12.4 复数的三角形式＊-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦复数的三角形式，涵盖辐角、辐角主值、三角形式定义及乘除运算法则与几何意义。课堂导入从复数几何意义切入，通过向量模和辐角问题，衔接代数形式与三角形式，搭建知识支架。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，通过典型题型（如辐角主值计算、三角与代数形式互化）和几何意义应用（向量旋转），采用通性通法总结与跟踪训练，助力学生提升核心素养，为教师提供系统教学资源与实例参考。

12.4　复数的三角形式* 1 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 由复数的几何意义可以知道，复数z＝a＋bi（a，b∈R），复平面内的 点Z（a，b）和平面向量 之间存在着一一对应的关系，如果以x轴的 非负半轴为始边，向量 所在直线为终边的角为θ，向量 的模为r. 【问题】　复数z＝a＋bi（a，b∈R）能否用r，θ来表示呢？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　复数的三角形式 1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角及辐角主值 （1）辐角：以x轴的非负半轴为 、向量 所在的射线（起点是 原点O）为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi的辐角； （2）辐角主值：适合于 的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi 的辐角主值，记作 ，即0≤arg z＜2π. 始边　 0≤θ＜2π　 arg z　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式 设复数z＝a＋bi（z≠0）的辐角为θ，模为r，则z＝ ⁠ 称为复数z的三角形式.其中r＝ ， cos θ＝ ， sin θ＝ ，而a＋bi称为复数z的代数形式. r（ cos θ＋i sin θ）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　复数三角形式乘、除运算法则及其几何意义 1. 复数三角形式的乘（除）法运算法则 设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2）： （1）乘法法则：z1z2＝r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2） ＝ ⁠. 即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这 两个复数的辐角的和； r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）除法法则： ＝ ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin ⁠. 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐 角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 复数乘（除）法运算的三角形式的几何意义 （1）复数乘法运算三角形式的几何意义 复数z1，z2对应的向量为 ， ，把向量 绕点O按 ⁠方 向旋转θ2（如果θ2＜0，就要把 绕点O按顺时针方向旋转角｜ θ2｜），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数 就是积z1z2. 逆时针　 r2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）复数除法运算三角形式的几何意义 复数z1，z2对应的向量为 ， ，把向量 绕点O按 ⁠方 向旋转θ2，再把它的模变为原来的 ，得到向量 ， 表示的复数 就是商 . 顺时针　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 对于多个复数相乘，能得到什么结论？ 提示：z1z2…zn＝r1 （ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2）·…·rn （ cos θn＋i sin θn）＝r1r2·…·rn[ cos （θ1＋θ2＋…＋θn）＋i sin （θ1＋θ2＋…＋θn）]. 当z1＝z2＝…＝zn＝r（ cos θ＋i sin θ）时，[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝ rn . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 任意一个复数都有三角形式 B. 复数的三角形式也可以进行四则运算 C. 任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍 D. 0的辐角主值为0 √ √ √ 解析： 复数的三角形式不能进行四则运算，故B错误，A、C、D正 确.故选A、C、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 复数1＋i的辐角主值为（　　） A. B. － C. D. － √ 解析： 　1＋i＝ （ cos ＋i sin ）.故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 复数－2－2i化为三角形式为 　　；复数3 化为代数形式 为 ⁠. 解析：因为r＝ ＝2 ，所以 故arg（－2－2i）＝π＋ ＝ π，从而－2－2i＝2 . 3 ＝3 ＝ ＋ i. 2 　 ＋ i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜复数的辐角及辐角主值 【例1】　（1）（链接教科书第134页例1）复数 －i的辐角主值为 （　　） A. B. π C. π D. π √ 解析：∵ －i＝2 ＝2（ cos ＋i sin π），又∵ ∈[0，2π），故 －i的辐角主值为 π. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知z＝1＋i，求复数ω＝ 的模和辐角主值. 解：∵z＝1＋i，∴ω＝ ＝ ＝ ＝ 1－i，∴r＝ ＝ ， ∴arg z＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　对于给定的复数z＝a＋bi，根据r＝ 可以求出该复数的模， 根据 cos θ＝ ， sin θ＝ 就可以确定该复数的辐角主值. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 已知z＝1＋ cos θ＋i sin θ（π＜θ＜2π），求arg z. 解：z＝1＋ cos θ＋i sin θ＝2 cos 2 ＋i（2× sin cos ）＝2 cos ＝－2 cos . ∵π＜θ＜2π，∴ ＜ ＜π， ∴ cos ＜0， ＜π＋ ＜2π， ∴arg z＝π＋ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜复数的代数形式化为三角形式 【例2】　（1）下列复数是复数三角形式表示的是（　D　） A. B. － C. D. cos π＋i sin π D 解析： 选项A， cos 与i sin 之间用“－”连接，不是用“＋”连 接；选项B，－ ＜0不符合r≥0要求；选项C，是 sin π与i cos π用“＋” 连接而不是 cos ＋i sin π的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故 选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）（链接教科书第135页例2）复数2 ＋2i的三角形式为  　. 解析： ∵r＝ ＝4，∴ ∴arg z＝ ，∴2 ＋2i＝4 . 4 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　复数z＝i sin 10°的三角形式是（　　） A. cos 10°＋i sin 10° B. i sin 10° C. sin 10°（ cos 90°＋i sin 90°） D. sin 10°（ cos 0°＋i sin 0°） √ 解析： 　z＝i sin 10°＝ sin 10°（0＋i）＝ sin 10°（ cos 90°＋i sin 90°）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜复数的三角形式化为代数形式 【例3】　把下列复数的三角形式化为代数形式： （1）2（ cos ＋i sin ）； 解： 2（ cos ＋i sin ）＝2（ ＋ i）＝ ＋i. （2）8（ cos ＋i sin ）. 解： 8（ cos ＋i sin ）＝8［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］＝8 （ － i）＝4 －4i . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　把复数的三角形式化为代数形式只需将三角函数计算求值，然后写成 z＝x＋yi的形式即可. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　复数 的代数形式为 ⁠. 解析： （ cos π＋i sin π）＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋ π）］ ＝ ＝ （ － i）＝1－i. 1－i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜复数三角形式的乘、除法运算 【例4】　（链接教科书第137页例4）计算： （1）2 × ； 解： 原式＝2 ＝－2 i. （2）[6（ cos 160°＋i sin 160°）]÷[（ cos 25°＋i sin 25°）]. 解： 原式＝3 [ cos （160°－25°）＋i sin （160°－25°）] ＝3 （ cos 135°＋i sin 135°）＝3 ＝－3＋3i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角形 式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用 三角形式表示. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　计算：2i÷ . 解：2i÷ ＝[2（ cos 90°＋i sin 90°）]÷ ＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型五｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例5】　（链接教科书第139页习题8题）在复平面内，把复数3－ i对 应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数. 解：因为3－ i＝2 ＝2 . 所以2 × ＝2 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ＝2 ＝2 ＝3＋ i， 2 ÷ ＝2 ＝2 ＝－2 i. 故把复数3－ i对应的向量按逆时针方向旋转 得到的复数为3＋ i，按 顺时针方向旋转 得到的复数为－2 i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ， ， 然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把 绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到 向量 ， 表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝r1r2·[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时， ＝ ·[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 在复平面内，把与复数 ＋ i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转 ， 然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数. 解： ＋ i＝ ， 由题意得 （ cos ＋i sin ）×2（ cos ＋i sin ） ＝ ×2 ＝3 ＝3i， 即与所得向量对应的复数为3i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 设复数z＝a＋bi＝r（ cos θ＋i sin θ），其中a，b∈R， ＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是（　　） A. r＞0，θ∈[0，2π） B. r≥0，θ∈（0，2π） C. r∈R，θ∈（－π，π） D. r≥0，θ∈[0，2π） √ 解析： 　由复数三角形式的特征知，r≥0，0≤θ＜2π.∴D正确，A、 B、C均不正确，故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 复数－2 的辐角主值是（　　） A. B. π C. π D. π √ 解析： 　∵－2 ＝2（ cos π＋i sin π），∴辐角主值为 π，故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A. z＝ （ sin 45°＋i cos 45°） B. z＝ （ cos 45°＋i sin 45°） C. z＝ [ cos （－45°）－i sin （－45°）] D. z＝ [ cos （－45°）＋i sin （－45°）] √ 解析： 　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1＋i对应的点在第一象 限，且 cos θ＝ ，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 计算：（1）8 × ； 解： 原式＝8 ＝8（ cos ＋i sin ）＝－4 ＋4 i. （2）2 （ cos －i sin ）÷［ （ cos ＋i sin ）］. 解： 原式＝2 ÷［ （ cos ＋i sin ）］ ＝2［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］＝－2i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）的三角形式是 （　　） A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160° C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160° √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°） ＝（ cos 80°＋i sin 80°）（ cos 80°＋i sin 80°） ＝ cos 160°＋i sin 160°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z的代数形式为（　　） A. 1－ i B. －1－ i C. 1＋ i D. －1＋ i √ 解析： 　由题意知，z＝2 ＝1＋ i.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若a＜0，则a的三角形式为（　　） A. a（ cos 0＋i sin 0） B. a（ cos π＋i sin π） C. －a（ cos π＋i sin π） D. －a（ cos π－i sin π） √ 解析： 　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（ cos π＋i sin π）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － － i D. － i √ 解析： 　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得到 对 应的复数为 cos ＋i sin ＝ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕在复平面内， ， 对应的复数分别为z1＝ ＋ i，z2＝ cos θ＋i sin θ，且 ⊥ ，则z2可能是（　　） A. － ＋ i B. ＋ i C. － i D. － － i √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为 ⊥ ，所以（ ， ）·（ cos θ， sin θ）＝0， 即 cos θ＋ sin θ＝0，即 cos θ＝－ sin θ，又 sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，则 或 所以z2＝－ ＋ i或z2＝ － i.故 选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知复数z＝ cos ＋i sin ，则下列关于复数z的结论中正确 的是（　　） A. ｜z｜＝1 B. ＝ cos ＋i sin C. 复数z是方程x3－1＝0的一个根 D. 复数－z的辐角主值为－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵z＝－ ＋ i，∴｜z｜＝ ＝1，故A正确；∵ ＝ － － i＝ cos ＋i sin ，故B正确；∵z3＝ cos ＋i sin ＝1，∴z3－ 1＝0，故C正确；∵－z＝ － i，∴复数－z的辐角主值为 ，故D错 误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 计算2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝ ⁠. 解析：2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝[2（ cos 0°＋i sin 0°）]÷[2 （ cos 60°＋i sin 60°）]＝ cos （0°－60°）＋i sin （0°－60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝ － i. － i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如果θ∈ ，则复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角主值 为 ⁠. 解析：（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ · ·（ cos θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin ］，∵θ∈ ，∴θ＋ ∈ ，∴该复数的辐角主值是θ＋ . θ＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在复平面内，将复数 ＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°， 则所得向量对应的复数三角形式为 ，代数 形式为 ⁠. 解析：由题意知，（ ＋i）×（ cos 90°＋i sin 90°） ＝2（ cos 30°＋i sin 30°）×（ cos 90°＋i sin 90°） ＝2（ cos 120°＋i sin 120°） ＝－1＋ i. 2（ cos 120°＋i sin 120°）　 －1＋ i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 把下列复数表示成代数形式： （1）4 ； 解： 4 ＝4 ＝2－2 i. （2）2 . 解： 2 ＝2 ＝－ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 复数z＝ cos ＋i sin 是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为 （　　） A. ＋ i B. ＋ i C. － － i D. － － i √ 解析： 　因为z＝ cos ＋i sin 是方程x5＋α＝0的一个根，所以α＝－ x5＝－（ cos ＋i sin ）5＝－ cos －i sin ＝－ － i.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕复数 cos ＋i sin 经过n（n∈N*）次乘方后，所得的复数等 于它的共轭复数，则n的值可以为（　　） A. 3 B. 5 C. 11 D. 12 √ √ 解析： 　由题意，得（ cos ＋i sin ）n＝ cos ＋i sin ＝ cos －i sin ，由复数相等的定义，得 结合各选项，可知 n＝5或11.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 复数z＝（1－ i）5，则z的模等于 ，辐角主值为 　 　. 解析：∵（1－ i）5＝25 ＝32（ cos ＋i sin ）5＝32（ cos ＋i sin ）＝32（ cos ＋i sin ）.∴复数z的模为32，辐角主值为 . 32　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 将tan θ＋i，θ∈ 表示成三角形式. 解：tan θ＋i＝ ＋i＝ （ sin θ＋i cos θ）， ∵θ∈ ， ∴ cos θ＞0， ∴tan θ＋i＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 设复数z1＝ ＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1· 在复平面内对应的 点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式. 解：因为z1＝ ＋i＝2 ， 设z2＝2（ cos α＋i sin α），α∈（0，π）， 所以z1· ＝2 ×4（ cos 2α＋i sin 2α）＝8 . 由题设知2α＋ ＝2kπ＋ （k∈Z）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以α＝kπ＋ （k∈Z）. 又α∈（0，π）， 所以α＝ ， 所以z2＝2 ＝－1＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $