13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 A层 基础达标练 1.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是(　　) A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 2.如图所示的空间图形是数学奥林匹克竞赛的奖杯,则该空间图形由(　　) A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B.一个球、一个长方体、一个棱台构成 C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 3.如图,将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是(　　) A.圆锥 B.圆锥和球组成的简单组合体 C.球 D.一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体 4.用长为4,宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面的面积为(　　) A.8 B. C. D. 5.(多选题)下列说法中,错误的是(　　) A.用一平面去截圆台,截面一定是圆面 B.在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则两点的连线就是圆台的母线 C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D.圆锥的母线可能平行 6.如图,圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发,绕圆柱表面爬到BC的中点E,则蚂蚁爬行的最短距离为　　　　.  7.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. B层 能力提升练 8.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半,且AB=AC=BC=2,则球O的半径为(　　) A.1 B. C. D.2 9.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是(　　) ① ② ③ ④ A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③ 10.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,则该截面将圆锥母线分成的两段的比是(　　) A.1∶3 B.1∶(-1) C.1∶9 D.∶2 11.(多选题)两平行平面截半径为5的球,若截面面积分别为9π和16π,则这两个平面间的距离是(　　) A.1 B.3 C.4 D.7 12.已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,则此正方体的棱长为　　　　.  13.如图所示,四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A选在射线DE(除D点)上的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点. C层 拓展探究练 14.若圆锥的侧面展开图是半径为5,面积为20π的扇形,则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为　　　　.  15. 足球是全球最具影响力的体育运动,被誉为“世界第一运动”.如图所示,足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形围成的,我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面,任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱.已知某足球的正六边形的面为20块,则该足球的正五边形的面为　　　　块,该足球表面的棱为　　　　条.  16.如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为10千米,母线长为40千米,B是母线SA上一点,且AB=10千米.为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路.这条铁路从A出发后首先上坡,随后下坡,求下坡段铁路的长度. 参考答案 1.D　 以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周,如图,在钝角△ABC中,边AB最小,以边AB所在直线为轴,其他两边旋转一周,得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥.故选D. 2.B　由题图可知,该空间图形是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选B. 3.D 4.B　当围成的圆柱底面周长为4,高为2时,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr=4,所以r=,所以轴截面是长为2,宽为的矩形,所以轴截面的面积为2同理,当围成的圆柱底面周长为2,高为4时,轴截面的面积也为故选B. 5.ABD　当平面沿轴截圆台时,截面为等腰梯形,故A错误;由圆台的结构特征知B错误;由于圆台由一个平行于底面的平面截圆锥所得,故C正确,D错误.故选ABD. 6.2　如图,将圆柱侧面展开半周,由题意可知展开矩形长为2π, BE=2,所以AE==2故答案为2 7.解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).过点A作AM⊥BC于点M. 由已知可得上底面半径O1A=2 cm, 下底面半径OB=5 cm, 又因为腰长为12 cm, 所以高AM==3(cm). (2)如图所示,延长BA,OO1,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由△SAO1∽△SBO可得,解得l=20(cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 8.B　因为AB=AC=BC=2, 在△ABC中,由正弦定理得=2r,a=2,A=60°, 所以△ABC的外接圆半径为r= 设球半径为R,则R2-=r2=, 所以R=故选B. 9.A　当截面平行于正方体的一个侧面时得③;当截面过正方体的体对角线时可得④;当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时,可得①.但无论如何都不能截得②.故选A. 10.B　设截面圆的半径为r,原圆锥的底面半径为R,则,所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为1,故截面将圆锥母线分成的两段比是1∶(-1).故选B. 11.AD　因为两平行平面截半径为5的球,截面面积分别为9π和16π,所以截面圆的半径分别为3和4,如图(1),若两个平行平面在球心同侧,则CD=OC-OD==4-3=1;如图(2),若两个平行截面在球心两侧,则CD=OC+OD==4+3=7.故选AD. (1) (2) 12　作出圆锥的一个轴截面,如图所示,其中AB,AC为母线,BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x,则DG=EF=x,DE=GF=x.依题意,得△ABC∽△ADE,,∴x=,即此正方体的棱长为故答案为 13.解 当AD>BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得的空间图形是由底面半径为CD的圆柱和圆锥组成的空间图形,当AD=BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得的空间图形是底面半径为CD的圆柱,当0<AD<BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得的空间图形是底面半径为CD的圆柱中挖去一个同底的圆锥. 14　设圆锥的底面圆半径为r,则2πr×5=20π, 解得r=4, 设截面与圆锥底面的交线长为a(0<a≤8), 由题意知,截面是一个等腰三角形,截面三角形的高 h=, 所以截面面积S=ah=,当且仅当=25-,即a=5(0,8]时等号成立. 故答案为 15.12　90　足球每块黑色正五边形的5条边分别与5块白色正六边形的边重合,每块白色正六边形的6条边中,有3条边与黑色正五边形的边重合,另3条边则与其他白色正六边形的边重合.设这个足球有x块正五边形的面,则一共有5x条边,又足球的正六边形的面为20块,根据题意可得5x=20×3,解得x=12,故该足球的正五边形的面为12块.因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱,则该足球表面的棱为(12×5+20×6)÷2=90(条). 16.解 如图,展开圆锥的侧面,过点S作A'B的垂线,垂足为H, 记点P为A'B上任意一点,连接PS,=∠A'SA·SA=2π·10⇒∠A'SA=, 由两点之间线段最短,知观光铁路为图中的A'B, A'B==50(千米), 上坡即P到山顶S的距离PS越来越小,下坡即P到山顶S的距离PS越来越大, 所以下坡段的铁路即图中的HB, 由Rt△SA'B∽Rt△HSB,可得,可求出HB==18(千米), 即下坡段铁路的长度为18千米. 6 学科网（北京）股份有限公司 $