11.3 余弦定理、正弦定理的应用(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第11章　解三角形 11.3　余弦定理、正弦定理的应用 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学 余弦定理、正弦定理在实际测量中的应用 基线 基线长度 越长 越高 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语．(重点) 2.会建立实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题．(重点、难点) 通过建立实际应用题的三角形模型解决问题，培养数学建模和数学运算等核心素养. [教材梳理] 1.基线的定义 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫作_____. 2．选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的__________，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线_____，测量的精确度_____. 3．实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯 角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方 向 角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方 位 角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东偏北45°的方向就是东北方向．(　　) (2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．(　　) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) (4)如图所示，为了测量隧道AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°　　　　 B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 解析　如图，由题意，知AC＝BC， ∠ACB＝80°， 所以∠BAC＝∠CBA＝50°， 因为α＋∠CBA＝60°. 所以α＝10°， 即灯塔A在灯塔B的北偏西10°. 答案　B 3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3) h，该船实际航程为_______. 解析　v实＝eq \r(22＋42－2×4×2×cos 60°)＝2eq \r(3)(km/h)．所以实际航程为2eq \r(3)×eq \r(3)＝6(km)． 答案　6 km 4．江岸边有炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_______m. 解析　设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，炮台顶部为D点． 在△ABD中，由题意可知AC＝eq \f(30,tan 30°)＝30eq \r(3)(m)，BC＝eq \f(30,tan 45°)＝30(m)，∠ACB＝30°，在△ABC中，AB2＝(30eq \r(3))2＋302－2×30eq \r(3)×30×cos 30°＝900，所以AB＝30 (m)． 答案　30 题型一　正、余弦定理在物理学中的应用 [解析]　如图，作eq \o(OE,\s\up16(→))＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED， 则eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(CE,\s\up16(→))＝F1，eq \o(OC,\s\up16(→))＝F2. 由题设条件可知，|eq \o(OE,\s\up16(→))|＝10， ∠OCE＝50°，∠OEC＝70°， 所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°. 在△OCE中，由正弦定理， 得eq \f(|F|,sin 50°)＝eq \f(|F1|,sin 60°)，eq \f(|F|,sin 50°)＝eq \f(|F2|,sin 70°)， 因此，|F1|＝eq \f(10sin 60°,sin 50°)≈11.3 (N)， |F2|＝eq \f(10sin 70°,sin 50°)≈12.2(N)． 即灯杆OA所受的力约为11.3 N， 灯杆OB所受的力约为12.2 N. 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解. [触类旁通] 1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)． 解析　F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得 F＝eq \r(302＋502－2×30×50cos 120°)＝70(N)， 再由正弦定理，得 sin∠F1OF＝eq \f(50sin 120°,70)＝eq \f(5\r(3),14)， 所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°. 即F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°. 题型二　正、余弦定理在平面几何中的应用 f(π,4)INCLUDEPICTURE "教师WORD/例2.tif" \* MERGEFORMAT" 　如图，在△ABC中，B＝，AC＝2eq \r(5)，cos C＝eq \f(2\r(5),5). (1)求sin∠BAC的值； (2)设BC的中点为D，求中线AD的长． [解析]　(1)因为cos C＝eq \f(2\r(5),5)，且C是三角形的内角，所以sin C＝eq \r(1－cos2C)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq \f(\r(5),5). 所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(2\r(5),5)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(3\r(10),10). (2)在△ABC中，由正弦定理得， eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin B)， 则BC＝eq \f(AC,sin B)×sin∠BAC＝eq \f(2\r(5),\f(\r(2),2))×eq \f(3\r(10),10)＝6， 所以CD＝eq \f(1,2)BC＝3. 又在△ADC中，AC＝2eq \r(5)，cos C＝eq \f(2\r(5),5)， 所以由余弦定理得， AD＝eq \r(AC2＋CD2－2AC·CD·cos C) ＝eq \r(20＋9－2×2\r(5)×3×\f(2\r(5),5))＝eq \r(5). 三角形中几何计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件. [触类旁通] 2．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(b2＋c2－a2,cos A)＝2. (1)求bc； (2)若eq \f(acos B－bcos A,acos B＋bcos A)－eq \f(b,c)＝1，求△ABC的面积． 解析　(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以eq \f(b2＋c2－a2,cos A)＝eq \f(2bccos A,cos A)＝2bc＝2，解得bc＝1. (2)由正弦定理可得eq \f(acos B－bcos A,acos B＋bcos A)－eq \f(b,c)＝eq \f(sin Acos B－sin Bcos A,sin Acos B＋sin Bcos A)－eq \f(sin B,sin C) ＝eq \f(sinA－B,sinA＋B)－eq \f(sin B,sinA＋B)＝eq \f(sinA－B－sin B,sinA＋B)＝1， 变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sin B， 即－2cos Asin B＝sin B， 而0<sin B≤1，所以cos A＝－eq \f(1,2)，又0<A<π，所以sin A＝eq \f(\r(3),2)， 故△ABC的面积为S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4). 题型三　正、余弦定理在测量学中的应用(一题多变) r(3)INCLUDEPICTURE "教师WORD/例3.tif" \* MERGEFORMAT" 　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点至少需要几个小时？ [解析]　由题意知AB＝5(3＋eq \r(3))，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°， 所以sin 105°＝sin 45°cos 60°＋sin 60°cos 45°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4)， 在△ABD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)， 所以BD＝eq \f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(53＋\r(3)·sin 45°,sin 105°)＝eq \f(53＋\r(3)·\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq \f(10\r(3)1＋\r(3),1＋\r(3))＝10eq \r(3)， 又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20eq \r(3)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos 60° ＝300＋1 200－2×10eq \r(3)×20eq \r(3)×eq \f(1,2)＝900， 所以CD＝30(海里)， 则至少需要的时间t＝eq \f(30,30)＝1(小时)． [母题变式] (变条件)本例中，A与B的距离改为“5(eq \r(2)＋eq \r(6))海里”，点C的位置改为“位于A点南偏西15°且与A点相距10eq \r(3)海里，如图所示”，其他条件不变，应如何解答？ 解析　在△ABD中，由正弦定理得 eq \f(AD,sin∠ABD)＝eq \f(AB,sin∠ADB)， 所以AD＝eq \f(AB·sin∠ABD,sin∠ADB) ＝eq \f(5\r(2)＋\r(6)·sin 30°,sin 105°)＝eq \f(5\r(2)＋\r(6)·\f(1,2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝10. 在△ACD中，∠CAD＝90°＋45°＋15°＝150°，AD＝10，AC＝10eq \r(3)，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2×AD×ACcos 150°＝100＋300－2×10×10eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝700， 所以CD＝10eq \r(7)(海里)，则需要的时间t＝eq \f(10\r(7),30)＝eq \f(\r(7),3)(小时)． [素养聚焦]　本题主要考查运用正、余弦定理分析、解决实际问题的能力，突出考查数学运算、数学建模等核心素养． 1．解决测量问题的一般步骤： (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形； (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用平面几何知识，注意方程思想的运用． 2．测量距离问题的分类及求解策略：可分为两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解. [触类旁通] 3．某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距eq \f(\r(3),2) a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离． 解析　∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°， ∴AD＝CD＝eq \f(\r(3),2)a (km)．在△BCD中， ∠DBC＝180°－30°－105°＝45°. 由正弦定理eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠DBC)， 得BD＝CD·eq \f(sin∠BCD,sin∠DBC) ＝eq \f(\r(3),2)a·eq \f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq \f(3＋\r(3),4)a(km)． 在△ADB中，由余弦定理得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB ＝eq \f(3,4)a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))2－2·eq \f(3＋\r(3),4)a·eq \f(\r(3),2)a·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,8)a2， ∴AB＝eq \f(\r(6),4)a (km)． 故蓝方这两支精锐部队间的距离为eq \f(\r(6),4)a km. [缜密思维提能区]　　　　　　易错案例　　 用正弦定理、余弦定理解决实际应用问题 [典例]　某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21千米，则这人能到达A城还要走________km. [解析]　如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得 cos β＝eq \f(BD2＋CD2－CB2,2BD×CD)＝eq \f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq \f(1,7)， 所以sin β＝eq \f(4\r(3),7). eq \a\vs4\al(又sin α＝sinβ－60°,,＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝\f(4\r(3),7)×\f(1,2)＋\f(\r(3),2)×\f(1,7)＝\f(5\r(3),14)，,,在△ACD中，由正弦定理得,,\f(21,sin 60°)＝\f(AD,sin α)―→,,所以AD＝\f(21×sin α,sin 60°)＝15km.) eq \x(\a\al(易错警示：本题,在解△ACD时，,若利用余弦定,理求AD，易产,生增解，应用正,弦定理来求解．)) [答案]　15 [纠错心得]　 解决正、余弦定理应用问题的两个关注点 (1)审题作图：认真阅读题目，依据题目中给出的角(注意明确相关角的概念)及给出的相应长度，正确画出对应的图形，在图形中标出相应的角度或长度． (2)根据图形中的数据，合理选择公式及定理．注意在利用余弦定理时，有时会出现两个解，解题时要注意根据实际情况进行取舍，避免出现增解． 知识落实 技法强化 (1)测量学中的有关概念． (2)正(余)弦定理在物理学、平面几何学、及测量学中的应用. (1)转化的思想、数形结合． (2)正(余)弦定理综合运用时，有的元素可以设而不求，还可能两个三角形相结合. $$