：猜“第二次取出的球是红球”； 猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”.请回答： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由； 解：用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球 的所有结果有：（a，b），（b，a），（a，1），（1，a），（a，2），（2，a），（b，1），（1，b），（b，2），（2，b），（1，2），（2，1），共12个不同结果，它们等可能，令事件A为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：（a，b），（b，a），（1，a），（2，a），（1，b），（2，b），共6个，令事件B为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：（a，1），（1，a），（a，2），（2，a），（b，1），（1，b），（b，2），（2，b），共8个，于是得P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，显然， ＜ ，为了尽可能获胜，应该选择猜法二. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） （2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜 方，且整个游戏停止.若乙按照（1）中选择的猜法进行游戏，求乙获得游 戏胜利的概率. 解：由（1）知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为 ，游戏结束时，设乙获胜为事件M，则M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，于是得P（M）＝P（M1＋M2＋M3）＝P（M1）＋P（M2）＋P（M3）＝ × ＋ × × ＋ × × ＝ ，所以乙获得游戏胜利的概率是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第二册（SJ） $