12.2 第1课时 复数的加法、减法、乘法运算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦复数的加法、减法、乘法运算及共轭复数概念这一核心知识点，从实数运算类比引入复数加减法则，明确交换律与结合律，通过多项式乘法类比推导复数乘法法则并强调i²=-1的处理，共轭复数作为运算工具贯穿其中，构建从概念到运算再到应用的学习支架。 该资料以问题驱动（如“复数加法是否满足交换律”）引导数学抽象，通过通性通法总结（如复数加减类比合并同类项）培养数学运算能力，分层例题与跟踪训练结合，课中助力教师落实课标要求，课后学生可通过练习题巩固，有效查漏补缺，提升解决复数问题的思维与运算能力。

第1课时　复数的加法、减法、乘法运算 课标要求 1.掌握复数代数形式的加、减运算（数学运算）. 2.理解复数乘法的运算法则，能进行复数的乘法运算（数学抽象、数学运算）. 3.掌握共轭复数的概念及应用（数学抽象、数学运算）. 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律. 【问题】　复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的加法运算及运算律 1.复数的加法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则（a＋bi）＋（c＋di）＝　（a＋c）＋（b＋d）i　. 即两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加. 2.复数加法满足的运算律 对任何z1，z2，z3∈C，有： （1）交换律：z1＋z2＝　z2＋z1　； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝　z1＋（z2＋z3）　. 知识点二　复数的减法运算 1.复数的差 把满足（c＋di）＋（x＋yi）＝a＋bi的复数x＋yi（x，y∈R）叫作复数a＋bi减去c＋di所得的差，记作　（a＋bi）－（c＋di）　. 2.复数的减法法则 （a＋bi）－（c＋di）＝　（a－c）＋（b－d）i　. 即两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减. 　　提醒：复数的减法是加法的逆运算. 【想一想】 　对于多个复数相加（减）应该如何运算呢？ 提示：实部与虚部分别相加（减）. 知识点三　复数的乘法运算 1.复数的乘法法则 （a＋bi）（c＋di）＝　（ac－bd）＋（bc＋ad）i　. 2.复数乘法的运算律 对任何z1，z2，z3∈C，有： （1）交换律：z1z2＝　z2z1　； （2）结合律：（z1z2）z3＝　z1（z2z3）　； （3）分配律：z1（z2＋z3）＝　z1z2＋z1z3　. 　　提醒：（1）两个复数的积仍是一个复数；（2）复数的乘法法则与多项式的乘法法则类似. 【想一想】 1.复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并. 2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 提示：仍然成立，乘法公式也适用. 知识点四　共轭复数 1.共轭复数的定义 （1）把实部　相等　、虚部　互为相反数　的两个复数叫作互为共轭复数； （2）记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的共轭复数记作，即＝　a－bi　. 2.共轭复数的性质 （1）当复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数是　它本身　； （2）z·＝a2＋b2. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.复数与复数相加减后结果只能是实数 B.在进行复数加减乘的混合运算时，先乘再加减 C.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部 D.复数的减法不满足结合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立 解析：BC　对于A，复数与复数相加减后结果为确定的复数，故A错误；B、C正确；对于D，根据复数 的运算法则可知（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）是成立的，故D错误.故选B、C. 2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（　　） A.8i　 B.6 C.6＋8i　 D.6－8i 解析：B　根据复数的加法法则得z1＋z2＝（3＋4i）＋（3－4i）＝6.故选B. 3.已知z＝3＋2i，则＝　3－2i　，z·＝　13　. 解析：＝3－2i，z·＝（3＋2i）（3－2i）＝9－4i2＝9＋4＝13. 题型一｜复数的加、减运算 【例1】　（1）（链接教科书第123页例1）计算：（5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝　－10i　； 解析：（1）（5－5i）＋（－2－2i）－（3＋3i）＝（5－2－3）＋[－5＋（－2）－3]i＝－10i. （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝　－1＋10i　. 解析：（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，所以 所以 所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i. 通性通法 复数加（减）运算的法则 （1）复数代数形式的加（减）运算实质就是将实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）复数的加（减）运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 【跟踪训练】 1.－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝　－2－8i　. 解析：－i－（－1＋5i）＋（－2－3i）＋（i－1）＝－i＋1－5i－2－3i＋i－1＝－2－8i. 2.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝　3　. 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋（a2－1）i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3. 题型二｜复数的乘法运算 【例2】　（链接教科书第124页例2、例3）（1）设a∈R，（a＋i）（1－ai）＞0，则a＝（　C　） A.－2　 B.－1 C.1　 D.2 解析：（1）∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＞0，则复数2a＋（1－a2）i为实数，∴2a＞0且1－a2＝0，解得a＝1.故选C. （2）计算：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝　53＋23i　. 解析：（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i＝（3＋11i）（3－4i）＋2i＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 【跟踪训练】 1.计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　） A.2－13i　 B.13＋2i C.13－13i　 D.－13－2i 解析：D　（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i.故选D. 2.若复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m＝　－1　. 解析：∵（m2＋i）（1＋mi）＝m2－m＋（m3＋1）i是实数，∴m3＋1＝0，则m＝－1. 题型三｜共轭复数及其应用 【例3】　复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数. 解：设z＝x＋yi（x，y∈R），则＝x－yi. ∵z·＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i（x＋yi）＝4＋2i， ∴（x2＋y2－2y）＋2xi＝4＋2i. ∴解得或 ∴z＝1＋3i或z＝1－i. ∴z的共轭复数为＝1－3i或＝1＋i. 通性通法 1.有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝a2＋b2；（2）z∈R⇔z＝. 2.紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础. 【跟踪训练】 　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi. 由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 则有解得或 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 1.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（　　） A.5　　　　　　　　　 B.1 C.0　 D.－3 解析：B　因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B. 2.已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的共轭复数的虚部是（　　） A.1　 B.i C.－1　 D.－i 解析：A　z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－i，则＝i，复数的虚部为1.故选A. 3.定义一种运算：＝ad－bc.则复数的共轭复数是　－1－3i　. 解析：∵＝3i（1＋i）＋2＝－1＋3i，∴其共轭复数为－1－3i. 4.若复数z满足（1＋2i）＝4＋3i，则z＝　2＋i　. 解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi.∴（1＋2i）（a－bi）＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，∴解得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i. 1.若（a＋3i）－（2－i）＝5＋bi（a，b∈R），则a＋b＝（　　） A.－4　 B.11 C.－8　 D.5 解析：B　（a＋3i）－（2－i）＝（a－2）＋4i＝5＋bi. 故即所以a＋b＝11.故选B. 2.（2025·徐州期末）复数i（1－2i）的共轭复数为（　　） A.2－i　 B.2＋i C.－2－i　 D.－2＋i 解析：A　i（1－2i）＝i－2i2＝2＋i，则复数的共轭复数为2－i.故选A. 3.（1－i）（1＋i）＝（　　） A.1＋i　 B.－＋i C.＋i　 D.－1＋i 解析：D　（1－i）（1＋i）＝（1－i）（1＋i）（－＋i）＝（1－i2）＝2（－＋i）＝－1＋i.故选D. 4.已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则（　　） A.a＝1，b＝－2　 B.a＝－1，b＝2 C.a＝1，b＝2　 D.a＝－1，b＝－2 解析：A　由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选A. 5.〔多选〕已知i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝－4＋3i，z3＝1－i，则（　　） A.z1＋z3＝4＋3i B.z1与z2互为共轭复数 C.z1＋z2＋z3为纯虚数 D.（z1－z2）z3＝8－6i 解析：ACD　对于A，z1＋z3＝3＋4i＋（1－i）＝4＋3i，故A正确；对于B，复数z1＝3＋4i的共轭复数为＝3－4i，故B错误；对于C，z1＋z2＋z3＝3＋4i－4＋3i＋1－i＝6i，故C正确；对于D，因z1－z2＝7＋i，则（z1－z2）z3＝（7＋i）（1－i）＝8－6i，故D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕给出下列命题，其中是真命题的是（　　） A.纯虚数z的共轭复数是－z B.若z1－z2＝0，则z1＝ C.若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数 D.若z1－z2＝0，则z1与互为共轭复数 解析：AD　选项A中，根据共轭复数的定义知是真命题，故A正确；选项B中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝，当z1，z2均为虚数时，z1≠，故B错误；选项C中，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，故C错误；选项D中，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与互为共轭复数，故D正确.故选A、D. 7.若复数z满足z＋（5－6i）＝3，则z的虚部为　6　. 解析：由z＋（5－6i）＝3，得z＝3－（5－6i）＝－2＋6i，故z的虚部为6. 8.已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位），则a2＋b2＝　5　，ab＝　2　. 解析：由已知（a＋bi）2＝3＋4i，即a2－b2＋2abi＝3＋4i，得解得则a2＋b2＝5，ab＝2. 9.已知复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝　2　. 解析：z1＋z2＝（－2mi）＋（－m＋m2i）＝（－m）＋（m2－2m）i.因为z1＋z2＞0，所以z1＋z2为实数且大于0，所以解得m＝2. 10.计算：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）； （2）（＋i）＋（2－i）－（－i）； （3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2，z1z2. 解：（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i） ＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i ＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i ＝－1－i. （2）（＋i）＋（2－i）－（－i） ＝＋i＋2－i－＋i ＝（＋2－）＋（－1＋）i ＝1＋i. （3）z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i） ＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i. z1z2＝（2＋3i）（－1＋2i） ＝－2＋4i－3i＋6i2 ＝－2＋i－6 ＝－8＋i. 11.据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数1和0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z＝的共轭复数为，则＝（　　） A.－－i　 B.－＋i C.＋i　 D.－i 解析：A　由欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R），得z＝＝cos＋isin＝－＋i，根据共轭复数定义可知＝－－i.故选A. 12.〔多选〕若复数z满足z＋2＝9＋4i（i为虚数单位），则（　　） A.z＝25　 B.z＝3＋4i C.z＝3－4i　 D.＝3＋4i 解析：ACD　设z＝x＋yi（x，y∈R），∵z＋2＝9＋4i，∴x＋yi＋2（x－yi）＝9＋4i，即3x－yi＝9＋4i，∴∴∴z＝3－4i，＝3＋4i，∴z＝（3＋4i）（3－4i）＝9－16i2＝9＋16＝25.故选A、C、D. 13.已知＋i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根，则a＝　1　，b＝　－　. 解析：把＋i代入方程，得a＋b＋1＝0，即＋i＝0，所以即解得 14.已知复数z＝（1－i）2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i（a，b∈R），求b＋ai的共轭复数. 解：z＝（1－i）2＋1＋3i ＝－2i＋1＋3i ＝1＋i， 由z2＋az＋b＝1－i， 得（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i， ∴a＋b＋i（a＋2）＝1－i（a，b∈R）， ∴解得 ∴b＋ai＝4－3i， 则b＋ai的共轭复数是4＋3i. 15.已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2bz＝（a＋2z）2成立，求a，b的值. 解：az＋2bz＝（a＋2b）＋（a＋2b）i， （a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i ＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i， ∴（a＋2b）＋（a＋2b）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i. ∴ 解得或 ∴所求实数a＝－2，b＝4－3或a＝2，b＝4＋3. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $