12.2 第1课时 复数的加法、减法、乘法运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦复数的加法、减法、乘法运算及共轭复数，通过类比实数运算提出“复数加法是否满足交换律与结合律”的问题导入，衔接旧知，构建从实数到复数运算的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，采用“知识点-自我诊断-典例研析-跟踪训练”闭环设计，如共轭复数应用中设z=x+yi将复数问题转化为实数方程组，强化运算能力。助力学生夯实基础提升素养，为教师提供系统教学资源，便于高效教学。

第1课时　复数的加法、减法、乘法运算 1 1.掌握复数代数形式的加、减运算（数学运算）. 2.理解复数乘法的运算法则，能进行复数的乘法运算（数学抽象、数学运算）. 3.掌握共轭复数的概念及应用（数学抽象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足 交换律与结合律. 【问题】　复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　复数的加法运算及运算律 1. 复数的加法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则（a＋bi）＋（c＋ di）＝ ⁠. 即两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加. 2. 复数加法满足的运算律 对任何z1，z2，z3∈C，有： （1）交换律：z1＋z2＝ ⁠； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ ⁠. （a＋c）＋（b＋d）i　 z2＋z1　 z1＋（z2＋z3）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　复数的减法运算 1. 复数的差 把满足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的复数x＋yi（x，y∈R）叫作复 数a＋bi减去c＋di所得的差，记作 ⁠. 2. 复数的减法法则 （a＋bi）－（c＋di）＝ ⁠. 即两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减. （a＋bi）－（c＋di）　 （a－c）＋（b－d）i　 　　提醒：复数的减法是加法的逆运算. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 　对于多个复数相加（减）应该如何运算呢？ 提示：实部与虚部分别相加（减）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　复数的乘法运算 1. 复数的乘法法则 （a＋bi）（c＋di）＝ ⁠. 2. 复数乘法的运算律 对任何z1，z2，z3∈C，有： （1）交换律：z1z2＝ ⁠； （2）结合律：（z1z2）z3＝ ⁠； （3）分配律：z1（z2＋z3）＝ ⁠. （ac－bd）＋（bc＋ad）i　 z2z1　 z1（z2z3）　 z1z2＋z1z3　 　　提醒：（1）两个复数的积仍是一个复数；（2）复数的乘法法则与多 项式的乘法法则类似. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果 中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并. 2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 提示：仍然成立，乘法公式也适用. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点四　共轭复数 1. 共轭复数的定义 （1）把实部 、虚部 ⁠的两个复数叫作互为共轭 复数； （2）记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数记作 ，即 ＝ ⁠ ⁠. 2. 共轭复数的性质 （1）当复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部b＝0时，z＝ ，也就是说， 实数的共轭复数是 ⁠； （2）z· ＝a2＋b2. 相等　 互为相反数　 a －bi　 它本身　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 复数与复数相加减后结果只能是实数 B. 在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减 C. 在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部 D. 复数的减法不满足结合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不 成立 √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，复数与复数相加减后结果为确定的复数，故A错误； B、C正确；对于D，根据复数的运算法则可知（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）是成立的，故D错误.故选B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（　　） A. 8i B. 6 C. 6＋8i D. 6－8i 解析： 　根据复数的加法法则得z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝6. 故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知z＝3＋2i，则 ＝ ，z· ＝ ⁠. 解析： ＝3－2i，z· ＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13. 3－2i　 13　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜复数的加、减运算 【例1】　（1）（链接教科书第123页例1）计算：（5－5i）＋（－2－ 2i）－（3＋3i）＝ ⁠； 解析： （5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－3）＋[－5＋ （－2）－3]i＝－10i. －10i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2 ＝ ⁠. 解析： 因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以（3＋x）＋ （2－y）i＝5－6i，所以 所以 所以z1－z2＝（2＋ 2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i. －1＋10i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 复数加（减）运算的法则 （1）复数代数形式的加（减）运算实质就是将实部与实部相加（减）， 虚部与虚部相加（减）之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提 取复数的实部与虚部； （2）复数的加（减）运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类 项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. －i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝ ⁠. 解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝－i＋1－5i－2－3i＋i －1＝－2－8i. 2. 已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a ＝ ⁠. 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是纯虚数，所 以 解得a＝3. －2－8i　 3　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜复数的乘法运算 【例2】　（链接教科书第124页例2、例3）（1）设a∈R，（a＋i）（1 －ai）＞0，则a＝（　C　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析： ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＞ 0，则复数2a＋（1－a2）i为实数，∴2a＞0且1－a2＝0，解得a＝1.故 选C. C 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）计算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝ ⁠. 解析： （2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i－5i2）（3 －4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i＝53＋ 21i＋2i＝53＋23i. 53＋23i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要 把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便. 例如平方差公式、完全平方公式等. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　） A. 2－13i B. 13＋2i C. 13－13i D. －13－2i 解析： 　（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13 －2i.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m＝ ⁠. 解析：∵（m2＋i）（1＋mi）＝m2－m＋（m3＋1）i是实数，∴m3＋1＝ 0，则m＝－1. －1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜共轭复数及其应用 【例3】　复数z满足z· ＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数. 解：设z＝x＋yi（x，y∈R），则 ＝x－yi. ∵z· ＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i（x＋yi）＝4＋2i， ∴（x2＋y2－2y）＋2xi＝4＋2i. ∴ 解得 或 ∴z＝1＋3i或z＝1－i. ∴z的共轭复数为 ＝1－3i或 ＝1＋i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：（1）设z＝a ＋bi（a，b∈R），则z· ＝a2＋b2；（2）z∈R⇔z＝ . 2. 紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解题的关 键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知z∈C， 为z的共轭复数，若z· －3i ＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi. 由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 则有 解得 或 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b ＝（　　） A. 5 B. 1 C. 0 D. －3 解析： 　因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝ 3，b＝2，所以a－b＝1.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共轭复数的虚部 是（　　） A. 1 B. i C. －1 D. －i 解析： 　z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－i，则 ＝i，复数 的虚部为1.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 定义一种运算： ＝ad－bc.则复数 的共轭复数 是 ⁠. 解析：∵ ＝3i（1＋i）＋2＝－1＋3i，∴其共轭复数为－1－ 3i. －1－3i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 若复数z满足（1＋2i） ＝4＋3i，则z＝ ⁠. 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi.∴（1＋2i）（a－bi） ＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋ 3i，∴ 解得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i. 2＋i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若（a＋3i）－（2－i）＝5＋bi（a，b∈R），则a＋b＝（　　） A. －4 B. 11 C. －8 D. 5 解析： 　（a＋3i）－（2－i）＝（a－2）＋4i＝5＋bi. 故 即 所以a＋b＝11.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·徐州期末）复数i（1－2i）的共轭复数为（　　） A. 2－i B. 2＋i C. －2－i D. －2＋i 解析： 　i（1－2i）＝i－2i2＝2＋i，则复数的共轭复数为2－i.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （1－i） （1＋i）＝（　　） A. 1＋ i B. － ＋i C. ＋i D. －1＋ i 解析： 　（1－i） （1＋i）＝（1－i）（1＋i）（－ ＋ i） ＝（1－i2） ＝2（－ ＋ i）＝－1＋ i.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则（　　） A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2 C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2 解析： 　由题意知 ＝1＋2i，所以z＋a ＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b ＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a ＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i ＝0，所以 解得 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝－4＋3i，z3＝1－i，则 （　　） A. z1＋z3＝4＋3i B. z1与z2互为共轭复数 C. z1＋z2＋z3为纯虚数 D. （z1－z2）z3＝8－6i √ √ √ 解析： 　对于A，z1＋z3＝3＋4i＋（1－i）＝4＋3i，故A正确；对于 B，复数z1＝3＋4i的共轭复数为 ＝3－4i，故B错误；对于C，z1＋z2＋z3 ＝3＋4i－4＋3i＋1－i＝6i，故C正确；对于D，因z1－z2＝7＋i，则（z1－ z2）z3＝（7＋i）（1－i）＝8－6i，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕给出下列命题，其中是真命题的是（　　） A. 纯虚数z的共轭复数是－z B. 若z1－z2＝0，则z1＝ C. 若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数 D. 若z1－z2＝0，则z1与 互为共轭复数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　选项A中，根据共轭复数的定义知是真命题，故A正确；选项 B中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝ ，当z1， z2均为虚数时，z1≠ ，故B错误；选项C中，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能 均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相 等，故C错误；选项D中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与 互为共轭复 数，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 若复数z满足z＋（5－6i）＝3，则z的虚部为 ⁠. 解析：由z＋（5－6i）＝3，得z＝3－（5－6i）＝－2＋6i，故z的虚部 为6. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位），则a2＋b2 ＝ ，ab＝ ⁠. 解析：由已知（a＋bi）2＝3＋4i，即a2－b2＋2abi＝3＋4i，得 解得 则a2＋b2＝5，ab＝2. 5　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知复数z1＝ －2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数 m＝ ⁠. 解析：z1＋z2＝（ －2mi）＋（－m＋m2i）＝（ －m） ＋（m2－2m）i.因为z1＋z2＞0，所以z1＋z2为实数且大于0，所以 解得m＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 计算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）； 解： （－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i） ＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i ＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i ＝－1－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）（ ＋ i）＋（2－i）－（ － i）； 解： （ ＋ i）＋（2－i）－（ － i） ＝ ＋ i＋2－i－ ＋ i ＝（ ＋2－ ）＋（ －1＋ ）i ＝1＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2，z1z2. 解： z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i） ＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i. z1z2＝（2＋3i）（－1＋2i） ＝－2＋4i－3i＋6i2 ＝－2＋i－6 ＝－8＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 据记载，欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R）是由瑞士著名数学家欧 拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个 令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的 底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数1和0）联系到了一起，有些数学家评 价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z＝ 的共轭复数为 ，则 ＝（　　） A. － － i B. － ＋ i C. ＋ i D. － i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R），得z＝ ＝ cos ＋ i sin ＝－ ＋ i，根据共轭复数定义可知 ＝－ － i.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕若复数z满足z＋2 ＝9＋4i（i为虚数单位），则（　　） A. z ＝25 B. z＝3＋4i C. z＝3－4i D. ＝3＋4i √ √ √ 解析： 　设z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2 ＝9＋4i，∴x＋yi＋2 （x－yi）＝9＋4i，即3x－yi＝9＋4i，∴ ∴ ∴z＝ 3－4i， ＝3＋4i，∴z ＝（3＋4i）（3－4i）＝9－16i2＝9＋16＝25.故选 A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：把 ＋ i代入方程，得a ＋b ＋1＝0，即 ＋ i＝0，所以 即 解得 13. 已知 ＋ i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a ＝ ，b＝ ⁠. 1　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知复数z＝（1－i）2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i（a，b∈R）， 求b＋ai的共轭复数. 解：z＝（1－i）2＋1＋3i ＝－2i＋1＋3i ＝1＋i， 由z2＋az＋b＝1－i， 得（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i， ∴a＋b＋i（a＋2）＝1－i（a，b∈R）， ∴ 解得 ∴b＋ai＝4－3i，则b＋ai的共轭复数是4＋3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2bz＝（a＋2z）2成立，求 a，b的值. 解：az＋2bz＝（a＋2b）＋（a＋2b）i， （a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i ＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i， ∴（a＋2b）＋（a＋2b）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i. ∴ 解得 或 ∴所求实数a＝－2 ，b＝4－3 或a＝2 ，b＝4＋3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $