13.3.2空间图形的体积（第2课时 球的表面积和体积）课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦球的表面积和体积，涵盖公式推导、组合体计算及截面、外接球、内切球问题。通过回顾柱锥台体积导入，搭建从简单几何体到球及组合体的学习支架，衔接立体几何初步知识脉络。 其亮点是以题型分析为核心，结合判断正误、跟踪训练及题后反思，如例1圆柱与球体积关系问题，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理计算的能力。帮助学生提升空间观念与解题技能，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第13章　立体几何初步 13.3.2　空间图形的体积 第2课时　球的表面积和体积 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解球的表面积和体积的计算公式. 2.会求解组合体的体积与表面积. 3.能用公式解决简单的实际问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　球的表面积和体积 前提条件 球的半径为R 球的表面积公式 S球=4πR2 球的体积公式 V球=πR3 知识点二　组合体的体积与表面积 计算组合体的体积时,应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等简单空间图形的体积. 求组合体的表面积,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减. 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若一个球的表面积扩大一倍,则该球的体积扩大2倍.(　　) (2)若球的表面积为36π cm2,则其体积为36π cm3.(　　) × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】球的表面积和体积 例1 (1)如图,圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水,若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,则球的半径为 (　　) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm B 解析 设球的半径为r,依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积, ∴3r3+πr2·6=πr2·6r,解得r=3(cm).故选B. (2)如果球的表面积增大为原来的9倍,那么球的体积增大为原来的(　　) A.9倍 B.18倍 C.27倍 D.81倍 C 解析 设原来球体的半径为R,则原来球体的表面积为S=4πR2,原来球体的体积为V=R3, 当球的表面积增大为原来的9倍时,则4=9×4πR2,此时球的半径R1=3R,此时球体体积为V1=27R3,由=27,所以球的体积增大为原来的27倍.故选C. 题后反思　1.公式是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件,同时,半径和球心也是球的最关键要素. 2.球的体积比等于半径比的立方,表面积比等于半径比的平方. 跟踪训练1 已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4,侧面积为8π,现将它熔化后铸成一个实心铜球,不计损耗,则铜球的半径为(　　) A.2 B. C.2 D. A 解析 因为圆锥底面半径为4,侧面积为8, 所以圆锥的母线长l==2,所以圆锥的高h==2. 因为圆锥的底面积S=16π,所以圆锥的体积V=Sh=16π×2= 设铜球的半径为R,所以R3=,解得R=2.故选A. 【题型二】球的截面问题 例2 用平面α截一个球,所得的截面面积为4π,若α到该球球心的距离为,则球的体积为(　　) A.27π B.81π C.36π D. C 解析 由题可得截面面积为4π,故截面圆半径为2, 又α到该球球心的距离为, 所以球的半径r==3, 所以根据球的体积公式知V球==36π.故选C. 题后反思　球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面; (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面; (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=. 跟踪训练2 已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(　　) A.64π B.48π C.36π D.32π A 解析 ∵圆O1的面积为4π=πr2,∴圆O1的半径r=2, ∵AB=BC=AC=OO1,则三角形ABC是正三角形, 由正弦定理可得=2r=4,得AB=OO1=2, 由R2=r2+O,得球O的半径R=4, ∴球O的表面积为4πR2=64π.故选A. 【题型三】外接球问题 例3 [复习题T18]已知三棱锥P-ABC,其中PA⊥平面ABC,∠BAC=120°, PA=AB=AC=2,则该三棱锥外接球的表面积为(　　) A.12π B.16π C.20π D.24π C 解析 如图,根据题意设底面△ABC的外心为点G,点O为球心,所以OG⊥平面ABC,又因为PA⊥平面ABC, 所以OG∥PA.设点D是PA的中点,因为OP=OA,所以DO⊥PA. 因为PA⊥平面ABC,AG⊂平面ABC,所以AG⊥PA,所以OD∥AG, 因此四边形ODAG是平行四边形,故OG=AD=PA=1. 在△ABC中,由余弦定理得, BC= ==2 由正弦定理,得2AG=AG=2, 所以该外接球的半径R满足R2=(OG)2+(AG)2=5⇒S=4πR2=20π. 故选C. 题后反思　解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心的位置. 跟踪训练3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2,这个球的表面积为6π,则这个正四棱柱的体积为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 由题可知,正四棱柱的高为2,球的表面积为6π,设球的半径为r,则4πr2=6π,则r2=,所以r=,所以球的直径为2r=,设正四棱柱的底面边长为a,则,解得a=1,所以正四棱柱的体积为V=a2·2=2.故选B. 【题型四】内切球问题 例4 在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2a的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2a,若在这个四棱锥内放一个球,则该球半径的最大值为　　　　.  (2-)a 解析 (方法一)由题意知,球内切于四棱锥P-ABCD时半径最大,设该四棱锥的内切球的球心为点O,半径为r,连接OA,OB,OC,OD,OP,则VP-ABCD= VO-ABCD+VO-PAD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PCD,即2a·2a·2a=(4a2+22 a·2a+22a·2a)·r,解得r=(2-)a.故答案为(2-)a. (方法二)易知当球内切于四棱锥P-ABCD,即与四棱锥P-ABCD各个面均相切时,球的半径最大.作出相切时的侧视图如图所示,设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r,则2a×2a=(2a+2a+2a)×r,解得r=(2-)a. 题后反思　求解多面体的内切球的问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径. 跟踪训练4 如图,已知圆锥SO'的轴截面是边长为6的正三角形,在圆锥内部放置一个球O,则球O的表面积的最大值为(　　) A.12π B.4π C.3π D.12π D 解析 右图为圆锥SO'的轴截面,BO'=3,SB=6,SO'=3 若要使球O的表面积最大,则球O与圆锥相切时满足题意. 设点H为切点,球O的半径为r, 则OH=OO'=r,OH⊥SB, 在Rt△SHO和Rt△SO'B中,sin∠OSH=sin∠O'SB, ,解得r=, ∴球O的表面积S=4π()2=12π. 故选D. $