13.1.1 棱柱、棱锥和棱台(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦棱柱、棱锥、棱台的结构特征及多面体概念，从现实建筑观察引入，依次讲解三者的定义、图形表示、相关概念与分类，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生系统掌握空间几何体的基础认知。 资料通过“想一想”辨析易混点，结合例题与跟踪训练强化逻辑推理，培养数学抽象与直观想象素养。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升空间图形认知与应用能力。

13.1.1　棱柱、棱锥和棱台 课标要求 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构（数学抽象、直观想象）. 　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　棱柱的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱 柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 【想一想】 棱柱的侧棱是否都互相平行且相等？ 提示：由棱柱的定义及特点可知，棱柱的侧棱都互相平行且相等. 知识点二　棱锥的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱 锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S-ABCD 底面：多边形； 侧面：有一个公共顶点的三角形； 侧棱：相邻侧面的　公共边　； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… 【想一想】 各个面都是三角形的几何体是棱锥吗？ 提示：不一定是棱锥.如图所示的几何体不是棱锥. 知识点三　棱台的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱 台 用一个　平行于棱锥底面　的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… 　　提醒：（1）棱柱、棱锥、棱台的关系（以三棱柱、三棱台、三棱锥为例） （2）常见的几种四棱柱之间的转化关系 【想一想】 棱台的侧棱延长后是否会相交于一点？ 提示：由棱台的特点知棱台的侧棱延长后都相交于一点. 知识点四　多面体 定义 由若干个　平面多边形　围成的空间图形 图形 相关 概念 面：围成多面体的各个　平面多边形　； 棱：相邻两个面的　交线　； 顶点：棱与棱的公共点 分类 按平面多边形的个数分为四面体、五面体、六面体…… 1.下列几何体中，棱数最多的是（　　） A.五棱锥　　　　　　　 B.三棱台 C.三棱柱　 D.四棱锥 解析：A　因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥.故选A. 2.〔多选〕下面多面体中，是棱锥的为（　　） 解析：ABD　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A、B、D是棱锥，C不是棱锥，故选A、B、D. 3.下列几何体中，是棱台的为（　　） 解析：D　A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义；D符合棱台的定义. 题型一｜棱柱的结构特征 【例1】　（1）〔多选〕下列关于棱柱的说法中正确的是（　　） A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 解析：（1）CD　棱柱的侧面是平行四边形，上下底面可以是三角形，也可以是四边形及多边形，故A错误，B错误；由棱柱的定义易知C正确；对于D，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，故D正确.故选C、D. （2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. （2）解：①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. ②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 通性通法 棱柱结构特征的辨析方法 　　判断一个几何体是不是棱柱，关键看它是否具备棱柱的三个本质特征： （1）有两个面互相平行； （2）其余各面都是平行四边形； （3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行. 提醒：（1）以上三个本质特征缺一不可；（2）在概念辨析时，也可用举反例法直接判断（否定）. 【跟踪训练】 下列命题中正确的是（　　） A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的空间图形叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 解析：D　由棱柱的定义知D正确. 题型二｜棱锥、棱台的结构特征 【例2】　（1）〔多选〕下列说法中正确的有（　AB　） A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C.棱锥的侧棱平行 D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 解析：（1）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错. （2）下列说法中正确的是（　D　） A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 解析：（2）对于A，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间部分是棱台，A中的平面不一定平行于底面，故A错误；对于选项B、C，可以用反例验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；对于D，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确.故选D. 通性通法 判断棱锥、棱台的方法 （1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法； （2）直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【跟踪训练】 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是　①②　. 解析：①正确，棱台的侧棱延长后必交于一点，故侧面一定不是平行四边形，而是梯形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体（三棱锥）；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 题型三｜棱柱、棱台、棱锥的画法 【例3】　（链接教科书第153页例1）画一个三棱柱和四棱台. 解：（1）画三棱柱可分以下三步完成： 第一步，画上底面——画一个三角形； 第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段； 第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）. （2）画四棱台可分以下三步完成： 第一步，画一个四棱锥； 第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段； 第三步，将多余的线段擦去（如图所示，被遮挡的线要画成虚线）. 通性通法 棱柱、棱锥、棱台的画法步骤 （1）画棱柱：①画上底面：画出上底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画侧棱：从上底面多边形的每一个顶点画平行且相等的线段；③画下底面：顺次连接这些线段的另一个端点. （2）画棱锥：①画底面：画出底面多边形（要注意与平面图形有所区别，这里的多边形是直观图形）；②画顶点：在底面的上方取一个符合要求的空间点；③画侧棱：顺次连接底面多边形的顶点与棱锥的顶点. （3）画棱台：首先画一个棱锥，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去. 提醒：在画棱柱、棱锥和棱台时，要特别注意被遮挡的线要画成虚线，未被遮挡的线要画成实线.这样不仅虚实分明，还使得空间图形更加富有立体感. 【跟踪训练】 画一个四面体（三棱锥）. 解：画四面体可分以下两步完成： 第一步，画底面——画一个△ABC； 第二步，画侧棱——在底面上方任取一点P，顺次连接PA，PB，PC，三棱锥P-ABC即为所画的四面体（如图所示）. 题型四｜多面体的侧面展开图 【例4】　某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（　　） 解析：A　其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻. 通性通法 　　多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养. 【跟踪训练】 　如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？ 解：在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示： 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有（　　） A.1个　　 B.2个　　　C.3个　　 D.4个 解析：D　三棱锥的四个面均可作为底面.故选D. 2.下列说法错误的是（　　） A.多面体至少有六条棱 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析：D　由棱柱的定义知D不正确.故选D. 3.如图中的几何体叫作　棱锥　（填“棱柱”“棱锥”“棱台”），PA，PB是它的　侧棱　，△PBC，△PCD是它的　侧面　，四边形ABCD是它的　底面　. 4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　1∶4　. 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方. 1.下列几何体中是棱柱的有（　　） A.1个　　 B.2个　　　C.3个　　 D.4个 解析：C　由棱柱的定义，观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个.故选C. 2.如图所示，在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是（　　） A.三棱锥　 B.四棱锥 C.三棱柱　 D.四棱柱 解析：B　余下部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选B. 3.已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（　　） A.12　 B.18 C.22　 D.36 解析：C　因为棱锥有12个面，所以该棱锥为十一棱锥，则该棱锥的棱的条数是22. 4.一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为（　　） A.6　 B.8 C.10　 D.12 解析：D　因为此正棱锥有6个顶点，所以此正棱锥为正五棱锥.又正棱锥的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60，可知每条侧棱长为12. 5.〔多选〕给出下列命题，其中为真命题的是（　　） A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B.有的棱台的侧棱长相等 C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 解析：BD　A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；易知B正确；C错误，截面必须与底面平行才能截得棱台；D正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形.故选B、D. 6.〔多选〕如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（　　） 解析：BC　A图还原成正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；B图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；C图还原成正方体后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；D图还原成正方体后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面.综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是B、C. 7.一个棱锥至少有　4　个面，顶点最少的一个棱台有　3　条侧棱. 解析：面最少的棱锥是三棱锥，它有4个面；顶点最少的棱台是三棱台，它有3条侧棱. 8.如图所示的几何体，下列描述正确的有　①③④⑤　（填序号）. ①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到. 解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图（1）（2）. 9.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是　　. 解析：设长方体长、宽、高分别为x，y，z，则yz＝，xz＝，yx＝，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝，解得x＝，y＝，z＝1，所以＝＝. 10.分别画出六面体：（1）使它是一个四棱柱；（2）使它由两个三棱锥组成；（3）使它是五棱锥. 解：如图所示.图①是一个四棱柱；图②是一个由两个三棱锥组成的几何体；图③是一个五棱锥. 11.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（　　） A.至多有一个是直角三角形 B.至多有两个是直角三角形 C.可能都是直角三角形 D.必然都是非直角三角形 解析：C　在如图所示的长方体中，三棱锥A􀆼A1C1D1的三个侧面都是直角三角形.故选C. 12.将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　大正方体分割为43个，各面均没有颜色的小正方体有23个，所以各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的＝. 13.如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为　4 　. 解析：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 .所以△AEF周长的最小值为4 . 14.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 解：（1）如图，折起后形成的几何体是三棱锥. （2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. （3）S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a·a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2. 15.如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中： （1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？ （2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？ （3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第（1）题和第（2）题对不对？ 解：（1）不对.水面的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形. （2）不对.水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥. （3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $