第08讲 空间几何体表面积与体积的常考题型精讲（5题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版）

第08讲 空间几何体表面积与体积的常考题型精讲 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 3 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 3 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 3 知识点四、棱柱、棱锥、棱台的表面积 3 知识点五、圆柱、圆锥、圆台的表面积 4 知识点六、柱体、锥体、台体的体积 4 知识点七、球的表面积和体积 5 03 重难点题型 6 题型一：直观图的画法与还原技巧 6 题型二：空间几何体表面积的计算与易错点 7 题型三：直接法（公式法）求空间几何体体积 8 题型四：换底法（等体积法）求空间几何体体积 10 题型五：割补法（分割与补形）求空间几何体体积 13 04 过关检测 16 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点四、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点五、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为． （2）圆台的表面积：． 知识点六、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是． 综上，柱体的体积公式为． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为、，高是，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是、，高是，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点七、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式 ． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 题型一：直观图的画法与还原技巧 例1．（2026·高一·吉林·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 例2．（2026·高一·海南·阶段检测）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（     ）    A．4 B．6 C．8 D．12 例3．（2026·高一·湖南·阶段检测）如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 变式1．（2026·高一·河北邯郸·期中）如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型二：空间几何体表面积的计算与易错点 例4．（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·高一·天津红桥·期中）已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 变式2．（2026·高一·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高一·全国·单元测试）现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 题型三：直接法（公式法）求空间几何体体积 例7．（2026·高一·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点． 求三棱锥的体积． 例8．（2026·高一·浙江·阶段检测）如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 例9．（2026·高一·天津滨海新区·期中）（1）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，求此三棱台的体积． （2）如图，直三棱柱中，D是BC的中点，四边形为正方形． （ⅰ）若为等边三角形，，求直三棱柱的体积； （ⅱ）求证：平面． 变式4．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 变式5．（2026·高一·四川广安·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 题型四：换底法（等体积法）求空间几何体体积 例10．（2026·高一·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 例11．（2026·高一·广西百色·期中）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 例12．（2026·高一·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 变式6．（2026·高一·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 变式7．（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 变式8．（2026·高一·浙江·期中）如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 题型五：割补法（分割与补形）求空间几何体体积 例13．（2026·高一·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 例14．（2026·高一·河北·期中）如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 例15．（2026·高一·福建宁德·期中）如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 变式9．（2026·高一·天津静海·期中）（1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积；          ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 1．（2026·高一·福建·期末）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2026·高一·山东临沂·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 3．（2026·高一·河北石家庄·期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2026·高一·安徽宿州·期中）已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（    ）    A． B． C．6 D．5 5．（2026·高一·重庆渝北·期中）已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 6．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 7．（2026·高一·山西太原·阶段检测）如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底面与杯口完全贴合．已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10．    (1)若圆锥的高是，求该组合体（圆锥与半球）的表面积； (2)若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢出，求杯子的高度． 8．（2026·高一·安徽黄山·期中）在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是． (1)若，求：的最大值； (2)探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值 9．（2026·高一·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 10．（2026·高一·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 11．（2026·高一·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)求三棱锥的体积. 12．（2026·高一·浙江·期中）已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体. (1)求的长； (2)求几何体的体积； (3)求几何体的表面积. 13．（2026·高三·湖南常德·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 14．（2026·高一·北京顺义·期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 15．（2026·高一·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 16．（2026·高一·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 17．（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）如图，已知三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 18．（2026·高二·上海宝山·阶段检测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 (2)若，求三棱锥的体积. 19．（2026·高一·云南昆明·期中）如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 空间几何体表面积与体积的常考题型精讲 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 3 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 3 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 3 知识点四、棱柱、棱锥、棱台的表面积 3 知识点五、圆柱、圆锥、圆台的表面积 4 知识点六、柱体、锥体、台体的体积 4 知识点七、球的表面积和体积 5 03 重难点题型 6 题型一：直观图的画法与还原技巧 6 题型二：空间几何体表面积的计算与易错点 8 题型三：直接法（公式法）求空间几何体体积 10 题型四：换底法（等体积法）求空间几何体体积 15 题型五：割补法（分割与补形）求空间几何体体积 22 04 过关检测 27 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点四、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点五、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为． （2）圆台的表面积：． 知识点六、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是． 综上，柱体的体积公式为． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为、，高是，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是、，高是，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点七、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式 ． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 题型一：直观图的画法与还原技巧 例1．（2026·高一·吉林·期末）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意可得还原后如下： 中，， 所以， 所以， ，，， 则. 例2．（2026·高一·海南·阶段检测）如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（     ）    A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】依题意，的边分别在轴上，且， 所以的面积. 例3．（2026·高一·湖南·阶段检测）如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 变式1．（2026·高一·河北邯郸·期中）如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据斜二测画法知在选项A，B，D中，正三角形的顶点都在轴上， 点由边上的高线确定，所得直观图是全等的； 对于选项C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长， 但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等． 题型二：空间几何体表面积的计算与易错点 例4．（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可画图如下： 底面直径​，故底面半径​​，高， 过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为， 由相似三角形性质，有，所以， 以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高， 圆锥的母线长； 则； ； ； 故. 例5．（2026·高一·天津红桥·期中）已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 例6．（2026·高一·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 变式2．（2026·高一·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作，垂足为， 绕旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥， 几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2的圆锥的侧面积， 则； 故选：C． 变式3．（2026·高一·全国·单元测试）现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38mm，“大球”的直径为40mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以． 故选：C 题型三：直接法（公式法）求空间几何体体积 例7．（2026·高一·海南·阶段检测）正方体的棱长为2，为棱的中点． 求三棱锥的体积． 【解析】在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 例8．（2026·高一·浙江·阶段检测）如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 【解析】（1）， 易知的长即为三棱锥的高， 所以 ． （2）记点到平面的距离为， 由 ，， 由勾股定理，， 又平面，为直角三角形，则， 由（1）知. 例9．（2026·高一·天津滨海新区·期中）（1）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，求此三棱台的体积． （2）如图，直三棱柱中，D是BC的中点，四边形为正方形． （ⅰ）若为等边三角形，，求直三棱柱的体积； （ⅱ）求证：平面． 【解析】（1）如图，点分别是的中心， 易知. 所以. 又，， 所以正三棱台的体积为. （2）（ⅰ）若为等边三角形，，则， 因为四边形为正方形，所以， 所以直三棱柱的体积为； （ⅱ）连接，交于点，则点为的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 变式4．（2026·高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面． (2)若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 变式5．（2026·高一·四川广安·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求四棱锥体积． 【解析】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得，连接， 由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，则 题型四：换底法（等体积法）求空间几何体体积 例10．（2026·高一·山东·期中）如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 例11．（2026·高一·广西百色·期中）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）略 （2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 例12．（2026·高一·广西玉林·期中）如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【解析】（1） 如图所示，取的中点，连接. ，. 又平面，平面，， ，平面，平面. 点为中点，，又，， ，是平行四边形，， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面，就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中，，，， . 平面，平面，， 在中，， ，， 平面，又平面，， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，，，且， 又知平面，平面，就是三棱锥的高， . 变式6．（2026·高一·湖南湘潭·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，侧棱与底面垂直，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一动点，则三棱锥的体积是否为定值？若为定值，请说明理由并求出定值；若不为定值，请说明理由. 【解析】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）由（1）平面，所以点，到平面的距离相等. 已知是的中点，侧棱与底面垂直，. 则为三棱锥的高， 又底面为正方形， 所以 . 变式7．（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； （2）由，，则， 故为等腰直角三角形，则点到的距离为， 则点到的距离为， 由为的中点，则点与点到平面的距离相等， 故. 变式8．（2026·高一·浙江·期中）如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 【解析】（1）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当A，F，E三点共线时，取得最小值， 且最小值为． （2）法一：因为为等边三角形，， 所以的面积，又， 所以， ， ， 所以． 法二：因为的面积，， 所以． （3）设正三棱柱两底面中心分别为，的中点为． 正三棱柱的外接球半径， 外接球表面积． 题型五：割补法（分割与补形）求空间几何体体积 例13．（2026·高一·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 例14．（2026·高一·河北·期中）如图所示的几何体，由上、下两层组成，上层是正四棱锥，下层是长方体，，，．    (1)求这个几何体的表面积； (2)求这个几何体的体积． 【解析】（1）如图，取的中点，连接， 由四棱锥为正四棱锥知，所以，且， 又，所以， 则， 故正四棱锥的侧面积为． 长方体的侧面积为， 长方体的下底面积为， 所以这个几何体的表面积为． （2）连接，设的交点为，连接， 易知为正四棱锥的高，且， 因为，所以，又，所以， 则正四棱锥的体积为． 长方体的体积为． 所以这个几何体的体积为． 例15．（2026·高一·福建宁德·期中）如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高. (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比. 【解析】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点. 则， 所以， 所以四棱台的表面积. （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高. 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 变式9．（2026·高一·天津静海·期中）（1）如图，长方体，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. ①求三棱锥的体积；          ②求 . （2）如图所示，已知多面体，两两互相垂直，平面平面，平面平面，，，求该多面体的体积. （3）结合本题，总结求空间几何体的体积有哪些方法？ 【解析】（1）①由题可得： ②因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . （2）法一（分割法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，两两互相垂直，所以可推出. 如图所示，过点作于，连接， 即把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱. 由题知，，. 故所求几何体的体积为. 法二（补形法）： 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半. 又正方体的体积，故所求几何体的体积为. 1．（2026·高一·福建·期末）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】在直观图中，因为，， 所以 在直观图中，在轴上且， 所以在原图形中，在轴上，且， 在直观图中，在轴上且，， 所以在原图形中，在轴上，且， 并且在原图形中，， 所以. 2．（2026·高一·山东临沂·期中）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【解析】由题意知，， 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，所以，且， 故，故， 所以四边形的周长为. 3．（2026·高一·河北石家庄·期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【解析】把直观图转化为原图四边形，如图所示， 由作图可知四边形为平行四边形，， ， , 故周长为. 4．（2026·高一·安徽宿州·期中）已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（    ）    A． B． C．6 D．5 【答案】D 【解析】 由直观图中梯形，可知四边形为直角梯形. 所以梯形面积 5．（2026·高一·重庆渝北·期中）已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【解析】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 6．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【解析】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 7．（2026·高一·山西太原·阶段检测）如图，一个圆锥形空杯倒放在一个装满水的半球形容器上，半球的底面与杯口完全贴合．已知圆锥的底面直径与半球的直径均为10．    (1)若圆锥的高是，求该组合体（圆锥与半球）的表面积； (2)若将半球形容器中的水全部倒入圆锥形杯子中，水恰好装满杯子且不溢出，求杯子的高度． 【解析】（1）圆锥的侧面面积为 ， 半球的表面积为 ， 该组合体的表面积为 ． （2）设圆锥的高为h，则圆锥的体积为 ， 半球的体积为． 由题意可知，，即，解得， 所以杯子的高度为10． 8．（2026·高一·安徽黄山·期中）在中，内角的对边分别为，其中，分别以直角边和斜边所在的直线为轴，旋转形成的几何体的体积分别是． (1)若，求：的最大值； (2)探究的关系；依据探究所得，若，求的最小值 【解析】（1）若绕旋转：斜边上的高，体积， 当时，，所以， 当且仅当时等号成立，此时， 即几何图形体积的最大值为． （2）因为， 所以， 当，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 9．（2026·高一·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点. 因为点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以. 在中，，，，则，所以. 因为，平面，， 所以平面. （3）过点作. 在中，，即. 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离. 又， . 故三棱锥的体积为8. 10．（2026·高一·云南昭通·期中）如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【解析】（1）在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面.     （2）在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. .     另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17.     解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 11．（2026·高一·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)求三棱锥的体积. 【解析】（1）取E为PA中点，连接EM、EB，由M为PD的中点， ∴且，又且，则且， ∴四边形为平行四边形，故， ∵平面，平面， ∴平面PAB. （2）连接AC，过C作交于F点，即且， ∴中，，而在中，，有， ∴，又平面ABCD，平面，则， ∵，平面，∴平面， 即是三棱锥的高，而， ∴. 12．（2026·高一·浙江·期中）已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体. (1)求的长； (2)求几何体的体积； (3)求几何体的表面积. 【解析】（1）设，由可得，， 因为外接球的表面积为，即，解得， 又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长， 即，解得， 所以； （2） ， 即几何体的体积为160； （3）由（1）得，，，则， ，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 从而得几何体的表面积为 . 13．（2026·高三·湖南常德·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，.将沿对角线折起，记折起后点A的位置为点，且使平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. (3)求三棱锥的体积. 【解析】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又，所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （3）由（1）知，， ， 即三棱锥的体积为. 14．（2026·高一·北京顺义·期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 【解析】（1）由侧面是正方形有，又, 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由（1）有平面，又，所以平面， 所以为与平面所成角，即， 又，所以，即， 所以梯形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （3）由侧面是正方形，得，平面，平面， 所以平面，又，平面，平面， 所以平面，又，平面，所以平面平面， 连接，平面平面，平面平面，则， 由，所以， 又，，所以，， 由，，所以， 过点作交于， 由有，又，，，即， 所以，所以四边形为等腰梯形， 如图作，所以， ，所以， 所以等腰梯形的面积为：. 15．（2026·高一·江苏常州·期中）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【解析】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 16．（2026·高一·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 【解析】（1）略 （2）连接，如下图所示， 因为是边长为2的正三角形，为正方形， 所以，， 所以， 所以四面体的体积为. 17．（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）如图，已知三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）略 （2）因为，， 取中点，连接，由底面，且，则平面， 又平面，所以， 又因为为正边的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 取中点，连接，则，可得平面， 即为三棱锥的高，则， 所以. 18．（2026·高二·上海宝山·阶段检测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 (2)若，求三棱锥的体积. 【解析】（1）连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中D是线段BC中点，E是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； （2）设点到平面的距离为， ∵点在底面圆上， ∴， ∵，D是BC的中点， ∴，， 因为是圆柱的轴截面，则到AB的距离，即到平面的距离， 所以. 19．（2026·高一·云南昆明·期中）如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 【解析】（1）分别过点，点作于点于点， ， ． 等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体， 两个圆锥与圆柱的底面半径，圆锥的母线， 圆柱的高, 所以两个圆锥的侧面积相等， 设每个圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，旋转体的表面积为：， ． ． ． （2）由（1）知等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体，且两个圆锥的体积相等， 设每个圆锥的体积为，圆柱的体积为，旋转体的体积为， 则． ． ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $