10.1.1 两角和与差的余弦-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

10.1.1　两角和与差的余弦 1 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程，理解用向量法导出公式的主要步骤（数学抽象、逻辑推理）. 2.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　设向量a＝（ cos 75°， sin 75°），b＝（ cos 15°， sin 15°）， 则向量a与向量b的夹角θ＝60°. 【问题】　（1）分别用公式a·b＝｜a｜·｜b｜ cos θ及a·b＝x1x2＋ y1y2计算a·b的值，比较两次计算的结果，你能发现什么？ （2）上述结论能否进行推广？即已知向量a＝（ cos α， sin α），b＝ （ cos β， sin β），你能得到什么结论？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角差的 余弦公式 cos （α－β）＝ ⁠ ⁠ C（α－β） α， β∈R 两角和的 余弦公式 cos （α＋β）＝ ⁠ ⁠ C（α＋β） cos α cos β＋ sin α sin β　 cos α cos β－ sin α sin β　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数 表示复角的三角函数， cos （α－β）， cos （α＋β）是一个整体； （2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左 边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 诱导公式 cos ＝ sin α与两角差的余弦公式有何联系？ 提示：诱导公式 cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝ sin α，是两角差 的余弦公式的特殊情况. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. cos （60°－30°）＝ cos 60°－ cos 30° B. ∃α，β∈R， cos （α－β）＝ cos α－ cos β成立 C. 对∀α，β∈R， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β都成立 D. ∃α，β∈R， cos （α＋β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β成立 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A， cos （60°－30°）＝ ， cos 60°－ cos 30°＝ － ，故A错误；对于B，若α＝ ，β＝ ， cos （α－β）＝ cos （－ ）＝ ， cos α－ cos β＝ ，故B正确；对于C，由两角差的余弦公 式，C正确；对于D，若α＝β＝0，则 cos （α＋β）＝1， cos α cos β ＋ sin α sin β＝1，故D正确.故选B、C、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. cos cos － sin sin ＝（　　） A. B. C. D. 1 解析： 　 cos cos － sin sin ＝ cos ＝ cos ＝ ，故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知 sin ＝ ，α∈ ，则 cos ＝ 　－ 　. 解析：由已知得 cos α＝ ， sin α＝－ ，所以 cos ＝ cos α＋ sin α＝－ . － 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜两角和与差的余弦公式的直接应用 【例1】　（1）（链接教科书第54页例1）利用两角和（差）的余弦公式 证明： ① cos （ ＋α）＝－ sin α；② cos （ ＋α）＝ sin α. 解： 证明：① cos （ ＋α）＝ cos cos α－ sin sin α＝－ sin α. ② cos （ ＋α）＝ cos cos α－ sin sin α＝ sin α. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）利用两角和（差）的余弦公式化简： ① cos （ ＋α）＋ cos （ －α）；② sin （α－β） sin α＋ cos （β－ α） cos α. 解： ①原式＝（ cos cos α－ sin sin α）＋（ cos · cos α＋ sin sin α）＝ cos α. ②原式＝ cos α cos （β－α）－ sin α sin （β－α）＝ cos [α＋（β－ α）]＝ cos β. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 利用两角和与差的余弦公式可对一些等式进行证明. 2. 对有些复杂的式子，要先化简或变形，只有当式子结构与公式结构完全 一致时，才可使用两角和（差）的余弦公式. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. cos （30°＋α）－ cos （30°－α）＝（　　） A. sin α B. cos α C. － sin α D. － cos α 解析： 　原式＝（ cos 30° cos α－ sin 30° sin α）－（ cos 30° cos α ＋ sin 30° sin α）＝－2 sin 30° sin α＝－ sin α.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. cos （α－β） cos （α＋β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝ （　　） A. cos 2α B. － cos 2α C. cos 2β D. － cos 2β 解析： 　原式＝ cos [（α－β）－（α＋β）]＝ cos （α－β－α－ β）＝ cos （－2β）＝ cos 2β.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜给角求值 【例2】　（链接教科书第55页例2）计算： （1） cos （－75°）； 解： 原式＝ cos （45°－120°）＝ cos 45° cos 120°＋ sin 45° sin 120°＝ × ＋ × ＝ . （2） cos 15° cos 105°＋ sin 15° sin 105°； 解： 原式＝ cos （15°－105°）＝ cos （－90°）＝ cos 90°＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3） sin 34° sin 26°－ cos 34° cos 26°； 解： 原式＝－（ cos 34° cos 26°－ sin 34° sin 26°）＝－ cos （34°＋26°）＝－ cos 60°＝－ . （4） cos 80° cos 35°＋ cos 10° cos 55°. 解： 原式＝ cos 80° cos 35°＋ sin 80° sin 35°＝ cos （80°－ 35°）＝ cos 45°＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用公式C（α±β）求值的方法技巧 　　在利用两角差（和）的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值 问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（和）（或同一个非特殊角与 特殊角的差（和）），运用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用 诱导公式，构造出两角差（和）的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式 或逆用公式求值. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. cos （－15°）＝（　　） A. B. C. D. － 解析： cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ cos 60° cos 45°＋ sin 60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. cos 105°＋ sin 105°＝ 　 　. 解析： cos 105°＋ sin 105°＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60° sin 105° ＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜给值求值 【例3】　（1）（链接教科书第55页例3）已知 sin α＝ ，α∈（0， ）， cos β＝－ ，β∈（π， ），求 cos （α－β）的值； 解： 由 sin α＝ ，α∈（0， ），得 cos α＝ ＝ ＝ . 又由 cos β＝－ ，β∈（π， ），得 sin β＝－ ＝－ ＝－ . ∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ×（－ ）＋ ×（－ ）＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知α，β∈（0， ），且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求 cos β的值. 解： ∵α，β∈（0， ），∴0＜α＋β＜π. 由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝ ＝ ＝ . 又∵ cos α＝ ，∴ sin α＝ . ∴ cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋ β） sin α＝ × ＋ × ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观 察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角； （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中要根据需要灵活地 进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α ＝ ＋ ；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－ （α－β）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知 cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，且α，β∈（0， ），则 cos （2α－β）＝ ⁠. 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：因为α，β∈（0， ），所以α－β∈（－ ， ）.又因为 sin （α－β）＝ ＞0，所以0＜α－β＜ .又 cos α＝ ，所以 sin α＝ ＝ ， cos （α－β）＝ ＝ .所以 cos （2α－β）＝ cos [α＋（α－β）]＝ cos α cos （α－β）－ sin α sin （α－β）＝ × － × ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜给值求角 【例4】　已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，则α－β ＝ ⁠. 解析：∵α，β均为锐角，∴ cos α＝ ， cos β＝ .∴ cos （α－ β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又∵ sin α＞ sin β，∴0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ .故α－β＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 （变条件）若本例中“ sin α”变为“ cos α”，“ sin β ”变为“ cos β ”，则α－β＝ ⁠. 解析：∵α，β均为锐角，∴ sin α＝ ， sin β＝ ，∴ cos （α－ β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又∵ sin α＜ sin β，∴0＜α＜β＜ ，∴－ ＜α－β＜0，故α－β＝－ . － 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 已知三角函数值求角的解题步骤 （1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围； （2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单 调的三角函数； （3）结合三角函数值及角的范围求角. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 若 cos （α＋β）＝ ， sin （α－β）＝ ，且 ＜α＋β＜2π， ＜α －β＜π，则2β＝ ⁠. π　 解析：因为 cos （α＋β）＝ ，且 ＜α＋β＜2π，所以 sin （α＋β） ＝－ .因为 sin （α－β）＝ ，且 ＜α－β＜π，所以 cos （α－β） ＝－ .所以 cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝ × ＋ × ＝－1.又易得 ＜2β＜ ，所以2β＝π. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. cos 105°＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　原式＝－ cos 75°＝－ cos （45°＋30°）＝－（ cos 45° cos 30°－ sin 45° sin 30°）＝－ × ＋ × ＝ . √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕若 cos 5x cos （－2x）－ sin （－5x） sin 2x＝0，则x的值可 能是（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意知 cos 5x cos 2x＋ sin 5x sin 2x＝0，即 cos （5x－ 2x）＝0， cos 3x＝0，∴3x＝ ＋kπ，k∈Z，x＝ ＋ kπ，k∈Z，经检 验B、D成立，A、C不成立.故选B、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 化简： ＝ 　 　. 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知α，β都是锐角， cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，则 cos β ＝ ⁠. 解析：因为α，β∈（0， ），所以α－β∈（－ ， ），所以 sin α ＝ ， cos （α－β）＝ ，所以 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α· cos （α－β）＋ sin α· sin （α－β）＝ × ＋ × ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. （2025·常州期中） sin 140° cos 70°－ sin 50° sin 70°＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 原式＝ sin （90°＋50°） cos 70°－ sin 50° sin 70°＝ cos 50° cos 70°－ sin 50° sin 70°＝ cos （50°＋70°）＝ cos 120°＝－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知点P（1， ）是角α终边上一点，则 cos ＝（　　） A. B. C. － D. 解析： 　由题意知 cos α＝ ＝ ， sin α＝ ＝ ，∴ cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知 cos α＝－ ，α∈ ， sin β＝－ ，β是第三象限角，则 cos （β－α）＝（　　） A. － B. C. D. － 解析： 　因为α∈ ，所以 sin α＝ ，因为β是第三象限角，所 以 cos β＝－ ，所以 cos （β－α）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设x＝ sin A sin B，y＝ cos A cos B，则x，y的大小关系为（　　） A. y＜x B. y＜－x C. x＜y D. x≤y 解析： 　因为x＝ sin A sin B，y＝ cos A cos B，所以y－x＝ cos A cos B－ sin A sin B＝ cos （A＋B），因为△ABC为锐角三角形，所以 ＜A＋B＜ π，所以 cos （A＋B）＜0，即y－x＜0，所以y＜x.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕下面各式中正确的是（　　） A. cos ＝ cos cos － sin B. cos ＝ sin － cos cos C. cos ＝ cos cos ＋ D. cos ＝ cos － cos √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵ cos ＝ cos cos － sin sin ＝ cos cos － sin ，∴A正确；∵ cos ＝－ cos ＝－ cos ＝ sin － cos cos ，∴B正确；∵ cos ＝ cos （ － ）＝ cos cos ＋ ，∴C正 确；∵ cos ＝ cos ≠ cos － cos ，∴D错误.∴故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下面各式化简正确的是（　　） A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60° B. cos 45° cos 30°－ sin 45° sin 30°＝ cos 15° C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45° D. cos （α－ ）＝ cos α＋ sin α √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A， cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos （80°－ 20°）＝ cos 60°，故A正确；对于B， cos 45° cos 30°－ sin 45° sin 30°＝ cos （45°＋30°）＝ cos 75°≠ cos 15°，故B错误；对于C， sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos （α＋45°） cos α ＋ sin （α＋45°） sin α＝ cos [（α＋45°）－α]＝ cos 45°，故C正 确；对于D， cos （α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 化简： cos （20°＋x） cos （25°－x）－ cos （70°－x）· sin （25°－x）＝ ⁠. 解析：原式＝ cos [（20°＋x）＋（25°－x）]＝ cos 45°＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知 cos α＝ ，且α为第一象限角，则 cos （ ＋α）＝ 　 　. 解析：∵ cos α＝ ，α为第一象限角，∴ sin α＝ ＝ ， ∴ cos ＝ cos cos α－ sin sin α＝ × － × ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：因为 所以 两式相加得 cos α cos β＝ ，两式相减 得 sin α sin β＝－ . 9. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ ，则 cos α cos β ＝ 　 　， sin α sin β＝ 　－ 　. 　 － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知 cos α＝ ，α∈（－ ，0）. （1）求 cos （α－ ）的值； 解： 由 sin 2α＋ cos 2α＝1， cos α＝ ，α∈（－ ，0），可得 sin α＝－ ， ∴ cos （α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ × ＋（－ ）× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若 sin （α＋β）＝－ ，β∈（0， ），求β的值. 解：由α∈（－ ，0），β∈（0， ），可得α＋β∈（－ ， ）， 又 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1， sin （α＋β）＝－ ，∴ cos （α＋β）＝ ， 则 cos β＝ cos （α＋β－α）＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝ × ＋（－ ）×（－ ）＝ ， 由β∈（0， ），可得β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知角α，β满足tan αtan β＝－3， cos （α＋β）＝ ，则 cos （α－β）＝（　　） A. － B. －1 C. － D. 解析： 　∵tan αtan β＝ ＝－3，∴ sin α sin β＝－3 cos α cos β，∵ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝4 cos α cos β＝ ，∴ cos α cos β＝ ，∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β ＝－2 cos α cos β＝－ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕满足 cos α cos β＝ ＋ sin α sin β的一组α，β的值是 （　　） A. α＝ ，β＝ B. α＝ ，β＝ C. α＝ ，β＝ D. α＝ ，β＝－ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由 cos α cos β＝ ＋ sin α sin β，得 cos α cos β－ sin α sin β＝ cos （α＋β）＝ .选项A中，α＝ ，β＝ ， cos （α＋ β）＝ cos ＝ cos ＝ ，所以A正确；选项B中，α＝ ，β＝ ， cos （α＋β）＝ cos ＝－ ，所以B不正确；选项C中，α＝ ，β＝ ， cos （α＋β）＝ cos ＝－ ，所以C不正确；选项D中，α＝ ，β＝－ ， cos （α＋β）＝ cos ＝ ，所以D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知α∈ ，且 cos ＝－ ，则 sin ＝ 　 　， cos α＝ ⁠. 解析：∵α∈ ，∴α＋ ∈ ，∴ sin ＝ ＝ ，∴ cos α＝ cos ＝ cos cos ＋ sin （α＋ ） sin ＝ × ＋ × ＝ . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：因为 ＜α＜ ，所以－ ＜ －α＜0， 因为 ＜β＜ ，所以 ＜ ＋β＜ ， 由已知可得 cos ＝ ， cos ＝－ ， 则 cos （α＋β）＝ cos ＝ cos cos ＋ sin （ ＋β） sin ＝ × ＋ × ＝－ . 因为 ＜α＋β＜π，所以α＋β＝ . 14. 若 sin ＝－ ， sin ＝ ，其中 ＜α＜ ， ＜β＜ ，求角α＋β的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它 的终边过点P . （1）求 cos （α＋π）的值； 解： 因为α的终边过点P ，所以OP＝ ＝5，由三角函数的定义得 cos α＝ ＝ ， 所以 cos （α＋π）＝－ cos α＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）将点P与原点距离保持不变，逆时针旋转β（0＜β＜π）角到点Q （－3，4），求 cos β的值. 解：由题意知 cos （α＋β）＝－ ， sin （α＋β）＝ ， 由（1）知 sin α＝ ＝ ， 所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α ＋ sin （α＋β） sin α＝ × ＋ × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $