11.1 余弦定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦余弦定理的证明与应用，通过隧道施工测算长度的情境导入，从勾股定理（直角三角形）过渡到一般三角形边角关系，构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于以情境化问题培养数学眼光，通过题型分类（如已知两边及一角解三角形）和通性通法总结训练数学思维，结合轮船航行等实际问题提升数学语言表达能力。例如例4用余弦定理解决灯塔距离问题，助力学生发展逻辑推理与数学运算素养，教师可依托分层练习提升教学效率。

11.1　余弦定理 1 理解余弦定理的证明，并会运用余弦定理解决相关问题（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程 技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其 中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段 BC）的张角∠BAC＝150°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　（1）我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边 a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的 结论？ （2）你能通过上面的结论求出山脚的长度BC吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　余弦定理 1. 余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 数学·必修第二册（SJ） 目 录 余 弦 定 理 语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝ ⁠， b2＝ ⁠， c2＝ ⁠ 推论 cos A＝ ⁠， cos B＝ ⁠， cos C＝ ⁠ b2＋c2－2bc cos A　 c2＋a2－2ca cos B　 a2＋b2－2ab cos C　 　 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 解三角形 我们把三角形的 和 叫作三角形的元素.已知三角形 的几个元素求 的过程叫作解三角形. 3. 余弦定理的应用 （1）已知三边，求三个角； 三个角　 三条边　 其他元素　 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 在△ABC中，符合余弦定理的是（　　） A. c2＝a2＋b2－2ab cos C B. c2＝a2－b2－2bc cos A C. b2＝a2－c2－2bc cos A D. cos C＝ 解析： 　由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 余弦定理适用于任何三角形 B. 在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一 C. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角 D. 在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角 √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，它适用 于任何三角形，故A正确；对于B，已知两边及夹角时，△ABC唯一，故B 错误；对于C，a2＋b2＝c2，由勾股定理的逆定理知C＝90°，故C正确； 对于D，若a2＋b2－c2＞0， cos C＝ ＞0，又C∈（0，π），则角 C为锐角，故D错误.故选A、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在△ABC中，已知a＝9，b＝2 ，C＝150°，则c＝ 　7 　. 解析：由余弦定理，得c＝ ＝ ＝7 . 7 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 　 题型一｜已知两边及一角解三角形 【例1】　（链接教科书第92页例1（1））根据下列条件解三角形： （1）在△ABC中，已知b＝8，c＝3， A＝60°，求a的值； 解： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，则a2＝82＋32－ 2×8×3× cos 60°＝49，所以a＝7. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）在△ABC中，已知b＝3，c＝3 ，B＝30°，解这个三角形. 解： 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 则32＝a2＋（3 ）2－2a×3 × cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得 cos A＝ ＝0，A＝90°，C＝60°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. （2025·无锡期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c，a＝2，b＝4， sin A＝ ，则c＝（　　） A. 4 B. 3 C. 3 D. 2 解析： 　因为a＜b，所以A＜B，则A为锐角， cos A＝ ，由余弦定 理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即4＝16＋c2－2×4c× ，即c2－4 c＋ 12＝0，可得c＝2 .故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ ⁠. 解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2. 1或2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜已知三边解三角形 【例2】　（链接教科书第92页例1（2））在△ABC中，已知a＝2 ，b ＝6＋2 ，c＝4 ，求A，B，C. 解：根据余弦定理，得 cos A＝ ＝ ＝ ， ∵A∈（0，π），∴A＝ . cos C＝ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ＝ ＝ ， ∵C∈（0，π），∴C＝ . ∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ， ∴A＝ ，B＝ ，C＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 已知三角形三边解三角形的方法 　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利 用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三 个角. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－ bc，则A＝（　　） A. 135° B. 60°或120° C. 45° D. 135°或45° 解析： 　a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ，故A＝45°.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝ 2∶3∶4，则 cos C＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　由题意，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，由余弦定理得 cos C＝ ＝－ .故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜判断三角形的形状 【例3】　（链接教科书第94页例5）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b －c）＝3ab且2 cos A· sin B＝ sin C，试判断△ABC的形状. 解：∵A＋B＋C＝180°，∴ sin C＝ sin （A＋B）. ∵2 cos A sin B＝ sin C， ∴2 cos A sin B＝ sin A cos B＋ cos A sin B， ∴ sin A cos B－ cos A sin B＝0，∴ sin （A－B）＝0. ∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°， ∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B. 又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab，∴ cos C＝ . ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判断三角形形状的方法 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入 手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2； ④若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a－c cos B＝b －c cos A，则△ABC的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由a－c cos B＝b－c cos A，结合余弦定理得a－c× ＝b－c× ，化简得 ＝ .当a2＋b2－c2＝0时， a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形；当a2＋b2－c2≠0时，a＝b，则 △ABC为等腰三角形.综上，△ABC为等腰或直角三角形.故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜余弦定理在实际问题中的应用 【例4】　（链接教科书第93页例4）一艘轮船按照北偏东40°方向， 以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向 上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6 海里，求灯塔与轮 船原来的距离. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达B 处，C为灯塔的位置， 根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18× ＝6（海 里），BC＝6 海里， 由余弦定理可得 cos 120°＝ ＝ ＝－ ，解得AC＝6（AC＝－12舍去）. 因此，灯塔与轮船原来的距离为6海里. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用余弦定理解决实际问题的方法技巧 　　解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳 入到三角形中.这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观测 站C北偏西50°，灯塔B在观测站C北偏东70°，求两灯塔A，B之间的 距离. 解：依题意知△ABC中，AC＝3 km，BC＝5 km，∠ACB＝120°. 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos ∠ACB＝32＋52－ 2×3×5× cos 120°＝49. ∴AB＝7 km.即两灯塔A，B之间的距离为7 km. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. （2025·连云港期末）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段 （　　） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 解析： 　这三条线段能组成△ABC，设三边a＝5，b＝6，c＝7，因为c ＞b＞a，所以角C为△ABC最大的角.因为 cos C＝ ＞0，0＜C ＜π，所以C为锐角，故三角形为锐角三角形.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为（　　） A. B. C. D. 解析： 　 cos ∠BAC＝ ＝ ＝－ ，∴∠BAC＝ . 故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得 ∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为（　　） A. 10 km B. 10 km C. 10 km D. 10 km 解析： 　由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos ∠ABC＝100 ＋400－2×10×20× cos 120°＝700，所以AC＝10 .故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3， cos A＝ ，则 cos B＝（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　在△ABC中，AB＝2，AC＝3， cos A＝ ，由余弦定理得BC2 ＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos A，解得BC＝2，再根据余弦定理得 cos B＝ ，解得 cos B＝－ . √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则边长b＝（　　） A. 5 B. 8 C. 5或－8 D. －5或8 解析： 　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即49＝9＋b2－3b，所以 （b－8）（b＋5）＝0.因为b＞0，所以b＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·淮安期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c，若 ＝ ，C＝ ，则△ABC的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 解析： 　由 ＝ 得，A，B∈（0， ）且a cos B＝b cos A，由余弦定 理得a· ＝b· ，即a＝b.又C＝ ，所以A＝B＝ ＝ ＝C，故△ABC是等边三角形.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在△ABC中， cos C＝ ，AC＝4，BC＝3，则 cos B＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC× cos C＝16＋9－ 2×4×3× ＝9，AB＝3，所以 cos B＝ ＝ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则 · ＝（　　） A. 79 B. 69 C. 5 D. －5 解析： 　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得 cos B＝ ＝ ， ∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－B）＝5×7×（－ ）＝－5.故 选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2， c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　） A. b＝2 B. b＝2 C. B＝60° D. B＝30° 解析： 　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝ 0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2.又a＝2， cos A＝ ，所 以B＝A＝30°.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c2＜ a2＋b2＋2ab cos 2C，则C的取值可能为（　　） A. B. C. D. 解析： 　由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＜a2＋b2＋2ab cos 2C，整理得 cos 2C＋ cos C＞0，即2 cos 2C＋ cos C－1＞0，所以（2 cos C－1）（ cos C＋1）＞0，解得 cos C＞ 或 cos C＜－1（舍去），因此 cos C＞ .又因为C为△ABC的内角，所以C∈ .故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，则AB＝ ⁠. 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝ ，设AB＝x，由余 弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－2x＋1＝0，所 以x＝1，即AB＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边AC的中 点，c＝1，BD＝ ，∠ABD＝ ，则a＝ 　 　. 解析：由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD· cos ∠ABD＝1＋2－ 2×1× × ＝1，所以AD＝1，AC＝2AD＝2，此时AB2＋AD2＝ BD2，即AB⊥AD，所以a＝BC＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在△ABC中，若（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），则A＝ ⁠. 解析：∵（a－c）（a＋c）＝b（b＋c），∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋ c2－a2＝－bc.∴ cos A＝ ＝ ＝－ .∵0°＜A＜180°，∴A ＝120°. 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. （2025·南通期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知a2＋c2＝b2＋ ac. （1）求B； 解： 由a2＋c2＝b2＋ ac，得a2＋c2－b2＝ ac， 故 cos B＝ ＝ ＝ ， 因为B∈（0，π），所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若c＝2 a，求tan C. 解： 由c＝2 a，代入a2＋c2＝b2＋ ac中，得b2＝5a2，解得b ＝ a，由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝－ ， 所以 sin C＝ ＝ ，故tan C＝ ＝ ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角 为108°的等腰三角形.其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰之比为 ，这种黄金三角形被认为是最美的三角形.根据这些信息，则 cos 36° ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　在△ABC中，A＝36°，AB＝AC， ＝ .设AB＝2x， BC＝（ －1）x，则 cos 36°＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕在△ABC中，下列结论一定成立的是（　　） A. c＝a cos B＋b cos A B. sin （A＋B）＝ sin C C. cos （A＋B）＝ cos C D. b2＝（a－c）2＋2ac（1－ cos B） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，a cos B＋b cos A＝a· ＋b· ＝ ＝ ＝c，故A正确；对于B，由诱导公式得B正确； 对于C， cos （A＋B）＝－ cos C，故C错误；对于D，（a－c）2＋2ac （1－ cos B）＝a2＋c2－2ac＋2ac－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos B＝b2， 故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. （2025·南通质检）在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，M为BC的中 点，∠MAC＝60°，则AM＝ ⁠. 解析：在△ABC中，取AC的中点N，连接MN，由 M为BC的中点，得MN＝ AB＝ ，在△AMN中， 由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠CAM，则 ＝AM2＋ － AM，即AM2－ AM－ ＝0，而AM＞0，所以AM＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2 x＋2＝0的两个 根，且2 cos （A＋B）＝1. （1）求角C的度数； 解： cos C＝ cos [π－（A＋B）]＝－ cos （A＋B）＝－ ，又0° ＜C＜180°，所以C＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求AB的长度. 解： 因为a，b是方程x2－2 x＋2＝0的两个根， 所以 所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝b2＋a2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（2 ）2－2＝10. 所以AB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 cos C＋ （ cos A－ sin A） cos B＝0. （1）求B的大小； 解：由已知得，－ cos （A＋B）＋ cos A cos B－ sin A· cos B ＝0， 即 sin A sin B－ sin A cos B＝0. 因为 sin A≠0，所以 sin B－ cos B＝0. 又 cos B≠0，所以tan B＝ . 又0＜B＜π，所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若a＋c＝1，求b的取值范围. 解： 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B. 因为a＋c＝1， cos B＝ ，所以b2＝3（a－ ）2＋ . 又0＜a＜1，所以 ≤b2＜1，即 ≤b＜1， 即b的取值范围为［ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $