11.2.2 正弦定理的应用课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

11.2.2 正弦定理的应用 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 正弦定理 例1 要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为(　　)(参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97) A. 170 m B. 98 m C. 95 m D. 86 m 用正弦定理解决实际问题 解析：在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°， 由正弦定理，得BC＝ ×120＝40 (m). 例1 要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为(　　)(参考数据： ≈2.45， sin 75°≈0.97) A. 170 m B. 98 m C. 95 m D. 86 m 用正弦定理解决实际问题 设△ABC中AB边上的高为h， 则h＝BC× sin ∠CBA＝40 × sin 75°≈95(m)， 即河宽约为95 m.故选C. C 在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解. 归纳总结 练习：一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20 n mile 处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔S在 货轮的北偏东45°方向上，求货轮的航行速度. 解：设货轮的航行速度为v n mile/h， 如图，在△MNS中，MS＝20 n mile，MN＝ v， ∠NMS＝30°＋15°＝45°， ∠MNS＝180°－30°－45°＝105°，从而∠MSN＝30°. 由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， 所以v＝20( － )(n mile/h). 解：在△ABC中，根据正弦定理，得==， ∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角. ∵A=180°-(B+C)，sin A=2sin Bcos C， ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C， ∴sin(B-C)=0. 又-90°<B-C<90°，∴B-C=0，∴B=C， ∴△ABC是等腰直角三角形. 例2 在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状. 利用正弦定理判断三角形形状 练习：在△ABC中，已知3b=2asin B，且cos B=cos C，A是锐角，则△ABC是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：由3b=2asin B，得=， 根据正弦定理，得=，所以=，即sin A=. 又A是锐角，所以A=60°. 又cos B=cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B=C. 故△ABC为等边三角形. D (1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解. 归纳总结 判断三角形形状的方法及注意事项 例3 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：. 解：如图，设∠BAD＝α，∠BDA＝β，则∠CDA＝180°－β， 在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理得 ，， 又∵sin(180°－β)＝sin β，∴. 利用正弦定理解决几何问题 根据今天所学，回答下列问题： 利用正弦定理判断三角形形状时应注意什么？ 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A∶sin B∶sin C =1∶∶2，则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法判断  2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A+bsin B< csin C，则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 C C 3.在中，为 的中点，且 ，则 ＝ . 4. 一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是 . 2 10海里/小时 $