11.2 第2课时 正弦定理的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦正弦定理的应用，涵盖实际测量、三角形形状判断、面积计算及平面几何问题，通过河对岸距离测量情境导入，衔接已学正弦定理，结合仰角俯角等概念，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光，通过“通性通法”总结提升数学思维，规范解题过程强化数学语言表达。典例解析与分层作业结合，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学。

第2课时　正弦定理的应用 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经 测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小. 【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　仰角与俯角 　与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角， 如图所示. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　三角形面积公式 1. S△ABC＝ ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长. 2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积 S△ABC＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ca sin B. 3. S△ABC＝ r（a＋b＋c）＝ rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径 及△ABC的周长. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝ 3，C＝ ，则△ABC的面积为（　　） A. 3 B. C. D. 解析： 　由题意可得△ABC的面积为S＝ ab sin C＝ ×2×3× ＝ . 故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝ ＝ ，则△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个内角是30°的直角三角形 解析： 　已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A， cos B＝ sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，则△ABC是等腰直角三角 形.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A ＝30°，则其跨度AB的长为 m. 解析：由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得， ＝ ，即AB＝ ＝ ＝4 （m）. 4 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜正弦定理在实际问题中的应用 【例1】　（链接教科书第99页例3）要测量河岸之间的距离（河的两岸可 视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图 所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为（参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97）（　　） A. 170 m B. 98 m C. 95 m D. 86 m √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则 ∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝ ×120＝40 （m）.设 △ABC中AB边上的高为h，则h＝BC× sin ∠CBA＝40 × sin 75°≈95 （m），即河宽约为95 m.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象 出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高 度有关的问题往往涉及直角三角形的求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　（2025·南通期中）一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行.从A处看 灯塔S位于船北偏东45°的方向上，30 min后船航行到B处，从B处看灯 塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（　　） A. 8 n mile B. 16 n mile C. 16 n mile D. 16 n mile √ 解析： 由题意知AB＝32× ＝16，∠BAS＝45°， ∠ASB＝30°，由正弦定理得 ＝ ， 即 ＝ ，解得BS＝16 .故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜判断三角形形状 【例2】　（链接教科书第101页练习5题）在△ABC中，已知2a＝b＋c， sin 2A＝ sin B· sin C，则△ABC的形状为 三角形. 解析：由正弦定理可知 ＝ ＝ ，由 sin 2A＝ sin B sin C，可得a2 ＝bc，又2a＝b＋c，将此式两边平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝b2＋c2＋ 2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2＝0，即b＝ c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形为等边三角形. 等边　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的常用方法 （1）化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角（若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ ），再根据三角函数的有关知识得到三个内 角的关系，进而确定三角形的形状； （2）化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代 数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），进而确定三角形 的形状. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则此三角形为（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　在△ABC中，由a cos C＋c cos A＝b sin B以及正弦定理可 知， sin A cos C＋ sin C cos A＝ sin 2B，即 sin （A＋C）＝ sin B＝ sin 2B，∵0＜B＜π，∴ sin B≠0，∴ sin B＝1，B＝ ，∴三角形为直角三 角形.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中， sin A＝2 sin B cos C，且 sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，试判断 △ABC的形状. 解：法一　根据正弦定理 ＝ ＝ ， ∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C， ∴a2＝b2＋c2， ∴A是直角，B＋C＝90°， ∴2 sin B cos C＝2 sin B cos （90°－B）＝2 sin 2B＝ sin A＝1，∴ sin B＝ . ∵0°＜B＜90°， ∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　根据正弦定理 ＝ ＝ ， ∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴a2＝b2＋c2， ∴A是直角. ∵A＝180°－（B＋C）， sin A＝2 sin B cos C， ∴ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝2 sin B cos C，∴ sin （B－ C）＝0. 又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜三角形面积公式及其应用 【例3】　（1）〔多选〕在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2 ，AC＝ 2，则△ABC的面积可能为（　AC　） A. B. 2 C. 2 D. 4 解析： 由正弦定理，得 sin C＝ ＝ ，又AB· sin B＜AC＜ AB，故该三角形有两解，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝ 90°，S△ABC＝ AB·AC＝2 ；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝ AB·AC· sin A＝ .所以△ABC的面积为2 或 .故选A、C. AC 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ ，则 sin B∶ sin C ＝ ⁠. 解析： 因为S△ABC＝ bc sin A，所以c＝ ＝ ＝4，由正弦 定理 ＝ ，得 sin B∶ sin C＝b∶c＝1∶4. 1∶4　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　对于面积公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，总的概括为两边与 夹角正弦乘积的一半.求三角形面积时，一般已知哪个角就使用哪个公式. 反之，给出了三角形的面积，也可求相应边或角. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝2，B ＝ ，C＝ ，则c＝ 　2 　，△ABC的面积为 　 ＋1　. 解析：由正弦定理得，c＝ ＝2 .又 sin A＝ sin （π－B－C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝ ，所以△ABC的面积为S＝ bc sin A＝ ＋1. 2 　 ＋1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中，若a＝3 ， cos C＝ ，S△ABC＝4 ，则b＝ 　2 　. 解析：∵ cos C＝ ，∴0°＜C＜90°，∴ sin C＝ ＝ ，又 S△ABC＝ ab sin C＝ ×3 b× ＝4 ，∴b＝2 . 2 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜求解平面几何问题 【例4】　（链接教科书第100页例5）如图，在四边形ABCD中， AB⊥BC，∠ADC＝120°，AB＝CD＝2AD，△ACD的面积为 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求 sin ∠CAB； 解： 设CD＝2AD＝2a，a＞0. 因为△ACD的面积为 ，∠ADC＝120°， 所以 ×2a×a× sin 120°＝ ，解得a＝1， 所以AB＝CD＝2，AD＝1. 在△ACD中， 由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos 120°＝1＋4－2×2×1× （－ ）＝7，所以AC＝ . 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝2， 所以BC＝ ＝ ＝ ， 所以 sin ∠CAB＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）证明：∠CAB＝∠CAD. 解： 证明：由（1）可得CD＝2，AC＝ ， 在△ACD中，由正弦定理得 ＝ ， 所以 sin ∠CAD＝ ＝ ＝ ，且0°＜∠CAD＜60°. 由（1）可得 sin ∠CAB＝ . 又0°＜∠CAB＜90°，所以∠CAB＝∠CAD. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形 时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是 涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余 关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝ ， BC＝ ，AB⊥AD，AC⊥CD. （1）若 sin ∠BAC＝ ，求 sin ∠BCA； 解： 在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， 解得 sin ∠BCA＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若AD＝3AC，求AC. 解： 设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝ ＝ 2 x， sin ∠CAD＝ ＝ . 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC＝ ＝ . 又∠BAC＋∠CAD＝ ， 所以 cos ∠BAC＝ sin ∠CAD，即 ＝ ， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－ （舍去），即AC＝3. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在△ABC中，若a＝b sin A，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 解析： 　由题意有 ＝b＝ ，则 sin B＝1，即角B为直角，故 △ABC是直角三角形.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2 ＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以 △ABC是等边三角形，B＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知锐角△ABC的面积为3 ，AB＝2，BC＝6，则角B的大小 为 ⁠. 解析：∵S＝ BC·AB· sin B＝ ×6×2× sin B＝3 ，∴ sin B＝ ， ∵△ABC为锐角三角形.∴B＝45°. 45°　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两 地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为 ⁠ m. 5（ ＋ 1）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　设AB＝x（m），则BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x） m.∴tan∠ADB＝ ＝ ＝ .解得x＝5（ ＋1）.∴A点离地面的 高AB为5（ ＋1）m. 解析：法一　∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得AC＝ · sin ∠ADC＝ · sin 30°＝ ＝5 （ ＋1）m.∴AB ＝AC sin 45°＝5（ ＋1）m.∴A点离地面的高AB为5（ ＋1）m. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝7，b＝3， c＝8，则△ABC的面积为（　　） A. 6 B. 6 C. D. 14 解析： 　由题意得 cos A＝ ＝ ＝ ，因为A∈（0， π），所以 sin A＝ ＝ ，所以S△ABC＝ bc· sin A＝ ×3×8× ＝6 .故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中，已知3b＝2 a sin B，且 cos B＝ cos C，A是锐角，则 △ABC是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析： 　由3b＝2 a sin B，得 ＝ ，根据正弦定理，得 ＝ ，所以 ＝ ，即 sin A＝ .又A是锐角，所以A＝60°.又 cos B＝ cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，故△ABC为等 边三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与 它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向 上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（　　） A. 5 海里/时 B. 5海里/时 C. 10 海里/时 D. 10海里/时 解析： 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝ 75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10 海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速 度是10海里/时.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝ 6，则AD＝（　　） A. 2 B. 2或4 C. 1或2 D. 5 √ 解析： 　设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝ 60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD， ∴ ×3×6× ＝ ×3x× ＋ ×6x× ，解得x＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（　　） A. 若A＜B，则 sin A＜ sin B B. 若 sin A＜ sin B，则A＜B C. 若A＞B，则 ＞ D. 若A＜B，则 cos 2A＞ cos 2B √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得2R sin A＜2R sin B，所以 sin A＜ sin B，故A正确；同理B正确；当A＝120°，B ＝30°时， ＜0， ＞0，故C错误；若A＜B，则 sin A＜ sin B， sin 2 A＜ sin 2 B，即1－ cos 2A＜1－ cos 2B，所以 cos 2A＞ cos 2B，故D正 确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕若a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知b sin A ＝（3b－c） sin B，且 cos A＝ ，则下列说法正确的是（　　） A. a＋c＝3b B. tan A＝2 C. △ABC的周长为4c D. △ABC的面积为 c2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由b sin A＝（3b－c） sin B角化边可得ba＝（3b －c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为 cos A＝ ，所以 sin A ＝ ＝ .所以tan A＝ ＝2 ，故B正确；对于C，△ABC 的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－ 2bc cos A，得a2＝b2＋c2－ bc，将a＝3b－c代入上式可得b＝ c，所以 △ABC的面积为 bc sin A＝ c2，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则 该四边形的面积等于 ⁠. 5 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝ ＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2 ＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2 cos 120°＝12. 所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ ×4×2 ＋ ×2×2× sin 120°＝5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔高度为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又 看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为 km.（精确到0.1 km，参考数据： ≈1.732） 6.6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：因为AB＝1 000× ＝ （km），所以BC＝ · sin 30°＝ （km），航线离山顶的高度h＝ × sin 75°＝ × sin （45°＋ 30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－11.4＝6.6（km）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（ sin B－ sin C）2 ＝ sin 2A－ sin B sin C，则角A的大小为 ⁠. 解析：由已知得 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＝ sin B sin C，故由正弦定理得b2 ＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝ ＝ .因为0°＜A＜180°， 所以A＝60°. 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D. 求证： ＝ . 证明：在△ABD中利用正弦定理得 ＝ ， 在△CBD中利用正弦定理得 ＝ . 因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABD＝∠CBD， 又因为∠ADB＋∠CDB＝180°， 所以 sin ∠ADB＝ sin ∠CDB， 所以 ＝ ，即 ＝ 成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＋b cos A＝4 sin C，则△ABC外接圆的面积为（　　） A. 16π B. 8π C. 2π D. 4π 解析： 　因为a cos B＋b cos A＝4 sin C，所以由正弦定理可得， sin A cos B＋ sin B cos A＝ ，化简得， sin （A＋B）＝ ，在△ABC中， sin （A＋B）＝ sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝ 4π.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A. 在△ABC中，若A＞B，则 sin A＞ sin B B. 在锐角△ABC中，不等式 sin A＞ cos B恒成立 C. 在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D. 在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得 ＝ ，所以A ＞B⇔a＞b⇔ sin A＞ sin B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A， B∈ ，且A＋B＞ ，则 ＞A＞ －B＞0，所以 sin A＞ sin ＝ cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正 弦定理可得 sin 2A＝ sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A ＝ －B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋ c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又 B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin A＋ sin B＝ sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3 sin C，则c＝ ， cos C＝ ⁠. 4　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 sin A＋ sin B＝ sin C，则a＋b＝ ，且△ABC的周长为9，则c＋ ＝9，解得c ＝4.又△ABC的面积等于3 sin C，则 ab sin C＝3 sin C， 整理得ab＝6，由于a＋b＝ ＝5，故 解得 或 所以 cos C＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－ a sin C＝b sin B. （1）求B的大小； 解： 由正弦定理，得a2＋c2－ ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B. 故 cos B＝ ，又0°＜B＜180°，因此B＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值. 解： sin A＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋ cos 30° sin 45°＝ . 故由正弦定理，得a＝b· ＝1＋ . 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， 故c＝b· ＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3， cos B ＝ . （1）求△ACD的面积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： 因为D＝2B， cos B＝ ， 所以 cos D＝ cos 2B＝2 cos 2B－1＝－ . 因为D∈（0，π）， 所以 sin D＝ ＝ . 因为AD＝1，CD＝3， 所以△ACD的面积S＝ AD·CD· sin D＝ ×1×3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若BC＝2 ，求AB的长. 解： 在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC· cos D ＝12， 所以AC＝2 . 在△ABC中，因为BC＝2 ， ＝ ， 所以 ＝ ＝ ＝ ， 所以AB＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $