9.2.1 第1课时 向量的加法运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第1课时　向量的加法运算 1 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义（数学抽象）. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能利用两个法则进行向量的加法运算（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 如图，一游客先从景点O到景点A，再从景点A到景点B和该 游客直接由景点O到景点B的结果是相同的，即都从景点O到 达景点B. 利用向量表示就是：从景点O到景点A的位移为 ， 从景点A到景点B的位移为 ，由景点O到景点B的位移是 . 【问题】　向量 ， ， 三者之间有何关系？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1. 定义：求两个向量和的运算. 2. 向量求和的运算法则 三角形 法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝ b，则向量 叫作a与b的和，记作 ，即a＋b ＝ ＝ a＋b　 ＋ 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 平行四边 形法则 对于任意两个 的非零向量a，b，分别作 ＝a， ＝b，以OA，OC为邻边作 ，则以O为起点 的对角线表示的向量 就是向量a与b的和 不共线　 ▱OABC　 　　提醒：（1）运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再连 接首尾”；（2）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向 量起点相同. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 　　提醒：｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系：一般地，我们有｜a ＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向 相同的非零向量时，等号成立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在△ABC中， ＝a， ＝b，则a＋b＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　 ＋ ＝ .故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. a＋0＝a B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ C. a＋b＝b＋a D. ＝ ＋ ＋ 解析： 　A中，a＋0＝a，故A正确；B中，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜ b｜不一定成立，例如，a＝－b时，该式不成立，故B错误；C、D正确. 故选A、C、D. √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在正方形ABCD中，若｜ ｜＝1，则 ＋ ｜＝ ⁠. 解析：根据向量加法的平行四边形法则知， ＋ ＝ ，则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量加法的运算法则 【例1】　（链接教科书第11页例1）（1）如图①所示，求作向量a＋b； 解： 首先作向量 ＝a， 然后作向量 ＝b， 则向量 ＝a＋b.如图③所示. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）如图②所示，求作向量a＋b＋c. 解： 法一（三角形法则）　如图④所示，首先在平面 内任取一点O，作向量 ＝a，再作向量 ＝b，则得向 量 ＝a＋b，然后作向量 ＝c，则向量 ＝（a＋ b）＋c＝a＋b＋c即为所求. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二（平行四边形法则）　如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b， ＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则 ＝ ＋ ＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC， 连接OE， 则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求作和向量的方法 （1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平 移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一 定要注意首尾相接； （2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个 向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取 的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所 示，则 ＋ ＝ ，由 和 的模相等，方向相 同，得 ＝ ，即 ＋ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在矩形ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，则｜ ＋ ＋ ｜ ＝ ⁠. 解析：因为 ＋ ＝ ，所以｜ ＋ ＋ ｜是｜ ｜的2倍. 又｜ ｜＝ ＝2 ，所以｜ ＋ ＋ ｜＝4 . 4 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量加法运算律的应用 【例2】　（链接教科书第13页练习第4题）化简下列各式： （1） ＋ ＋ ； 解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ . （2）（ ＋ ）＋（ ＋ ）； 解： 法一　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝ . 法二　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋（ ＋ ＋ ）＝ ＋ 0＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3） ＋ ＋ ＋ ＋ . 解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立. 2. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋ b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a ＋c）]＋（b＋e）. 3. 向量求和的多边形法则： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ . 特别地，当An和A1重合时， ＋ ＋ ＋…＋ ＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＝ .故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心，则 ＋ ＋ ＝ ； ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ . 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜向量加法的实际应用 【例3】　（链接教科书第12页例2）如图，在长江南岸某渡口处，江水以 10 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为20 km/h. （1）用向量表示水流速度，渡船的静水速度，以及渡船的实际速度； 解： 作出图形，如图. 设 表示水流的速度， 表示渡船的静水速度， 表 示渡船的实际速度. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若渡船从南岸出发垂直地渡过长江，则渡船的航向应如何确定？ 解： 船速v船与正北方向成α角， 由图可知，v水＋v船＝v实际，即 ＋ ＝ . ∴四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜＝10 km/h，｜ ｜＝｜v 船｜＝20 km/h， ∴ sin α＝ ＝ ＝ ，∴α＝30°，从而渡船行进的方向与正北方 向成30°的角. 故渡船行进的方向应为北偏西30°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少 km？ 解：由图可知｜ ｜＝ cos α｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝10 （km/h）， 则经过3小时，该船的实际航程是3×10 ＝30 （km）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （变设问）若本例条件不变，本例（2）中改为“若渡船沿垂直于水流 的方向航行，求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值”. 解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20 km/h，｜ ｜＝｜v水｜＝10 km/h， 渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC，则tan∠BAC＝ ＝2. 即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4 m/s， 现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时速度的 大小和方向. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：如图，用 表示无风时雨滴下落的速度， 表示风使雨 滴水平向东的速度.以 ， 为邻边作平行四边形OACB， 则 就是雨滴下落的实际速度. 在Rt△OAC中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝｜ ｜＝ ， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ， 所以tan∠AOC＝ ＝ ＝ ，所以∠AOC＝30°. 故雨滴着地时速度的大小是 m/s，方向为与竖直向下方向成30°角. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为 的是 （　　） A. ＋ ＋ B. ＋ ＋ C. ＋ ＋ D. ＋ ＋ 解析： 　在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在B中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在C中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ； 在D中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .故选A、B、D. √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则（　　） A. a，b同向 B. a，b反向 C. a＝－b D. a，b无论什么关系均可 解析： 　当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都 不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；向量a与b同向时，a＋b的方向 与a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；向量a与b反向 且｜a｜＜｜b｜时，a＋b的方向与b的方向相同（与a的方向相反）， 且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在矩形ABCD中， ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . ​ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游 向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿 ⁠的 方向前进，速度为 ⁠. 与水流方向成60°　 8 km/h　 解析：如图所示，∵OB＝4 ，OA＝4，∴OC＝8，∠COA ＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 化简： ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　 ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在平行四边形ABCD中，若｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜，则四边形 ABCD是（　　） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定 解析： 　∵｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜ ＝｜ ｜，∴｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形ABCD是矩形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则 向量a＋b表示（　　） A. 向东北方向航行2 km B. 向北偏东30°方向航行2 km C. 向北偏东60°方向航行2 km D. 向东北方向航行（1＋ ）km 解析： 　如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°.故a＋b 的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 若在△ABC中， ＝a， ＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜ ＝ ，则△ABC的形状是（　　） A. 正三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　由于｜ ｜＝｜a｜＝1，｜ ｜＝｜b｜＝1，｜ ｜＝｜ a＋b｜＝ ，即｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以△ABC为等腰直 角三角形.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕在▱ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d，下 列等式成立的是（　　） A. a＋b＝c B. a＋d＝b C. b＋d＝a D. ｜a＋b｜＝｜c｜ √ √ √ 解析： 　如图，由向量加法的平行四边形法则知A、D 正确；由三角形法则知B正确，C错误.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能为 （　　） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 解析： 　由a∥b可知，a，b共线.由｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜ ＝8，｜b｜＝4.当a，b方向相同时，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12， 当a，b方向相反时，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 （1） ＋ ＋ ＝ ⁠； 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ . （2） ＋ ＋ ＝ ⁠. 解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0. 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜ ｜＝2，则｜ ＋ ｜ ＝ ⁠. 解析：如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为O. ＋ ＝ ＋ ＝ .∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三 角形.又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，AO＝ ＝ ，∴｜ ｜＝2｜ ｜＝2 ，即｜ ＋ ｜＝2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一 点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ⁠. 解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形.由向 量加法的运算法则可知 ＋ ＝ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ＋ ＝ . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B 地，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地，求这架飞机 飞行的路程及两次位移的和（参考数据： sin 37°＝0.6）. 解：设 ， 分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从 B地按南偏东55°的方向飞行600 km， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 则飞机飞行的路程指的是｜ ｜＋｜ ｜；两次位移的和指的是 ＋ ＝ . 依题意，有｜ ｜＋｜ ｜＝800＋600＝1 400，∠ABC＝35°＋55° ＝90°. 在Rt△ABC中，｜ ｜＝ ＝ ＝1 000， 所以 sin ∠BAC＝0.6，所以∠BAC＝37°，即两次位移的和的方向为北 偏东35°＋37°＝72°. 从而飞机飞行的路程是1 400 km，两次位移的和的大小为1 000 km，方向 为北偏东72°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. P为四边形ABCD所在平面上一点， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，则P为（　　） A. 四边形ABCD对角线的交点 B. AC的中点 C. BD的中点 D. CD边上一点 解析： 　因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝0.所以P为线段 AC的中点，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是任一非零向量， 则在下列结论中，正确的是（　　） A. a∥b B. a＋b＝a C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ √ √ √ 解析： 　因为a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＝0.所以A、C、D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图所示，已知在矩形ABCD中，｜ ｜＝4 ， 设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a＋b＋c｜＝ ⁠. 解析：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝ ＋ .如 图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE. ∵ ＝ ＝ ，∴四边形ACED是平行四边形，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ，∴｜a＋b＋c｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝2｜ ｜＝8 . 8 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点.求 证： （1） ＋ ＝ ＋ ； 证明：（1）由向量加法的三角形法则， ∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ∴ ＋ ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） ＋ ＋ ＝0. 证明： 由向量加法的平行四边形法则， ∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ （ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ） ＝0＋0＋0＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，已知向量a，b，c，d. （1）求作a＋b＋c＋d； 解： 在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d，则 ＝a＋b＋c＋d.如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设｜a｜＝2，e为单位向量，求｜a＋e｜的最大值. 解： 在平面内任取一点O， 作 ＝a， ＝e， 则a＋e＝ ＋ ＝ ， 因为e为单位向量， 所以点B在以A为圆心的单位圆上（如图所示）， 由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，此 时｜ ｜即｜a＋e｜取得最大值，最大值是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $