10.1.3 两角和与差的正切-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

10.1.3　两角和与差的正切 1 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式（逻辑推理）. 2.能够运用两角和与差的正切公式解决有关求值、化简等问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ，∠COD ＝α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　两角和与差的正切公式 1. 正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 公式 tan（α＋β） ＝ ⁠ T（α＋β） α，β，α＋β≠ ⁠ ⁠ 两角差的正切 公式 tan（α－β）＝ ⁠ T（α－β） α，β，α－β≠ ⁠ ⁠ ​ kπ ＋ （k∈Z）　 ​ kπ ＋ （k∈Z）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； （2） 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）； tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）； 1－tan αtan β＝ ； 1＋tan αtan β＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 你能借助两角和与差的正、余弦公式推导出tan（α＋β）与tan（α－ β）吗？ 提示：tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ＝ . 类似地可以推导tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的β， tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 下列说法正确的个数为（　　） ①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立； ②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立； ③tan 能根据公式tan（α－β）直接展开. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　①若α＝ ，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有当α， β，α＋β≠ ＋kπ，k∈Z时，公式才成立，所以②错误；③由于按公式 展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α－β）直接展开，所以③错 误，故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知tan α＝ ，则tan ＝ ⁠. 解析：∵tan α＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝7. 3. 已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，则tan αtan β＝ ⁠. 解析：∵tan（α＋β）＝ ，∴4＝ ，即1－tan αtan β ＝ ，∴tan αtan β＝ . 7　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 　 题型一｜给角求值 【例1】　（链接教科书第65页练习2题）求下列各式的值：（1）tan ； 解： tan ＝tan（π－ ） ＝－tan ＝－tan（ － ） ＝－ ＝－（2－ ）＝ －2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） ； 解： 法一　因为tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝ ＝2＋ . 所以 ＝ ＝－ . 法二　 ＝ ＝tan（45°＋75°）＝tan 120°＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）tan ＋tan ＋ tan tan . 解： tan ＋tan ＋ tan tan ＝tan ＋ tan tan ＝ ＋ tan tan ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 探究公式T（α±β）的逆用及变形应用的解题策略 　　应用两角和与差的正切公式解题时，要注意公式的逆用和常用的公式 变形. （1）“1”的代换：在T（α±β）中，如果式子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如 ＝tan ； ＝ tan ； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　计算：（1） ； 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝－1. （2）tan 10°·tan 20°＋ （tan 10°＋tan 20°）. 解： 原式＝tan 10°·tan 20°＋ [tan （10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜给值求值（角） 【例2】　（1）（链接教科书第64页例1）若tan α，tan β是方程x2－3x ＋2＝0的两根，则tan（α＋β）＝（　　） A. 3 B. －3 C. ±3 D. －1 √ 解析： 　由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan（α＋ β）＝ ＝ ＝－3.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ，求2α＋β的值. 解：∵tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ， ∴tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ＞0， ∴α＋β∈ ，2α＋β∈（0，π）， ∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝ ＝ ＝ 1，∴2α＋β＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和或差，再根 据公式求解. 2. 关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确 定该角的大小. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知 sin α＝ ， sin β＝ ，且α和β均为钝角. 求：（1） sin （α－β），tan（α－β）； 解：∵α和β均为钝角，∴ cos α＝－ ＝－ ， cos β＝－ ＝－ . tan α＝ ＝－ ，tan β＝ ＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1） sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ）－ （－ ）× ＝－ . tan（α－β）＝ ＝ ＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）α＋β. 解： 法一　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ × （－ ）－ × ＝ . 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ . 法二　tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1，由α和β均 为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜两角和与差正切公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第66页例4）若A＋B＝ ，求证：tan Atan B ＋tan A＋tan B＝1； 解： 证明：左边＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋tan ·（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右边. 故当A＋B＝ 时，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）（链接教科书第66页例5）如图，在某开发区内新建两栋高楼AB， CD（AC为水平地面），P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角 ∠BPD＝45°，AB＝AC＝50 m.试求楼CD的高度（测量仪器的高度不 计）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： 如图，设∠APB＝α，∠CPD＝β， 则α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α. 依题意，得tan α＝ ＝ ＝2， ∴tan β＝tan（135°－α）＝ ＝ ＝3， ∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75， 即楼CD的高度为75 m. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 证明三角恒等式的常用方法 （1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程 中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去； （2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边－右边＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知tan α＝2，证明： sin 2α＋ sin α cos α＝ － － . 证明：因为tan α＝2， 所以左边＝ ＝ ＝ ＝ . 右边＝ － － ＝ － － ＝ － －tan（ ＋ ） ＝ － －tan ＝ ， 所以左边＝右边， 所以原等式成立. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取 一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值. 解：由AB＋BP＝PD， 得a＋BP＝ ， 解得BP＝ a，PC＝ a， 设∠APB＝α，∠DPC＝β， 则tan α＝ ＝ ，tan β＝ ＝ ， ∴tan（α＋β）＝ ＝－18， 又∠APD＋α＋β＝π， ∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. tan 15°＝（　　） A. 2＋ B. 2－ C. ＋1 D. －1 解析： 　tan 15°＝tan（45°－30°）＝ ＝ ＝ ＝ ＝2－ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕若tan β＝ ，则α＋β的大小可能是（　　） A. － B. C. D. － π 解析： 　由题意知tan β＝ ，所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝ ＋kπ， k∈Z. 当k＝0时，α＋β ＝ ；当k＝－1时，α＋β＝－ π.故选B、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若tan（α＋ ）＝5，则tan α＝ 　 　. 解析：tan（α＋ ）＝ ＝ ，故 ＝5，解得tan α＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知A，B都是锐角，且A＋B≠ ，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝2.求 证：A＋B＝ . 证明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝2，∴1 －tan Atan B＝tan A＋tan B， 又∵A＋B≠ ，∴1－tan Atan B≠0， ∴ ＝1，∴tan（A＋B）＝1， 又∵A，B是锐角，∴A＋B＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. （2025·徐州质检）已知 sin （ ＋α）＝2 sin （π－α），则tan（α－ ）＝（　　） A. － B. C. － D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由 sin （ ＋α）＝2 sin （π－α），得 cos α＝2 sin α，所以 tan α＝ ，所以tan（α－ ）＝ ＝ ＝－ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（　　） A. B. － C. 1 D. －1 解析： 　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝ ＝ .故 选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在△ABC中，tan A＋tan B＋ ＝ tan Atan B，则角C＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由已知，得tan A＋tan B＝ （tan Atan B－1），即 ＝－ ，∴tan（A＋B）＝－ ，∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan （A＋B）＝ ，∴C＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，那么tan ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 因为α＋ ＝（α＋β）－ ，所以tan ＝ tan ＝ ＝ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕若tan ＝2 ，tan β＝－ ，则（　　） A. tan α＝ B. tan α＝ C. tan（α＋β）＝0 D. tan（α－β）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： tan α＝tan ＝ ＝ ，故A错误，B正 确；tan（α＋β）＝ ＝ ＝0，故C正确；tan（α－ β）＝ ＝ ＝ ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下列式子化简结果为 的是（　　） A. tan 25°＋tan 35°＋ tan 25°tan 35° B. 2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° cos 65°） C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，利用正切的变形公式可得原式＝ ，故A正确；对 于B，原式＝2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° sin 25°）＝2 sin （35°＋ 25°）＝2 sin 60°＝ ，故B正确；对于C，原式＝ ＝ tan（135°－75°）＝tan 60°＝ ，故C正确；对于D，由C知，原式＝ ＝ ，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在△ABC中，若tan Atan B＞1，那么△ABC是 三角形. 解析：由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tan A·tan B＞1，可得A， B都是锐角，故tan A和tan B都是正数，∴tan（A＋B）＝ ＜0， 故A＋B为钝角.由三角形内角和为180°可得，C为锐角，故△ABC是锐 角三角形. 锐角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知tan（α－ ）＝ ，tan（β－ ）＝－ ，则tan ＝ 　 　. 解析：tan ＝tan［（α－ ）＋（β－ ）］＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知tan（α＋β）＝ ，tan（α－β）＝ ，则 ＝ 　 　. 解析：tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝ ＝ ＝ ，tan 2β＝tan ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知tan α＝－ ， cos β＝ ，α∈ ，β∈ . （1）求tan β的值； 解： 因为 cos β＝ ，β∈ ， 所以 sin β＝ ＝ ，所以tan β＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值. 解： tan（α＋β）＝ ＝ ＝1. 又α∈ ，β∈ ，所以α＋β∈ ， 所以α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 我国古代天文学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立 了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤180°）的对应数表，这是世界数 学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表 高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”两次测 量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan（α－β）＝ ，若 第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高” 的（　　） A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设第一次“晷影长”是l1，“表高”是h1，太阳天顶距为α， 则l1＝h1tan α，设第二次“晷影长”是l2，“表高”是h2，太阳天顶距为 β，则l2＝h2tan β，因为第二次的“晷影长”与“表高”相等，则tan β ＝1，则 ＝tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝ ＝2. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝ ，则下列各式正 确的是（　　） A. A＋B＝2C B. tan（A＋B）＝－ C. tan A＝tan B D. cos B＝ sin A √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan （A＋B）＝ ，故选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝ （1－tan A·tan B）＝ ，∴tan A·tan B＝ 　①，又tan A＋tan B＝ 　②，联立①②， 解得tan A＝tan B＝ ，∴A＝B＝30°， cos B＝ sin A，故选项C、D 正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝ ，tan β＝ ，tan γ＝ ，则α ＋β＋γ＝ ⁠. 解析：∵tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ，tan（α＋β＋γ）＝ ＝ ＝1，∵α，β，γ∈ ，∴α＋β∈ （0，π），又tan（α＋β）＝ ＞0，∴α＋β∈ ，∴α＋β＋ γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知正方形ABCD的边长为1，点P，Q分别在边AB，AD上（不与端 点重合），设∠DCQ＝α，∠BCP＝β. （1）若AP＝DQ，求tan（α＋β）的最大值； 解： 设AP＝DQ＝λ（0＜λ＜1），所以tan α＝λ，tan β＝1 －λ， 所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ， 又λ2－λ＋1＝（λ－ ）2＋ ≥ ，所以tan（α＋β）≤ ＝ ，即 tan（α＋β）的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小. 解： 因为△APQ的周长为2，所以AP＋PQ＋AQ＝1 －tan β＋1－tan α＋ ＝2， 得到tan β＋tan α＝ ，两 边同时平方并化简得到tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以tan（α＋β）＝ ＝1，又0＜α＋β＜ ，所以α＋β＝ ， 所以∠PCQ＝ －（α＋β）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 是否存在锐角α，β，使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan β＝2 － 同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由. （tan ＝2－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：假设存在锐角α，β使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan β＝2－ 同时成立. 由（1）得 ＋β＝ ， 所以tan（ ＋β）＝ ＝ . 又tan tan β＝2－ ， 所以tan ＋tan β＝3－ ， 因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－ ）x＋2－ ＝0的两个根， 设方程的两根分别为x1，x2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解得x1＝1，x2＝2－ . 若tan ＝1，则α＝ ，这与α为锐角矛盾， 所以tan ＝2－ ，tan β＝1， 所以α＝ ，β＝ ， 所以满足条件的α，β存在，且α＝ ，β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $