11.3 余弦定理、正弦定理的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理的应用，通过故宫角楼高度测量情境导入，结合方位角、坡角等术语学习，经自我诊断巩固基础，再以测量距离、高度、角度及物理问题为典例，通过通性通法总结构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，通过数学建模将测量、物理问题转化为解三角形，培养逻辑推理与数学运算素养。例如测量塔高时结合仰角用正余弦定理求解，帮助学生提升用数学思维解决实际问题的能力，教师可借助典型案例与通法总结优化教学效率。

11.3　余弦定理、正弦定理的应用 1 1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和物理有关的实际问题（逻辑推理、数学运算）. 2.通过解决实际问题，掌握数学建模的基本步骤（数学建模）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边 得出角楼的高度吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　实际应用问题中的有关名词、术语 1. 方位角： 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角，如图中B点 的方位角为α. 2. 方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 坡角与坡比： 坡面与水平面所成的二面角的度数叫作坡角，如图所示，坡角为θ；坡面 的垂直高度与水平长度之比叫作坡比，i为坡比. 　　提醒：应用正、余弦定理解决实际问题的思路 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　） A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上 C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上 解析： 　如图所示. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东 45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为（　　） A. 2 km B. 3 km C. 4 km D. 5 km √ 解析： 　作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知 ∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2（km）.由余弦 定理得AB2＝22＋22－2×2×2 cos 120°＝12，即AB＝2 （km）.所以A，B之间的距离为2 km.故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得 ∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（ －1）米到达D点，测得∠ADB ＝30°，则塔高为 米. 解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在 Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所以 ＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.则塔高为20米. 20　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜测量距离问题 【例1】　（链接教科书第101页练习2题）（1）如图，设点A，B在河的 两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离 为（　C　） A. m B. 25 m C. 50 m D. 50 m C 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，所以AB＝50 （m），故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的 C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°， ∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是 ⁠. 20 m　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 在△BCD中，∵∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝ 45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40 .在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45° ＝105°，∴∠CAD＝180°－（30°＋105°）＝45°.由正弦定理，得 AC＝ ＝20 .在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－ 2AC×BC× cos ∠BCA＝ ＋（40 ）2－2×20 ×40 cos 60°＝2 400，∴AB＝20 ，故A，B两点之间的距离为20 m. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类 型 A，B两点间不可 达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图 形 数学·必修第二册（SJ） 目 录 类 型 A，B两点间不可 达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 方 法 先测角C，AC＝ b，BC＝a，再用 余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD， ∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求 BC；在△ABC中用余弦定理求 AB 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示 的几何模型.若MA⊥平面ABC，NB⊥平面ABC，AC＝60 m，BC＝ 70 m，tan∠MCA＝ ， cos ∠NCB＝ ，∠MCN＝150°，求塔尖 MN之间的距离. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：依题意，在Rt△MAC中，AC＝60 m，tan∠MCA＝ ，则 cos ∠MCA ＝ ，CM＝ ＝ ＝75；在Rt△BCN中，BC＝70 m， cos ∠NCB＝ ，则CN＝ ＝ ＝75 ；又△MNC中，∠MCN＝ 150°，则MN＝ ＝ ＝75 .故塔尖MN之间的 距离为75 m. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜测量高度问题 【例2】　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面 内的两点C与D. 现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测 得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 解：在△BCD中，∠CBD＝π－（α＋β）， 由正弦定理得 ＝ ， ∴BC＝ ＝ ， 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C， AB＝a·tan C 数学·必修第二册（SJ） 目 录 类型 简图 计算方法 底 部 不 可 达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的 度数.先由正弦定理求出AC或 AD，再解直角三角形得AB的 值 点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D， ∠ACB的度数.在△BCD中， 由正弦定理求得BC，再解直 角三角形得AB的值 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 （2025·南通期末）某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的 正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为60°，在A的南偏西30°方向上 的B处，测得P的仰角为45°（O，A，B在同一水平面内），A，B两点 间的距离为20 m，则旗杆的高度OP约为（ ≈1.4， ≈1.7）（　　） A. 10 m B. 14 m C. 17 m D. 20 m √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，设OP＝h，则OA＝ ＝ ，OB＝ ＝h.在△OAB中，由题意可得，∠OAB＝60°，由余 弦定理可得 cos ∠OAB＝ ＝ cos 60°＝ ，解 得h＝10 ≈17.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜测量角度问题 【例3】　（链接教科书第105页例2）如图，在海岸A处发现北偏东45°方 向距A点（ －1） n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向， 与A距离2 n mile的C处我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私 船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜， 问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则 CD＝10 t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠CAB＝（ －1）2＋22－2（ － 1）×2 cos 120°＝6， ∴BC＝ ， ∵ ＝ ， ∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ， ∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∵ ＝ ， ∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ， ∴∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 测量角度问题画示意图的基本步骤 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（ ＋ 1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海 里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过 且 ＋1小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台 风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B， C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20. 由题意AB＝20（ ＋1），DC＝20 ，BC＝（ ＋1） ×10 . 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2， 所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 在△ABC中，由余弦定理得 cos ∠BAC＝ ＝ . 所以∠BAC＝30°， 又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，D 位于A的正北方向，∠ADC＝45°， 所以台风移动的方向为北偏西45°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜物理问题 【例4】　（链接教科书第105页例3）如图，某大桥 主孔采用独塔双索面斜拉悬臂组合结构体系，假设斜 拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢 索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？（ sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6） 解：把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为 邻边画出一个平行四边形OACB，其对角线的长度就表示它们 的合力的大小.由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向 下，且这个平行四边形是一个菱形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法一　如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分， 即AB⊥OC，且AD＝DB，OD＝ OC. 在Rt△AOD中，∠AOD＝53°，而OD＝ OC， 则合力｜F｜＝2｜F1｜ cos 53°＝2×5×104×0.6＝6×104（N）. 即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　在△OAC中， cos ∠OAC＝ cos （180°－2×53°）＝－（2 cos 253°－1）＝1－2×0.62＝0.28， 由余弦定理，得OC ＝ ＝ ×104＝6×104（N）. 即合力的大小为6×104 N，方向竖直向下. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形.解决此 类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角 形的问题. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，某同学沿平直路面由A点出发前进了100 m到达斜坡底端的 B点，又沿倾斜角为60°的斜面前进了100 m达到C点，求此同学的位 移和路程. 解：如图所示，画出该同学的位移矢量图， 为该同学 的位移，方向由A→C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法一　过点C作CD⊥AB，垂足为D， 则BD＝BC cos 60°＝100× ＝50（m），CD＝BC sin 60°＝100× ＝ 50 （m）. ∴AC＝ ＝ ＝100 （m）， 路程s＝AB＋BC＝200（m）. ∴如图 为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为 200 m. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　在△ABC中，AB＝BC＝100 m，∠ABC＝120°. 由余弦定理，得AC＝ ＝ ＝100 （m）. 路程s＝AB＋BC＝200（m）. ∴如图 为该同学的位移，大小为100 m，方向由A→C，路程为 200 m. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察 站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯 塔B的（　　） A. 北偏东10°方向上 B. 北偏西10°方向上 C. 南偏东80°方向上 D. 南偏西80°方向上 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝ 60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南 偏西80°方向上.故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知｜F1｜＝30 N，｜F2｜ ＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为 （　　） A. B. － C. D. － √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡.设F3 与F1之间的夹角为θ，作图（如图），可知当三力平衡 时，由余弦定理得｜F3｜＝ ＝70 （N），再由正弦定理得 ＝ ，即 sin θ＝ ＝ .故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 〔多选〕甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲 楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（　　） A. 甲楼的高度为20 m B. 甲楼的高度为10 m C. 乙楼的高度为 m D. 乙楼的高度为10 m √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝ 20 m，∴AD＝BDtan 60°＝20 ，∴甲楼的高度为 20 m.在△ABC中，设AC＝BC＝x，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB，即1 600＝x2＋x2 ＋x2，解得x＝ ，则乙楼的高度为 m.故选A、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知A，B，C，D四个景点，如图所示，∠CDB＝45°，∠BCD＝ 75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距 km，求 A，B两景点间的距离. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理 得 ＝ ， 即BD＝ ＝2. 在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD， 所以△ABD为等边三角形，所以AB＝2. 所以A，B两景点间的距离为2 km. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝ 120°，则A，C两地相距（　　） A. 10 km B. 10 km C. 10 km D. 10 km 解析： 　∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°＝102＋202－ 2×10×20× ＝700，∴AC＝10 km.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速 度为（　　） A. n mile/h B. 34 n mile/h C. n mile/h D. 34 n mile/h √ 解析： 如图所示，在△PMN中， ＝ ，∴MN＝ ＝34 ，∴v＝ ＝ （n mile/h）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的 “落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测 得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕 王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参 考数据： ≈1.732）（　　） A. 49米 B. 51米 C. 54米 D. 57米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝ 30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，可得h＝ ≈57米.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. （2025·扬州期末）如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河 岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E. 从D点测得∠ADC＝ 67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝ 60°.若测得DC＝ ，CE＝2 （单位：百米），则A，B两点的距离 为（　　） A. 2 百米 B. 2 百米 C. 百米 D. 3百米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　在△ACD中，∠ADC＝67.5°，∠ACD＝45°，则∠DAC＝ 180°－67.5°－45°＝67.5°，AC＝DC＝ ，在△BCE中，∠BCE＝ 75°，∠BEC＝60°，CE＝2 ，则∠EBC＝180°－75°－60°＝ 45°，∵ ＝ ，∴BC＝ ＝ ＝2 ，在△ABC 中，AC＝ ，BC＝2 ，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°， 则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB＝9，∴AB＝3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首 先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（△ABC的 角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离 的方案为（　　） A. 测量A，B，b B. 测量a，b，C C. 测量A，B，a D. 测量A，B，C √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦 定理 ＝ 解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C 即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦 定理 ＝ 解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮 由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说 法正确的是（　　） A. A处与D处之间的距离是24 n mile B. 灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C. 灯塔C在D处的西偏南60° D. D在灯塔B的北偏西30° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°， ∠CAD＝30°，所以∠ABD＝180°－60°－75° ＝45°，AB＝12 ，AC＝8 ，在△ABD中， 由正弦定理得 ＝ ，所以AD＝ ＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ＝ ＝8 （n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝ 30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，所 以D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世 博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世 博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离 是 m. 解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国 馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的 垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝ 60°，∴BC＝ m. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达 点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的 向A做匀速直线运 动，已知 cos ∠BAC＝ ，AB＝3 m，AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的 时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处 m的点. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D， CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中， cos A＝ ＝ ，整理可得15x2＋52x－164＝（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－ （舍去）.故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 一缉私艇在A处发现在其北偏东45°方向，距离12 n mile的海面C处有 一走私船正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h.若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东（45°＋ α）的方向去追，求追上走私船所需的时间和角α的正弦值. 解：设经过x h后缉私艇在B处追上走私船，如图. 依题意得AB＝14x n mile，BC＝10x n mile，∠ACB ＝120°， 在△ABC中，由余弦定理得（14x）2＝122＋ （10x）2－2×12×10x· cos 120°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解得x＝2 ， ∴AB＝28 n mile，BC＝20 n mile. 由正弦定理得 sin α＝ ＝ . ∴所需时间为2 h，角α的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. （2025·苏州期中）苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核 心区的一栋摩天大楼，建筑以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之 势，寓意繁荣昌盛.某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一 直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为 30°，45°，示意图如图，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约 为（　　） A. 350米 B. 400米 C. 450米 D. 500米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　在△ABP中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，又 sin 15°＝ sin 45° cos 30°－ cos 45° sin 30°＝ ，所 以PB＝ ，则金融中心的高度为PQ＝PB· sin 45°＝ × ＝ ＝165×（ ＋1）≈450.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 〔多选〕如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的 俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此 时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且 cos ∠AOB＝－ ，则 （　　） A. 此山的高PO＝ km B. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C. PA＝2 km D. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km. 又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝ x km，OB＝x km.因为AB＝7.5× ×20＝ （km），所以 cos ∠AOB＝ ＝ ＝－ ，解 得x＝1，从而PA＝2 km.易知 sin ∠AOB＝ ，所以由等面积法可得O 到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为 ＝ .又AO＞ BO，所以最小仰角为30°.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点， 已知∠ADC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2 ，CD＝4 ， 则BC的长为 ⁠. 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：在△ABD中，由正弦定理得 sin ∠ADB＝ ＝ ＝ ，∵∠ADC＝90°，∴ cos ∠BDC＝ ，在△BDC中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD· cos ∠BDC＝24＋48－4 ×4 × ＝ 48，∴BC＝4 （负值舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直 线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行 到C. 现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速 度的 倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB ＝1 040 m，BC＝500 m，则 sin A＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为 x m/s，因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以 ＝ ，解得AC＝1 260（m）.在 △ABC中，由余弦定理的推论得， cos A＝ ＝ ＝ ，所以 sin A＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现， 北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试 设计A，B之间距离的测量、计算方案. 解：此题答案不唯一，下面举出三种方案. （方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可同时看见 A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB. 由余弦定理，得AB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （方案二）解四边形ABNM. 如图①，测出AM，MN，NB 的长，∠AMN，∠MNB的度数. 在△AMN中，由余弦定理，得AN＝ ， sin ∠ANM＝ ， 在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM. 由余弦定理， 得AB＝ . （方案三）在线段AB上选一点C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN的内 部，不影响视线. 在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则 AC＝ . 在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则 BC＝ . 于是AB＝AC＋BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $