10.1.3 两角和与差的正切-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用课件(苏教版)

该高中数学课件聚焦“两角和与差的正切”，通过网格情境问题（已知tanα=1/2，tanβ=1/3求tan(α±β)）导入，衔接两角和与差的正余弦公式，引导学生推导正切公式，构建知识支架。 其亮点是注重逻辑推理（公式推导过程）和数学运算（给角求值、给值求角等例题），通过“1的代换”“整体意识”等通性通法总结，提升学生思维能力。为教师提供系统教学资源，助力高效教学，帮助学生夯实基础、提升解题能力。

10.1.3　 两角和与差的正切 新课程标准解读 核心素养 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出 两角和与差的正切公式 逻辑推理 2.能够运用两角和与差的正切公式解决有关求 值、化简等问题 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ， ∠COD＝α－β. 【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知识点　两角和与差的正切公式 1. 正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正切 公式 tan（α＋β）＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠ ⁠ 两角差 的正切 公式 tan（α－β）＝ T（α－β） α，β，α－β≠ ⁠ kπ＋ （k∈Z） kπ＋ （k∈Z） 目录 数学·必修第二册 (SJ) 提醒　（1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与 tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； （2） 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）； tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）； 1－tan αtan β＝ ； 1＋tan αtan β＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【想一想】 你能借助两角和与差的正、余弦公式推导出tan（α＋β）与tan（α －β）吗？ 提示：tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ＝ . 类似地可以推导tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的 β，tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. 下列说法正确的个数为（　　） ①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立； ②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立； ③tan 能根据公式tan（α－β）直接展开. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　①若α＝ ，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有 当α，β，α＋β≠ ＋kπ，k∈Z时，公式才成立，所以②错 误；③由于按公式展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α －β）直接展开，所以③错误，故选B. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 已知tan α＝ ，则tan ＝ ⁠. 解析：∵tan α＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝7. 3. 已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，则tan αtan β ＝ ⁠. 解析：∵tan（α＋β）＝ ，∴4＝ ，即1－tan αtan β＝ ，∴tan αtan β＝ . 7　 　 目录 数学·必修第二册 (SJ) 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 给角求值 【例1】　（链接教科书第65页练习2题）求下列各式的值： （1）tan ； 解： tan ＝tan（π－ ） ＝－tan ＝－tan（ － ） ＝－ ＝－（2－ ）＝ －2. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：法一　因为tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝ ＝2＋ . 所以 ＝ ＝－ . （2） ； 法二　 ＝ ＝tan（45°＋75°）＝tan 120° ＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解： tan ＋tan ＋ tan tan ＝tan ＋ tan tan ＝ ＋ tan tan ＝ . （3）tan ＋tan ＋ tan tan . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 探究公式T（α±β）的逆用及变形应用的解题策略 　　应用两角和与差的正切公式解题时，要注意公式的逆用和常用的 公式变形. （1）“1”的代换：在T（α±β）中，如果式子中出现“1”常利用1＝ tan 来代换，以达到化简求值的目的，如 ＝tan ； ＝ tan ； （2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　计算：（1） ； 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝－1. （2）tan 10°·tan 20°＋ （tan 10°＋tan 20°）. 解： 原式＝tan 10°·tan 20°＋ [tan （10°＋ 20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型二 给值求值（角） 【例2】　（1）（链接教科书第64页例1）若tan α，tan β是方程x2 －3x＋2＝0的两根，则tan（α＋β）＝（　　） A. 3 B. －3 C. ±3 D. －1 解析： 　由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan （α＋β）＝ ＝ ＝－3.故选B. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：∵tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ， ∴tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ＞0， ∴α＋β∈ ，2α＋β∈（0，π）， ∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝ ＝ ＝1，∴2α＋β＝ . （2）已知tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ，求2α＋β的值. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 1. 关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和或差， 再根据公式求解. 2. 关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范 围确定该角的大小. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 　已知 sin α＝ ， sin β＝ ，且α和β均为钝角. 求：（1） sin （α－β），tan（α－β）； 解：∵α和β均为钝角，∴ cos α＝－ ＝－ ， cos β＝ － ＝－ . tan α＝ ＝－ ，tan β＝ ＝－ . （1） sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ）－（－ ）× ＝－ . tan（α－β）＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 法二　tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1，由α和 β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ . 解：法一　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ × （－ ）－ × ＝ . 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ . （2）α＋β. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 题型三 两角和与差正切公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第66页例4）若A＋B＝ ，求证：tan Atan B＋tan A＋tan B＝1； 解： 证明：左边＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1 －tan Atan B）＝tan Atan B＋tan ·（1－tan Atan B） ＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右边. 故当A＋B＝ 时，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1. 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）（链接教科书第66页例5）如图，在某开发区内新建两栋高楼 AB，CD（AC为水平地面），P是AC的中点，在点P处测得两 楼顶的张角∠BPD＝45°，AB＝AC＝50 m.试求楼CD的高度 （测量仪器的高度不计）. 解： 如图，设∠APB＝α，∠CPD＝β， 则α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α. 依题意，得tan α＝ ＝ ＝2， ∴tan β＝tan（135°－α）＝ ＝ ＝3， ∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75， 即楼CD的高度为75 m. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 通性通法 证明三角恒等式的常用方法 （1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明 的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标 “奔”去； （2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边－右边＝0. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 【跟踪训练】 1. 已知tan α＝2，证明： sin 2α＋ sin α cos α＝ － － . 证明：因为tan α＝2， 所以左边＝ ＝ ＝ ＝ . 右边＝ － － ＝ － － ＝ － －tan（ ＋ ） ＝ － －tan ＝ ， 所以左边＝右边， 所以原等式成立. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P， 使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值. 解：由AB＋BP＝PD， 得a＋BP＝ ， 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解得BP＝ a，PC＝ a， 设∠APB＝α，∠DPC＝β， 则tan α＝ ＝ ，tan β＝ ＝ ， ∴tan（α＋β）＝ ＝－18， 又∠APD＋α＋β＝π， ∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18. 目录 数学·必修第二册 (SJ) 1. tan 255°＝（　　） A. －2－ B. －2＋ C. 2－ D. 2＋ 解析： 　tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45° ＋30°）＝ ＝ ＝2＋ .故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. （多选）若tan β＝ ，则α＋β的大小可能是（　　） A. － B. C. D. － π 解析： 　由题意知tan β＝ ，所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝ ＋kπ， k∈Z. 当k＝ 0时，α＋β＝ ；当k＝－1时，α＋β＝－ π.故选B、D. √ √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·淮安马坝高中期中）若tan（α＋ ）＝5，则tan α ＝ . ⁠ 解析：tan（α＋ ）＝ ＝ ，故 ＝5，解得tan α＝ . 　 ​ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知A，B都是锐角，且A＋B≠ ，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝ 2.求证：A＋B＝ . 证明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝ 2，∴1－tan Atan B＝tan A＋tan B， 又∵A＋B≠ ，∴1－tan Atan B≠0， ∴ ＝1，∴tan（A＋B）＝1， 又∵A，B是锐角，∴A＋B＝ . 目录 数学·必修第二册 (SJ) 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负 半轴重合，终边经过点P（2，－3），则tan（α－ ）＝（　　） A. － B. C. 1 D. 5 解析： 　由题意得，tan α＝ ＝－ ，所以tan（α－ ）＝ ＝ ＝5.故选D. √ 目录 数学·必修第二册 (SJ) 2. 若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（　　） A. B. － C. 1 D. －1 解析： 　tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝ ＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 3. （2024·无锡月考）在△ABC中，tan A＋tan B＋ ＝ tan Atan B，则角C＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由已知，得tan A＋tan B＝ （tan Atan B－1），即 ＝－ ，∴tan（A＋B）＝－ ，∴tan C＝tan[π－ （A＋B）]＝－tan（A＋B）＝ ，∴C＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 4. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，那么tan ＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　因为α＋ ＝（α＋β）－ ，所以tan ＝ tan ＝ ＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 5. （多选）（2024·常州月考）若tan ＝2 ，tan β＝－ ， 则（　　） A. tan α＝ B. tan α＝ C. tan（α＋β）＝0 D. tan（α－β）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　tan α＝tan ＝ ＝ ，故A错 误，B正确；tan（α＋β）＝ ＝ ＝0，故C 正确；tan（α－β）＝ ＝ ＝ ，故D错 误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 6. （多选）下列式子化简结果为 的是（　　） A. tan 25°＋tan 35°＋ tan 25°tan 35° B. 2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° cos 65°） C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　对于A，利用正切的变形公式可得原式＝ ，故A正 确；对于B，原式＝2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° sin 25°）＝2 sin （35°＋25°）＝2 sin 60°＝ ，故B正确；对于C，原式＝ ＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝ ，故C正 确；对于D，由C知，原式＝ ＝ ，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 7. 在△ABC中，若tan Atan B＞1，那么△ABC是 三角形. 解析：由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tan A·tan B＞1，可 得A，B都是锐角，故tan A和tan B都是正数，∴tan（A＋B）＝ ＜0，故A＋B为钝角.由三角形内角和为180°可得，C 为锐角，故△ABC是锐角三角形. 锐角　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 8. 已知tan（α－ ）＝ ，tan（β－ ）＝－ ，则tan ＝ 　 　. 解析：tan ＝tan［（α－ ）＋（β－ ）］＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 9. （2024·徐州月考）已知 ＝3，tan（α－β）＝2，则tan （β－2α）＝ ⁠. 解析：由条件知 ＝ ＝3，则tan α＝2.因为tan（α －β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝ tan[（β－α）－α]＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 10. 已知tan α＝－ ， cos β＝ ，α∈ ，β∈ . （1）求tan β的值； 解： 因为 cos β＝ ，β∈ ， 所以 sin β＝ ＝ ，所以tan β＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) （2）求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值. 解： tan（α＋β）＝ ＝ ＝1. 又α∈ ，β∈ ，所以α＋β∈ ， 所以α＋β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 11. （2024·连云港赣榆一中月考）我国古代天文学家僧一行应用“九 服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ （0°≤θ≤180°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张 正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳 天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”两次测 量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan（α－β） ＝ ，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷 影长”是“表高”的（　　） A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　设第一次“晷影长”是l1，“表高”是h1，太阳天顶距 为α，则l1＝h1tan α，设第二次“晷影长”是l2，“表高”是 h2，太阳天顶距为β，则l2＝h2tan β，因为第二次的“晷影长” 与“表高”相等，则tan β＝1，则 ＝tan α＝tan[（α－β）＋ β]＝ ＝ ＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 12. （多选）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝ ，则下列各 式正确的是（　　） A. A＋B＝2C B. tan（A＋B）＝－ C. tan A＝tan B D. cos B＝ sin A √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解析： 　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝ C，∴tan（A＋B）＝ ，故选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝ （1－tan A·tan B）＝ ，∴tan A·tan B＝ 　①，又tan A＋tan B＝ 　②，联立①②，解得tan A＝tan B＝ ，∴A＝B＝ 30°， cos B＝ sin A，故选项C、D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 13. （2024·盐城质检）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝ ，tan β＝ ，tan γ＝ ，则α＋β＋γ＝ 　 　. 解析：∵tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ，tan（α＋β＋ γ）＝ ＝ ＝1，∵α，β，γ∈ ， ∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝ ＞0，∴α＋ β∈ ，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 14. 在△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝ ，且 tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状. 解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝ ＝ ＝－ ， 而0°＜A＜180°，∴A＝120°. tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝ ＝ ＝ ， 而0°＜C＜180°，∴C＝30°. ∴B＝180°－120°－30°＝30°. ∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 15. 是否存在锐角α，β，使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan β ＝2－ 同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在， 说明理由.（tan ＝2－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 解：假设存在锐角α，β使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan β＝2－ 同时成立. 由（1）得 ＋β＝ ， 所以tan（ ＋β）＝ ＝ . 又tan tan β＝2－ ， 所以tan ＋tan β＝3－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) 因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－ ）x＋2－ ＝0的两 个根， 设方程的两根分别为x1，x2， 解得x1＝1，x2＝2－ . 若tan ＝1，则α＝ ，这与α为锐角矛盾， 所以tan ＝2－ ，tan β＝1， 所以α＝ ，β＝ ， 所以满足条件的α，β存在，且α＝ ，β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目录 数学·必修第二册 (SJ) $