13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征这一核心知识点，承接多面体学习，通过定义、图形及性质构建旋转体知识体系，为后续表面积与体积计算提供基础支架。 资料以实物观察与问题驱动为特色，通过“想一想”辨析概念、题型示例与通性通法培养直观想象和数学抽象，课中助力教师引导探究，课后跟踪训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 课标要求 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构（数学抽象、直观想象）. 　　如图，观察下列实物图及从实物图抽象出的几何体. 【问题】　（1）上述四个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ （2）上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的概念 分类 定义 图形及表示 圆柱 将　矩形　绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱 用表示圆柱轴的字母表示圆柱，上图可表示为圆柱OO' 分类 定义 图形及表示 圆锥 将　直角三角形　绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，上图可表示为圆锥SO 分类 定义 图形及表示 圆台 将　直角梯形　绕着它垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台 用表示圆台轴的字母表示圆台，上图可表示为圆台OO' 【想一想】 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥吗？ 提示：不一定是.当以直角三角形的斜边为轴旋转所得的旋转体就不是圆锥，如图所示. 知识点二　球的定义及有关概念 定义 相关概念 图形及表示 球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 球心：半圆的　圆心　，半径：半圆的　半径　，直径：半圆的　直径　 如图可记作：球O 【想一想】 球与球面有何区别？乒乓球、篮球、铅球都是球吗？ 提示：球与球面是两个不同的概念，球是几何体，球面是曲面，但两者也有联系，即球面是球的表面.乒乓球和篮球都不是球（因为它们是空心的），铅球是球（它是实心的）. 知识点三　旋转面与旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的　一条定直线　旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为　旋转体　.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 　　提醒：空间几何体包括多面体、旋转体和由简单的多面体与旋转体组成的简单组合体，棱柱、棱锥、棱台是三类简单的多面体，圆柱、圆锥、圆台和球是四类简单的旋转体，理解柱、锥、台、球的定义、结构特征和相关概念是进一步研究它们的性质、基本量计算、表面积、侧面积和体积计算的基础. 【想一想】 等边三角形绕其一边中线所在的直线旋转半周形成的面所围成的空间图形是什么几何体？ 提示：圆锥. 1.下列几何体是旋转体的是（　　） A.五棱柱　 B.六棱锥 C.八棱台　 D.球 解析：D　根据旋转体的定义，判断球是旋转体；一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱锥、八棱台都是多面体，故选D. 2.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.半圆以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球 B.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面 C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 解析：BD　半圆以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球面，故A错误；由球及球面的定义知B、D正确；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故C错误.故选B、D. 3.如图所示的组合体的结构特征是（　　） A.一个棱柱中截去一个棱柱 B.一个棱柱中截去一个圆柱 C.一个棱柱中截去一个棱锥 D.一个棱柱中截去一个棱台 解析：C　由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥. 题型一｜旋转体的结构特征 【例1】　下列说法正确的是　②　（填序号）. ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 解析：①错误，若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体.②正确，若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同.③错误，当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到. 通性通法 简单旋转体结构特征问题的解题策略 （1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征是解决此类概念问题的关键； （2）解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线. 【跟踪训练】 〔多选〕下列命题中，正确的命题是（　　） A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C.在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 解析：BD　由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故A错误，D正确；由圆锥的母线的定义知B正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故C错误.故选B、D. 题型二｜简单组合体的结构特征 【例2】　（链接教科书第156页例2、例3）图①、②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？ 解：旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组合而成；图②是由一个圆锥O9O8，一个圆柱O7O8及一个圆台O5O7中挖去圆锥O6O5组合而成. 通性通法 　　关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决： 【跟踪训练】 1.如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形.若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是（　　） A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体仍然关于轴l对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点 解析：A　该组合体中有一个球和一个半球，故A错误. 2.描述下列几何体的结构特征. 解：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体. 题型三｜旋转体的有关计算 【例3】　（1）如图，已知直角梯形的上底AD＝5 cm，下底BC＝12 cm，高CD＝24 cm，以CD所在直线为轴，将梯形旋转一周得到圆台，则圆台的母线长为（　A　） A.25 cm　　　　　　 B.30 cm C.35 cm　 D.36 cm 解析：（1）如图是圆台的轴截面，则该圆台的母线长为AB＝＝25（cm）.故选A. （2）两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是　1或7　. 解析：（2）由已知得两个截面圆半径分别为3和4，如图①所示，两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝4－3＝1；如图②所示，两个平行截面在球心两侧，则CD＝＋＝4＋3＝7. 通性通法 旋转体截面问题的解题策略 （1）画出旋转体的轴截面或相关截面； （2）在截面中借助直角三角形或三角形相似关系建立高、母线长、底面圆或截面圆的半径长的等量关系即可求解. 【跟踪训练】 1.若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（　　 ） A.π　　　　　　　　 B.2π C.3π　 D.4π 解析：A　由题意，底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，如图所示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知△SA1O1∽△SAO，故＝＝＝，可得r＝R＝1，所以截得的截面圆的面积为S＝π×12＝π.故选A. 2.轴截面（过旋转轴的截面）为正三角形的圆锥称为等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长. 解：如图所示，作出等边圆锥的轴截面SAB， 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 则在轴截面SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°. 在Rt△SOB中，h＝r，l＝2r，所以S△SAB＝×AB×SO＝rh＝r2， 根据题意得r2＝，解得r＝1， 所以l＝2r＝2，h＝r＝. 故该圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2. 题型四｜旋转体的侧面展开图 【例4】　〔多选〕用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（　　） A.2　 B.2π C.　 D. 解析：CD　如图所示，设底面半径为r，若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝ ；同理，若矩形的宽恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝ .故选C、D. 通性通法 　　圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图一般为扇形（半圆面），圆台的侧面展开图一般为扇环，球无法展开. 【跟踪训练】 　如图，圆锥的轴截面是等边三角形，圆锥的底面半径为2 cm，假如点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，求它爬行的最短路程. 解：圆锥的底面半径为2 cm，故底面圆的周长为4π cm，圆锥的轴截面是等边三角形，可知圆锥的母线长为4 cm，设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为α，根据圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得4π＝4α，解得α＝π，如图，故∠CAB'＝，蚂蚁沿表面爬行到P处的最短路程为B'P＝＝＝2（cm）. 1.下面几何体的轴截面（过旋转轴的截面）是圆面的是（　　） A.圆柱　 B.圆锥 C.球　 D.圆台 解析：C　圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，球的轴截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形.故选C. 2.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.圆柱的母线与它的轴可以不平行 B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C.圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形 D.到定点的距离等于定长的点的集合是球 解析：BC　由圆柱、圆锥定义及母线的性质可知A错误，B正确；易知C正确；D错误，应为球面. 3.关于图中的组合体的结构特征有以下几种说法： ①由一个长方体挖去一个四棱柱构成； ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成； ④由一个长方体与两个四棱台组合而成. 其中正确说法的序号是　①②　. 4.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r，则其轴截面面积为　r2　. 解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r，所以S＝×2r2＝r2. 1.下列几何体中不是旋转体的是（　　） 答案：D 2.图①②中的图形折叠后的图形分别是（　　） A.圆锥、棱柱　　　　　 B.圆锥、棱锥 C.球、棱锥　 D.圆锥、圆柱 解析：B　易知①为圆锥，②为三棱锥. 3.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（　　） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆柱、两个圆锥 解析：D　从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示.故选D. 4.用一个平面截半径为25 cm的球，截面的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为（　　） A.5 cm　 B.10 cm C.15 cm　 D.20 cm 解析：D　由题意知，球的半径R＝25 cm，易知截面的半径r＝15 cm，则球心到截面的距离d＝＝20（cm）. 5.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.圆以其直径为轴旋转一周所形成的曲面及所围成的空间叫作球 B.直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体是圆锥 C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 解析：AD　圆以其直径为轴旋转一周所形成的曲面及所围成的空间叫作球，故A正确；当以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，是由两个同底面的圆锥组成的几何体，故B错误；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；将圆锥截去小圆锥，则截面必须与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确.故选A、D. 6.〔多选〕一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是（　　） 解析：ABC　当截面平行于正方体的一个侧面时得C中图形；当截面过正方体的体对角线时得B中图形；当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A中图形；但无论如何都不能截出D中图形. 7.观察下列四个空间图形，其中可看作是由两个棱柱组合而成的是　①④　.（填序号） 解析：①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成. 8.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为　2　. 解析：如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AC2＝，∴AC＝2. 9.一个圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，圆台的母线长为5，则圆台的两底面之间的距离为　2　. 解析：圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋（R－r）2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝2，即两底面之间的距离为2. 10.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积. 解：如图为轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°. 在Rt△SOA中， AO＝SO·tan 30°＝（cm）， SA＝＝＝（cm）， 所以S△ASB＝SO·2AO＝（cm2）. 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. 11.如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（　　） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.顶角为30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形 解析：A　因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，母线长也为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形. 12.〔多选〕如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是（　　） 解析：AD　一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的空间图形被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分. 13.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为　2　. 解析：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形，如图所示，连接AB'，则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA'为底面圆的周长，∴AA'＝2π×1＝2π.又AB＝A'B'＝2，∴AB'＝＝＝2，即蚂蚁爬行的最短距离为2. 14.某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为12 cm，高为8 cm.该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的半径. 解：根据题意，BC＝12 cm，AE＝8 cm，且AB＝AC， 所以CE＝BC＝6 cm，所以AB＝AC＝＝＝10 cm. 设内切球的半径为R，根据等面积法得×12×8＝×（10＋10＋12）×R，解得R＝3，故此球的半径为3 cm. 15.已知一个圆锥的底面圆的半径为2，高为6，且有一个高为x的内接圆柱. （1）用x表示圆柱的轴截面面积S； （2）当x为何值时，S最大？ 解：作出圆锥和内接圆柱的轴截面，如图.设圆柱的底面圆的半径为r，则由相似三角形可得＝， 解得r＝2－，x∈（0，6）. （1）圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2x·＝－x2＋4x，x∈（0，6）. （2）∵S＝－x2＋4x＝－（x－3）2＋6， ∴当x＝3时，S取得最大值，Smax＝6. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $