12.4 复数的三角形式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦复数的三角形式核心知识点，从复数几何意义切入，通过问题引导学生理解辐角、辐角主值及三角形式定义，进而掌握乘除运算法则及其几何意义，构建从概念到运算再到几何应用的完整学习支架。 资料以问题驱动培养数学抽象，通过向量旋转等几何意义教学发展直观想象，题型分层且含跟踪训练，如复数旋转应用实例助理解，课中辅助教师授课，课后练习题帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

12.4　复数的三角形式* 课标要求 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（直观想象）. 由复数的几何意义可以知道，复数z＝a＋bi（a，b∈R），复平面内的点Z（a，b）和平面向量之间存在着一一对应的关系，如果以x轴的非负半轴为始边，向量所在直线为终边的角为θ，向量的模为r. 【问题】　复数z＝a＋bi（a，b∈R）能否用r，θ来表示呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的三角形式 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角及辐角主值 （1）辐角：以x轴的非负半轴为　始边　、向量所在的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi的辐角； （2）辐角主值：适合于　0≤θ＜2π　的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值，记作　arg z　，即0≤arg z＜2π. 2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式 设复数z＝a＋bi（z≠0）的辐角为θ，模为r，则z＝　r（cos θ＋isin θ）　称为复数z的三角形式.其中r＝，cos θ＝，sin θ＝，而a＋bi称为复数z的代数形式. 知识点二　复数三角形式乘、除运算法则及其几何意义 1.复数三角形式的乘（除）法运算法则 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）： （1）乘法法则：z1z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）＝　r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　. 即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和； （2）除法法则：＝＝　[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　. 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 2.复数乘（除）法运算的三角形式的几何意义 （1）复数乘法运算三角形式的几何意义 复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按　逆时针　方向旋转θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的　r2　倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. （2）复数除法运算三角形式的几何意义 复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按　顺时针　方向旋转θ2，再把它的模变为原来的　　，得到向量，表示的复数就是商. 【想一想】 对于多个复数相乘，能得到什么结论？ 提示：z1z2…zn＝r1 （cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2）·…·rn （cos θn＋isin θn）＝r1r2·…·rn[cos（θ1＋θ2＋…＋θn）＋isin（θ1＋θ2＋…＋θn）]. 当z1＝z2＝…＝zn＝r（cos θ＋isin θ）时，[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.任意一个复数都有三角形式 B.复数的三角形式也可以进行四则运算 C.任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍 D.0的辐角主值为0 解析：ACD　复数的三角形式不能进行四则运算，故B错误，A、C、D正确.故选A、C、D. 2.复数1＋i的辐角主值为（　　） A.　 B.－ C.　 D.－ 解析：A　1＋i＝（cos＋isin）.故选A. 3.复数－2－2i化为三角形式为　　；复数3化为代数形式为　2　＋i　. 解析：因为r＝＝2，所以故arg（－2－2i）＝π＋＝π，从而－2－2i＝2. 3＝3＝＋i. 题型一｜复数的辐角及辐角主值 【例1】　（1）（链接教科书第134页例1）复数－i的辐角主值为（　　） A.　　 B.π　　 C.π　　 D.π 解析：（1）D　∵－i＝2＝2（cos＋isinπ），又∵∈[0，2π），故－i的辐角主值为π. （2）已知z＝1＋i，求复数ω＝的模和辐角主值. 解析：（2）解：∵z＝1＋i，∴ω＝＝＝＝1－i，∴r＝＝，∴arg z＝. 通性通法 　　对于给定的复数z＝a＋bi，根据r＝可以求出该复数的模，根据cos θ＝，sin θ＝就可以确定该复数的辐角主值. 【跟踪训练】 已知z＝1＋cos θ＋isin θ（π＜θ＜2π），求arg z. 解：z＝1＋cos θ＋isin θ＝2cos2＋i（2×sincos）＝2cos ＝－2cos. ∵π＜θ＜2π，∴＜＜π， ∴cos＜0，＜π＋＜2π， ∴arg z＝π＋. 题型二｜复数的代数形式化为三角形式 【例2】　（1）下列复数是复数三角形式表示的是（　D　） A.　 B.－ C.　 D.cosπ＋isinπ 解析：（1）选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0要求；选项C，是sinπ与icosπ用“＋”连接而不是cos＋isinπ的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D. （2）（链接教科书第135页例2）复数2＋2i的三角形式为　4　. 解析：（2）∵r＝ ＝4，∴ ∴arg z＝，∴2＋2i＝4. 通性通法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 【跟踪训练】 　复数z＝isin 10°的三角形式是（　　） A.cos 10°＋isin 10° B.isin 10° C.sin 10°（cos 90°＋isin 90°） D.sin 10°（cos 0°＋isin 0°） 解析：C　z＝isin 10°＝sin 10°（0＋i）＝sin 10°（cos 90°＋isin 90°）. 题型三｜复数的三角形式化为代数形式 【例3】　把下列复数的三角形式化为代数形式： （1）2（cos＋isin）； 解：（1）2（cos＋isin）＝2（＋i）＝＋i. （2）8（cos＋isin）. 解：（2）8（cos＋isin）＝8［cos（－）＋isin（－）］＝8（－i）＝4－4i . 通性通法 　　把复数的三角形式化为代数形式只需将三角函数计算求值，然后写成z＝x＋yi的形式即可. 【跟踪训练】 　复数的代数形式为　1－i　. 解析：（cosπ＋isinπ）＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］＝＝（－i）＝1－i. 题型四｜复数三角形式的乘、除法运算 【例4】　（链接教科书第137页例4）计算： （1）2×； 解：（1）原式＝2＝－2i. （2）[6（cos 160°＋isin 160°）]÷[（cos 25°＋isin 25°）]. 解：（2）原式＝3[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）] ＝3（cos 135°＋isin 135°）＝3 ＝－3＋3i. 通性通法 　　在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 【跟踪训练】 　计算：2i÷. 解：2i÷ ＝[2（cos 90°＋isin 90°）]÷ ＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i. 题型五｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例5】　（链接教科书第139页习题8题）在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 解：因为3－i＝2 ＝2. 所以2× ＝2 ＝2 ＝2＝3＋i， 2÷ ＝2 ＝2＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针方向旋转得到的复数为3＋i，按顺时针方向旋转得到的复数为－2i. 通性通法 　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝r1r2·[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时，＝·[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]. 【跟踪训练】 在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数. 解：＋i＝， 由题意得（cos＋isin）×2（cos＋isin） ＝×2 ＝3＝3i， 即与所得向量对应的复数为3i. 1.设复数z＝a＋bi＝r（cos θ＋isin θ），其中a，b∈R，＝r，arg z＝θ，下列说法正确的是（　　） A.r＞0，θ∈[0，2π）　　 B.r≥0，θ∈（0，2π） C.r∈R，θ∈（－π，π）　 D.r≥0，θ∈[0，2π） 解析：D　由复数三角形式的特征知，r≥0，0≤θ＜2π.∴D正确，A、B、C均不正确，故选D. 2.复数－2的辐角主值是（　　） A.　 B.π C.π　 D.π 解析：C　∵－2＝2（ cosπ＋isinπ），∴辐角主值为π，故选C. 3.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　） A.z＝（sin 45°＋icos 45°） B.z＝（cos 45°＋isin 45°） C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）] D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）] 解析：B　依题意得r＝＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B. 4.计算：（1）8×； （2）2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］. 解：（1）原式＝8 ＝8（cos＋isin）＝－4＋4i. （2）原式＝2÷［（cos＋isin）］＝2［cos（－）＋isin（－）］＝－2i. 1.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是（　　） A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160° C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160° 解析：B　（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°） ＝（cos 80°＋isin 80°）（cos 80°＋isin 80°） ＝cos 160°＋isin 160°.故选B. 2.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z的代数形式为（　　） A.1－i　　　　　　 B.－1－i C.1＋i　 D.－1＋i 解析：C　由题意知，z＝2＝1＋i.故选C. 3.若a＜0，则a的三角形式为（　　） A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π） C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π） 解析：C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C. 4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　） A.＋i　 B.－＋i C.－－i　 D.－i 解析：A　i＝cos＋isin，将绕原点按顺时针方向旋转得到对应的复数为cos＋isin＝＋i. 5.〔多选〕在复平面内，，对应的复数分别为z1＝＋i，z2＝cos θ＋isin θ，且⊥，则z2可能是（　　） A.－＋i　 B.＋i C.－i　 D.－－i 解析：AC　因为⊥，所以（，）·（cos θ，sin θ）＝0，即cos θ＋sin θ＝0，即cos θ＝－sin θ，又sin2θ＋cos2θ＝1，则或所以z2＝－＋i或z2＝－i.故选A、C. 6.〔多选〕已知复数z＝cos＋isin，则下列关于复数z的结论中正确的是（　　） A.｜z｜＝1 B.＝cos＋isin C.复数z是方程x3－1＝0的一个根 D.复数－z的辐角主值为－ 解析：ABC　∵z＝－＋i，∴｜z｜＝＝1，故A正确；∵＝－－i＝cos＋isin，故B正确；∵z3＝cos＋isin＝1，∴z3－1＝0，故C正确；∵－z＝－i，∴复数－z的辐角主值为，故D错误.故选A、B、C. 7.计算2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝　－i　. 解析：2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝[2（cos 0°＋isin 0°）]÷[2（cos 60°＋isin 60°）]＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i. 8.如果θ∈，则复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角主值为　θ＋　. 解析：（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝··（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋. 9.在复平面内，将复数＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数三角形式为　2（cos 120°＋isin 120°）　，代数形式为　－1＋i　. 解析：由题意知，（＋i）×（cos 90°＋isin 90°） ＝2（cos 30°＋isin 30°）×（cos 90°＋isin 90°） ＝2（cos 120°＋isin 120°） ＝－1＋i. 10.把下列复数表示成代数形式： （1）4； （2）2. 解：（1）4 ＝4＝2－2i. （2）2＝2 ＝－＋i. 11.复数z＝cos＋isin是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为（　　） A.＋i　 B.＋i C.－－i　 D.－－i 解析：D　因为z＝cos＋isin是方程x5＋α＝0的一个根，所以α＝－x5＝－（cos＋isin）5＝－cos－isin＝－－i.故选D. 12.〔多选〕复数cos＋isin经过n（n∈N*）次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值可以为（　　） A.3　 B.5 C.11　 D.12 解析：BC　由题意，得（cos＋isin）n＝cos＋isin＝cos－isin，由复数相等的定义，得结合各选项，可知n＝5或11.故选B、C. 13.复数z＝（1－i）5，则z的模等于　32　，辐角主值为　　. 解析：∵（1－i）5＝25＝32（cos ＋isin ）5＝32（cos＋isin）＝32（cos ＋isin ）.∴复数z的模为32，辐角主值为. 14.将tan θ＋i，θ∈表示成三角形式. 解：tan θ＋i＝＋i＝（sin θ＋icos θ）， ∵θ∈， ∴cos θ＞0， ∴tan θ＋i＝. 15.设复数z1＝＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1·在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式. 解：因为z1＝＋i＝2， 设z2＝2（cos α＋isin α），α∈（0，π）， 所以z1·＝2×4（cos 2α＋isin 2α）＝8. 由题设知2α＋＝2kπ＋（k∈Z）， 所以α＝kπ＋（k∈Z）. 又α∈（0，π）， 所以α＝， 所以z2＝2＝－1＋i. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $