10.2 二倍角的三角函数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

10.2　二倍角的三角函数 1 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（逻辑推理）. 2.能够运用二倍角公式解决有关求值、化简等问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　前面我们已学习了两角和的正弦、余弦、正切公式，大家回忆一下： 　　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β， 　　 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， 　　tan（α＋β）＝ . 【问题】　当α＝β时，我们能否由此得到 sin 2α， cos 2α， tan 2α的 表达式呢？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1. 二倍角公式 函数 公式 β＝α 简记符号 正弦 sin 2α＝ ⁠ S（α＋β） S2α 余弦 cos 2α＝ ⁠ ＝ ⁠ ＝ ⁠ C（α＋β） C2α 正切 tan 2α＝ ⁠ T（α＋β） T2α 2 sin α cos α　 cos 2α－ sin 2α　 2 cos 2α－1　 1－2 sin 2α　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的 情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是 的2倍，也就是说，“倍”是相 对而言的，是描述两个数量之间的关系的. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 倍角公式常见变形 sin 2α＝ 　 　， cos 2α＝ 　 　，tan2α＝ 　 　， （ sin α± cos α）2＝ ⁠. 　 　 　 1± sin 2α　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列结论中正确的是（　　） A. sin α＝2 sin cos B. cos 4α＝ cos 22α－ sin 22α C. 对任意角α，tan 2α＝ D. cos 2α＝ √ √ √ 解析： 　对于C，当α＝ 时，tan 无意义，故C错误；A、B、D正 确.故选A、B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知角α满足 sin α－ cos α＝ ，则 sin 2α＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为（ sin α－ cos α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α cos α＝1 － sin 2α＝ ，所以 sin 2α＝ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. cos 215°－ sin 215°＝ ⁠. 解析： cos 215°－ sin 215°＝ cos （2×15°）＝ cos 30°＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜给角求值 【例1】　（链接教科书第70页练习1题）求下列各式的值： （1） sin cos ＝ 　 　； 解析： 原式＝ ＝ ＝ . （2）1－2 sin 2750°＝ ⁠； 解析： 原式＝ cos （2×750°）＝ cos 1 500°＝ cos （4×360°＋ 60°）＝ cos 60°＝ . 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3） ＝ 　－ 　； 解析： 原式＝tan（2×150°）＝tan 300°＝tan（360°－60°）＝－ tan 60°＝－ . － 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （4） － ＝ ⁠. 解析： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝4. 4　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用二倍角公式解决给角求值问题的两种策略 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本 关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的正、余弦三角函数式相乘，则一般逆用 二倍角的正弦公式，在求解正余弦过程中，需配凑出满足二倍角公式 的条件. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. cos 4 － sin 4 ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　原式＝（ cos 2 － sin 2 ）（ cos 2 ＋ sin 2 ）＝ cos ＝ . √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 求值 ＝ 　 　. 解析： ＝ ＝ tan 60°＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜给值求值（角） 【例2】　（链接教科书第69页例1）（1）已知 cos α＝－ ，α∈ ，则 sin 2α＝ 　 　， cos 2α＝ 　 　，tan 2α＝ 　 　； 　 　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： ∵ cos α＝－ ，α∈ ，∴ sin α＝－ ＝ － ＝－ .∴ sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ ， cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ － ＝ ，于是，tan 2α＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若 sin α－ cos α＝ ，则 sin 2α＝ 　 　. 解析： （ sin α－ cos α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α cos α＝1－ sin 2α＝（ ）2，即 sin 2α＝1－（ ）2＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变条件）本例（2）中，条件改为：已知 sin α＋ cos α＝ ，则 sin 2α＝ ⁠. 解析：由题意，得（ sin α＋ cos α）2＝ ，∴1＋2 sin α cos α＝ ，即1 ＋ sin 2α＝ ，∴ sin 2α＝－ . － 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决给值求值问题的方法 　　给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观 察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变 换和角之间的二倍关系； 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ① sin 2x＝ cos ＝ cos ＝2 cos 2（ －x）－1＝1－2 sin 2 ； ② cos 2x＝ sin ＝ sin ＝2 sin （ －x） cos . （3）注意几种公式的灵活应用，如： 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（　　） A. 75° B. 45° C. 60° D. 30° 解析： 因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin α－1 ＝0，即（ sin α＋1）（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以 sin α＝ ，所以α＝30°.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·徐州质检）已知 cos （ －α）＝－ ，则 sin （2α＋ ）＝ （　　） A. － B. C. － D. 解析： 　因为2α＋ ＝ －2（ －α），所以 sin （2α＋ ）＝ sin ＝ cos ［ 2（ －α）］＝2 cos 2（ －α）－1＝－ .故 选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜利用二倍角公式证明与化简 【例3】　（1）（链接教科书第70页例2）证明： ＝ ； 解： 证明：左边＝ ＝ ＝ ＝tan 2θ＝ ＝右边， 所以等式成立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）（链接教科书第70页例3）化简： ① cos 2（θ＋ π）＋ cos 2（θ－ π）＋ cos 2θ； ② sin 10°（1＋ ）. 解： ①法一　由倍角公式 cos 2θ＝2 cos 2θ－1，得 cos 2θ＝ . 原式＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　原式＝（－ cos θ－ sin θ）2＋（－ cos θ＋ sin θ）2＋ cos 2θ ＝ cos 2θ＋ sin θ cos θ＋ sin 2θ＋ cos 2θ－ sin θ cos θ＋ sin 2θ＋ cos 2θ＝ . ②原式＝ sin 10°（1＋ ）＝ sin 10°· ＝ sin 10°· ＝ ＝1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 三角函数式证明与化简的方法 （1）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一 边；②比较法，左边－右边＝0， ＝1；③分析法，从要证明的等式出 发，一步步寻找等式成立的条件. （2）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或 升幂. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. α为第三象限角，则 － ＝ ⁠. 解析：因为α为第三象限角，所以 cos α＜0， sin α＜0，所以 － ＝ － ＝ － ＝0. 0　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 化简： . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜二倍角公式在实际问题中的应用 【例4】　（链接教科书第71页例5）如图，有一块以点O为圆心的半圆形 空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边 AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径 长为20 m. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积 最大，最大值是多少？ 解：连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝OB sin θ＝20 sin θ，OA＝OB cos θ＝20 cos θ，且θ∈ . 因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40 cos θ. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AD·AB＝40 cos θ·20 sin θ＝400 sin 2θ. 因为θ∈ ，所以当 sin 2θ＝1，即θ＝ 时，Smax＝400 m2. 此时AO＝DO＝10 m. 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最 大，其最大面积是400 m2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位 置，使步行小路的距离最远？ 解： 由（1）知AB＝20 sin θ，AD＝40 cos θ， 所以AB＋BC＋CD＝40 sin θ＋40 cos θ＝40 ＝ 40 sin ， 又θ∈ ，所以θ＋ ∈ ， 当θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，（AB＋BC＋CD）max＝40 m， 此时AO＝DO＝10 m， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 倍角公式在实际问题中的应用技巧 （1）建模：将实际问题建立三角函数模型； （2）解模：利用二倍角公式及两角和与差的正、余弦公式将建立的三角 函数模型转化为y＝A sin （ωx＋φ）的形式，再求出相应的最值； （3）结论：将三角函数模型的结果还原到实际问题中去. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　某工人要从一块圆心角为 的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接 长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积 （如图）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：如图，连接OC，设∠COB＝θ， 则0＜θ＜ ，OC＝1. 因为AB＝OB－OA＝ cos θ－AD＝ cos θ－ sin θ， 所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（ cos θ－ sin θ）· sin θ ＝－ sin 2θ＋ sin θ cos θ＝－ （1－ cos 2θ）＋ sin2θ ＝ （ sin 2θ＋ cos 2θ）－ ＝ cos － . 当2θ－ ＝0，即θ＝ 时，（S矩形ABCD）max＝ m2. 所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 若 sin ＝ ，则 cos α＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　因为 sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2× ＝ .故 选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列各式的值为1的是（　　） A. 4 sin 15° cos 15° B. cos 215°－ sin 215° C. ＋2 sin 215° D. sin 22 025＋ cos 22 025 解析： 　4 sin 15° cos 15°＝2 sin 30°＝1，A正确； cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，B错误； ＋2 sin 215°＝ ＋1－ cos 30°＝ ＋ 1－ ＝1，C正确； sin 22 025＋ cos 22 025＝1，D正确.故选A、C、D. √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若 cos （α－ ）＝ ，则 sin 2α＝ 　 　. 解析：由 cos （α－ ）＝ ，得 cos ［ 2（α－ ）］＝2 cos 2（α－ ） －1，则 cos （2α－ ）＝2× －1＝ .又 cos （2α－ ）＝ cos （ － 2α）＝ sin 2α，所以 sin 2α＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 求证： ＝ sin 4α. 证明：左边＝ ＝2 cos 2α·（－ cos 2α）· ＝ cos 2α cos 2αtan α＝ sin α cos α cos 2α ＝ sin 2α cos 2α ＝ sin 4α＝右边，所以等式成立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知 cos x＝ ，则 cos 2x＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　 cos 2x＝2 cos 2x－1＝2× －1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. cos 275°＋ cos 215°＋ cos 75° cos 15°＝（　　） A. B. C. D. 1＋ 解析： 原式＝ sin 215°＋ cos 215°＋ sin 15° cos 15°＝1＋ sin 30° ＝1＋ ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. － ＝（　　） A. －2 cos 5° B. 2 cos 5° C. －2 sin 5° D. 2 sin 5° 解析： 原式＝ － ＝ cos 50°－ sin 50°＝ 2 ＝2（ sin 45° cos 50°－ cos 45° sin 50°）＝ 2 sin （－5°）＝－2 sin 5°.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知tan x＝2，则tan ＝（　　） A. B. － 解析： 　法一　tan ＝tan（2x－ ）＝ ＝ ＝－ ＝－ ＝ ＝ . √ 法二　tan（x－ ）＝ ＝ ＝ ，∴tan［2（x－ ）］＝ ＝ ＝ .故选C. C. D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. （2025·南通期末）若 cos （ －α）＝ ，则 sin （2α－ ）＝ （　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 　令x＝ －α，则α＝ －x， cos x＝ ，所以 sin （2α－ ） ＝ sin ［2（ －x）－ ］＝ sin （ －2x）＝ cos 2x＝2 cos 2x－1＝2× （ ）2－1＝－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下列各式中，一定成立的是（　　） A. sin 8α＝2 sin 4α cos 4α B. 1－ sin 2α＝（ sin α－ cos α）2 C. sin 2α＝ D. tan 2α＝ 解析： 　对于B，（ sin α－ cos α）2＝1－ sin 2α≠1－ sin 2α，故B 错误；对于D，tan 2α＝ ，故D错误；A、C正确.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知 sin 2α＝ ，则 cos 2（α＋ ）＝ 　 　. 解析： cos 2（α＋ ）＝ ＝ （－ sin 2α＋1）＝ ×（－ ＋1）＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. （2025·徐州期末）已知α∈ ，且2＋3 sin α＝ cos 2α，则α ＝ ⁠. 解析：2＋3 sin α＝ cos 2α⇒2＋3 sin α＝1－2 sin 2α⇒2 sin 2α＋3 sin α ＋1＝0，解得 sin α＝－1或－ ，因为α∈ ，所以α＝－ 或－ . － 或－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知α∈ ，且 cos α＝－ ，则tan 2α＝ 　 　， ＝ ⁠. 解析：因为α∈ ， cos α＝－ ，所以 sin α＝ ＝ ＝ ，所以tan α＝ ＝－ ，所以tan 2α＝ ＝ ， 所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝－ ， cos 2α＝2 cos 2α－ 1＝2× －1＝－ ，所以 ＝ ＝－7. 　 －7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知函数f（x）＝ cos ，x∈R. （1）求f 的值； 解： 因为f（x）＝ cos ， 所以f ＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若 cos θ＝ ，θ∈ ，求f . 解： 因为 cos θ＝ ，θ∈ ，所以 sin θ＝－ . 所以 cos 2θ＝2 cos 2θ－1＝2× －1＝－ ， sin 2θ＝2 sin θ cos θ＝2× × ＝－ . f ＝ cos ＝ （ cos 2θ cos － sin 2θ sin ）＝ × ［（－ ）× － × ］＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 在锐角△ABC中，若B＝2A，则 的取值范围是（　　） A. （ ， ） B. ［－ ， ］ C. （ ， ） D. （－ ， ） 解析： 　在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是 解得 ＜A＜ ，所以 ＜ cos A＜ ，则 ＝ ＝2 cos A∈（ ， ）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝1－2 sin 2（x＋ ），则下列结论正确的 是（　　） A. 函数f（x）是奇函数 B. 函数f（x）的最小正周期为2π C. 函数f（x）的图象关于x＝－ 对称 D. f（1）＞f（2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　f（x）＝1－2 sin 2（x＋ ）＝ cos ［2（x＋ ）］＝－ sin 2x，对于A，f（－x）＝－ sin （－2x）＝ sin 2x＝－f（x），所以函数 f（x）是奇函数，故A正确；对于B，函数f（x）的最小正周期为 ＝π， 故B错误；对于C，f（－ ）＝－ sin （－ ）＝1为函数的最大值，所以 函数f（x）的图象关于x＝－ 对称，故C正确；对于D，f（1）＝－ sin 2 ＜0，f（2）＝－ sin 4＞0，所以f（1）＜f（2），故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知α是锐角， cos α＝ ，则 cos （ ＋ ）＝ 　 － 　. 解析：因为 cos α＝ ，所以 cos α＝2 cos 2 －1＝ ，解得 cos ＝ ± ，又α是锐角，则0＜ ＜ ，所以 cos ＝ ，则 sin ＝ ＝ ，所以 cos （ ＋ ）＝ cos cos － sin sin ＝ × － × ＝ － . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知θ∈（0，π），且 sin θ＋ cos θ＝ . （1）求 的值； 解：由 sin θ＋ cos θ＝ ， ① 两边平方并化简得2 sin θ cos θ＝－ ＜0， ∵θ∈（0，π），∴ sin θ＞0， cos θ＜0， sin θ－ cos θ＝ ＝ ＝ ，② 由①②得 sin θ＝ ， cos θ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1） ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求 的值. 解： ＝ ＝ ＝2 sin θ cos θ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字 形，其中y＞x＞0. （1）将十字形的面积表示成θ的函数； 解： 由题图可知，x＝ cos θ，y＝ sin θ. 由y＞x＞0，得 ＜θ＜ . 设S为十字形的面积， 则S＝xy＋x· ×2＝2xy－x2＝2 sin θ cos θ－ cos 2θ＝ sin 2θ－ cos 2θ（ ＜θ＜ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求十字形的最大面积. 解： S＝ sin 2θ－ cos 2θ ＝ sin 2θ－ cos 2θ－ ＝ （ sin 2θ－ cos 2θ）－ ＝ sin （2θ－φ）－ （设φ为锐角且tan φ＝ ）， 当 sin （2θ－φ）＝1，即2θ－φ＝ 时，S最大. 此时θ＝ ＋ ，十字形取得最大面积 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $