13.3.1 空间图形的表面积(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间图形的表面积这一核心知识点，系统梳理棱柱、棱锥、棱台等多面体及圆柱、圆锥、圆台等旋转体的表面积计算方法，从定义、公式推导到组合体应用，构建从基础到综合的学习支架，为空间几何知识体系奠定基础。 该资料以正八面体钻石表面积问题引入，激发探究兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。通过“想一想”环节引导学生发现公式间逻辑联系，培养逻辑推理能力，结合实际例题（如正四棱台容器制作）提升数学运算与应用意识。课中辅助教师系统教学，课后通过分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

13.3.1　空间图形的表面积 课标要求 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法（直观想象）. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题（逻辑推理，数学运算）. 　　金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石. 【问题】　已知该正八面体钻石的棱长为a，你能求出它的表面积吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.定义：多面体的表面积就是　围成多面体各个面　的面积的　和　. 2.几个特殊多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面　垂直　的棱柱； （2）正棱柱：底面为　正多边形　的直棱柱； （3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是　底面中心　； （4）正棱台：正棱锥　被平行于底面　的平面所截，截面和底面之间的部分. 3.直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 直棱柱 S直棱柱侧＝　ch　， S表＝S侧＋2S底 c为底面多边形的周长，h为棱柱的高 正棱锥 S正棱锥侧＝　nah'　＝　ch'　， S表＝S侧＋S底 a为底面边长，c为底面周长，h'为斜高 名称 展开图 公式 备注 正棱台 S正棱台侧＝　n（a＋a'）h'　 ＝　（c＋c'）h'　， S表＝S侧＋S上底＋S下底 a为下底面边长，a'为上底面边长，c为下底面周长，c'为上底面周长，h'为斜高 【想一想】 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 提示：正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系可表示为： 知识点二　圆柱、圆锥和圆台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 圆柱 S上底＝S下底＝2πr2， S圆柱侧＝cl＝　2πrl　， S圆柱表＝　2πr（r＋l）　 r为底面圆半径，l为圆柱的母线 圆锥 S底＝　πr2　， S圆锥侧＝cl＝　πrl　， S圆锥表＝　πr（r＋l）　 c为底面周长，l为母线长，r为底面圆半径 名称 展开图 公式 备注 圆台 S上底＝　πr'2　， S下底＝　πr2　， S圆台侧＝（c＋c'）l ＝π（r＋r'）l， S圆台表＝π（r'2＋ r2＋r'l＋rl） r'，r分别为上、下底面圆半径，c'，c分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线长 【想一想】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系可表示为： 1.棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A.　　 B.2　　　C.3　　 D.4 解析：A　S表＝4S正三角形＝4×＝. 2.〔多选〕底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则下列结论正确的是（　　） A.棱柱的侧面积是8 B.棱柱的侧面积是2 C.棱柱的表面积是9 D.棱柱的侧面积是10 解析：AD　由题意知，底面正方形的边长为1，直棱柱的高为2，所以S侧＝4×1×2＝8，S表＝S侧＋S底＝8＋2×1×1＝10.故选A、D. 3.圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的表面积是　56π　. 解析：圆台的表面积为S表＝π（1＋5）×5＋12π＋52π＝56π. 4.（2025·南通期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为　π　. 解析：根据题意得圆锥的母线长l＝＝，代入S侧＝πrl即可求得S侧＝π×1×＝π. 题型一｜多面体的侧面积与表面积 【例1】　（链接教科书第200页例1）用铁皮制造一个上大下小的正四棱台形无盖的容器（上面开口），正四棱台容器的上底面是边长为40 cm的正方形，下底面是边长为20 cm的正方形，侧面是全等的等腰梯形. （1）若正四棱台的侧棱长为20 cm，则制造这种容器需要多少平方厘米铁皮？ 解：（1）如图，将该正四棱台容器倒置后得正四棱台ABCD-A1B1C1D1， 它的上底面是边长为20 cm的正方形，下底面是边长为40 cm的正方形， 所以上底面小正方形的面积为400 cm2， 因为侧棱长为20 cm，侧面是全等的等腰梯形，作A1E垂直于AB，垂足为E， 所以侧面等腰梯形的高为A1E＝＝＝10 ， 所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋40）×10＝300 ， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300 ×4＝400＋1 200 （cm2）. （2）若正四棱台的高为10cm，则制造这种容器需要多少平方厘米铁皮？ 解：（2）如图，将该正四棱台容器倒置后得正四棱台ABCD-A1B1C1D1，设O1，O分别为上、下底面的中心，过O作OE⊥BC于E，过O1作O1E1⊥B1C1于E1， 过E1作E1F⊥OE于F，连接E1E，则E1E为正四棱台的斜高. 所以侧面等腰梯形的高为E1E＝＝＝10 ， 所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋40）×10＝300 ， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300 ×4＝400＋1 200 （cm2）. 通性通法 　　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积的求解方法 （1）直棱柱的侧面展开图是一个矩形，因此求侧面积只需求出相应底面周长及高即可； （2）求解正棱锥的表面积需注意棱锥的四个基本量，即底面的边长，高，斜高，侧棱，并注意两个特殊的直角三角形的应用； （3）求解正棱台的表面积需注意棱台的五个基本量，即上下底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用. 【跟踪训练】 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求该正三棱锥的表面积. 解：如图所示，设O为正三角形ABC的中心， 连接PO，连接AO并延长交BC于D，连接PD， 则PO是正三棱锥P-ABC的高. 由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点， 又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高. 由已知∠APO＝45°，AO＝××4＝（cm）， 所以PA＝AO＝×＝（cm）， 所以PB＝（cm）.所以PD＝＝ ＝（cm）. 所以正三棱锥P-ABC的侧面积S侧＝3S△PBC＝3××4×＝4（cm2）， 底面积S底＝×42×＝4（cm2）. 故S表面积＝S侧＋S底＝4＋4＝4（＋）（cm2）. 题型二｜旋转体的侧面积与表面积 【例2】　（链接教科书第200页例2）如图所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm，求以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形的表面积. 解：以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形是圆台， 其上底面半径是4 cm， 下底面半径是16 cm， 母线DC＝＝13（cm）， 所以该空间图形的表面积为π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）. 通性通法 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键. 2.解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题. 【跟踪训练】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 解：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r，R，则有＝，即＝， 所以R＝2r， 圆锥的母线长l＝R， 所以＝＝ ＝＝＝－1. 题型三｜组合体的表面积 【例3】　如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？ 解：几何体的表面积为S＝6×22－π×（0.5）2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π. 通性通法 求组合体表面积时应注意的问题 （1）首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减； （2）在求组合体的表面积时要注意“表面（和外界直接接触的面）”的定义，以确保不重复、不遗漏. 【跟踪训练】 （2025·镇江期末）如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（　　） A.10π　　　　　　　 B.20π C.100π　 D.200π 解析：B　设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则原圆柱的表面积为2πr2＋2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，故2rh＝20，原圆柱的侧面积为2πrh＝20π.故选B. 1.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（　　） A.　 B.1 C.　 D. 解析：B　依题意，正三棱台的高h＝＝1. 2.〔多选〕圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则（　　） A.圆台的侧面积为68π B.圆台的侧面积为100π C.圆台的表面积为100π D.圆台的表面积为168π 解析：BD　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选B、D. 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为　12π　. 解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×（）2＋2π××2＝12π. 4.已知正三棱锥的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的侧面积为　　. 解析：如图，设正三棱锥S-ABC的顶点S在底面的正投影为点O，作OD⊥AB于点D，连接SD，SO.因为正三棱锥的底面边长为3，高为，所以OD＝，OS＝，则SD＝＝1.因为SO⊥AB，OD⊥AB，SO∩OD＝O，SO，OD⊂平面SOD，所以AB⊥平面SOD，则AB⊥SD.因为正三棱锥的侧面是全等的三角形，所以正三棱锥的侧面积为3××3×1＝. 1.某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（　　） A.1　　 B.　　C.2　　 D.2 解析：B　依题意，圆锥的母线长l＝2.设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝π×2，解得r＝1，所以圆锥的高h＝＝.故选B. 2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是（　　） A.8　 B.16 C.8＋12　 D.8＋16 解析：D　设直棱柱的高为h，则＝4，解得h＝2，故直棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16. 3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（　　） A.a2　 B.a2 C.a2　 D.a2 解析：A　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××＝a2. 4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为（　　） A.4＋4　　　　 B.4＋4 C.12　 D.8＋4 解析：A　连接A1B（图略）.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4. 5.〔多选〕等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（　　） A.π　 B.（1＋）π C.2π　 D.（2＋）π 解析：AB　如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长，所以所形成的几何体的表面积S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝（＋1）π；如果绕斜边所在直线旋转，那么形成的是同底的两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线长都是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是（＋1）π或π.故选A、B. 6.〔多选〕已知正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为，则（　　） A.正四棱锥的底面边长为6 B.正四棱锥的底面边长为3 C.正四棱锥的侧面积为24 D.正四棱锥的侧面积为12 解析：AC　如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a（a＞0），因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝×6×2×4＝24.故选A、C. 7.圆柱OO'的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为　24π　，表面积为　32π　. 解析：由题意知圆柱的底面半径r＝2，母线长l＝6，则该圆柱的侧面积为S侧＝2πrl＝24π，表面积为S表＝2πrl＋2πr2＝2πr（r＋l）＝32π. 8.如图所示，正方形ABCD的边长为6 cm，BC，CD的中点分别为E，F，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为　36　cm2. 解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此这个三棱锥的表面积就是正方形的面积，为6×6＝36（cm2）. 9.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的侧面积为　48　. 解析：如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF＝×（8－4）＝2，B1B＝8，∴B1F＝＝2，S侧＝×（4＋8）×2×4＝48. 10.如图所示，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积. 解：如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h'. 因为S侧＝2S底， 所以3×·a·h'＝a2×2. 所以a＝h'. 因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 所以32＋（×h'）2＝h'2. 所以h'＝2，所以a＝h'＝6. 所以S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18. 所以S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27. 11.（2025·连云港期末）用油漆涂100个圆台形无盖水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长为27.5 cm.已知每平方米需用油漆120 g，共需用油漆（精确到0.1 kg）（　　） A.6.7 kg　 B.6.8 kg C.6.9 kg　 D.7.0 kg 解析：C　30 cm＝0.3 m，25 cm＝0.25 m，27.5 cm＝0.275 m，120 g＝0.12 kg，S侧＝π×0.275×（＋）＝0.275×0.275π，S底＝π×（）2＝0.125×0.125π，故一个桶需要涂漆面积为S＝2（S侧＋S底）＝0.182 5π，故100个桶需要涂漆为100×0.12×0.182 5π≈6.9 kg.故选C. 12.〔多选〕某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（　　） A.∠ADC＝30° B.该圆台轴截面ABCD面积为3 cm2 C.该圆台的侧面积为6π cm2 D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm 解析：BCD　对于A，由已知及题图知：cos∠ADC＝且0°＜∠ADC＜90°，故∠ADC＝60°，故A错误；对于B，由A易知：圆台高为h＝2×sin 60°＝，所以圆台轴截面ABCD面积S＝×（2＋4）×＝3 cm2，故B正确；对于C，圆台的侧面积S侧＝π×（1＋2）×2＝6π cm2，故C正确；对于D，将圆台一半侧面展开，如图中ABCD且E为AD中点，而圆台对应的圆锥体一半侧面展开为COD且OC＝4，又∠COD＝＝，所以在Rt△COE中CE＝＝5 cm，即点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确.故选B、C、D. 13.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　26　个面，其棱长为　－1　. 解析：由题图②可知第一层与第三层各有9个面，共18个面，第二层有8个面，所以该半正多面体共有18＋8＝26（个）面.如图所示，设该半正多面体的棱长为x，则AB＝BE＝x，延长CB与FE的延长线交于点G，延长BC交棱长为1的正方体棱于点H，由半正多面体的对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，所以BG＝GE＝CH＝x，所以GH＝2×x＋x＝（＋1）x＝1，解得x＝＝－1. 14.如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱. （1）用x表示此圆柱的侧面积表达式； （2）当x为何值时，此圆柱的侧面积最大，最大值为多少？ 解：（1）设圆柱的半径为r，圆柱的高为x，则＝，解得r＝2－x，且0＜x＜2， ∴圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πrx＝2π（2－x）x＝－2πx2＋4πx（0＜x＜2）. （2）S圆柱侧＝－2πx2＋4πx＝2π[－（x－1）2＋1]，0＜x＜2，当x＝1时， S圆柱侧取得最大值为2π. 15.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除如图所示，已知上底面ABCD是高为2的等腰梯形，右侧面BCEF是高为1的等腰梯形，下底面是梯形，前、后侧面均为三角形.AD＝8，BC＝10，EF＝6，AD∥BC∥EF，且平面ABCD⊥平面BCEF，求该“羡除”的表面积. 解：S梯形ABCD＝×（8＋10）×2＝18， S梯形BCEF＝×（10＋6）×1＝8. 在等腰梯形ABCD中， ∵AD＝8，BC＝10， 梯形的高为2， ∴AB＝ ＝. 同理可得，BF＝ ＝. 过F作FM⊥BC于M，过M作MN⊥AD于N，连接FN（图略）， 则有FM＝1，MN＝2，BM＝2，AN＝1. ∵BC⊥FM，BC⊥MN，FM∩MN＝M，FM，MN⊂平面FMN， ∴BC⊥平面FMN.∴BC⊥FN. 又BC∥AD，∴AD⊥FN. ∵平面ABCD⊥平面BCEF， ∴∠NMF＝90°.∴FN＝，AF＝， ∴S梯形ADEF＝×（8＋6）×＝7. 在等腰△ABF中，点B到AF的距离为 ＝，∴S△ABF＝××＝. 由对称性可知S△DCE＝S△ABF＝. ∴该“羡除”的表面积为18＋8＋7＋＋＝26＋7＋. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $