9.4 向量应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

9.4　向量应用 1 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题（逻辑推理、直观想象）. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用（数学建模）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角 越小越省力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力. 【问题】　你能从数学的角度解释上述现象吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点　向量的应用 1. 用向量运算解决平面几何问题的“三步法” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 平面向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等； （2）向量的加减运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中； （3）动量mv是向量的数乘运算； （4）功是力F与所产生的位移s的数量积. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中，正确的是（　AC　） A. 若点B是线段AC的中点，则有 ＋ ＝2 B. 若 ∥ ，则直线AB与CD平行 C. 若 ∥ ，则A，B，C三点共线 D. 物理学中的功是一个向量 AC 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（　　） A. v1－v2 B. v1＋v2 C. ｜v1｜－｜v2｜ D. ｜ ｜ 解析： 　由向量的加法法则可知逆风行驶的速度为v1＋v2.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边 的中线AD的长为 ⁠. 解析：BC的中点为D（ ，6）， ＝（－ ，5），∴｜ ｜＝ ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量在物理中的应用 【例1】　（链接教科书第41页例1）加强体育锻炼是青少 年生活学习中非常重要的组成部分.某体重为m（单位：kg） 的学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两 只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，求 该学生的体重.（参考数据：重力加速度g＝10 m/s2， ≈1.732.结果保留一位小数） 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：如图所示，该学生所受到的重力为G＝mg. 由题意得，｜G｜＝｜F'｜，F'＝F1＋F2. 所以｜F'｜2＝｜F1＋F2｜2＝ ＋ ＋2F1·F2＝4002＋4002＋ 2×400×400× cos 60°＝3×4002， 所以｜F'｜＝400 .所以｜G｜＝400 ， 即该学生的体重为m＝ ≈69.3（kg）. 故该学生的体重约为69.3 kg. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用向量方法解决物理问题的四个步骤 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方 向移动了8 m，其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4 N，方 向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F 所做的功. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方 向建立平面直角坐标系，则F1＝（1， ），F2＝（2 ， 2），F3＝（－3，3 ）， ∴F＝F1＋F2＋F3＝（2 －2，2＋4 ）. 又位移s＝（4 ，4 ）， ∴合力F所做的功W＝F·s＝（2 －2）×4 ＋（2＋ 4 ）×4 ＝4 ×6 ＝24 （J）. ∴合力F所做的功为24 J. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量在平面几何问题中的应用 角度1　利用向量证明平面几何问题 【例2】　（链接教科书第41页例2）如图所示，在正方形 ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一　设 ＝a， ＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0， 又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ， 所以 · ＝ · ＝－ a2－ a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋ ｜ b｜2＝0. 故 ⊥ ，即AF⊥DE. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1）， ＝（2，1）， ＝（1，－2）. 因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以 ⊥ ，即 AF⊥DE. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）利用向量基底法求解：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利 用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何 问题. （2）利用向量坐标法求解：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向 量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几 何问题. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 角度2　利用向量求线段的长度问题 【例3】　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求 对角线AC的长. 解：设 ＝a， ＝b，则 ＝a－b， ＝a＋b， 而｜ ｜＝｜a－b｜＝ ＝ ＝ ＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ ， 又｜ ｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴｜ ｜＝ ，即AC＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用向量法求长度的策略 （1）根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝ a2求解； （2）建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式，若a＝（x，y）， 则｜a｜＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且 ⊥ ，则｜ ｜＝（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所 在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设｜ ｜ ＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，a），D（0， a），E（2，0），所以 ＝（2，－a）， ＝ （4，a）.因为 ⊥ ，所以 · ＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝2 ，所以 ＝（2，－2 ），所以｜ ｜＝ ＝2 . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是 AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：以直角顶点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设CA＝1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），D . ∴ ＝ . 又AE＝2EB，∴E ， ∴ ＝ ， ∴ · ＝（－1）× ＋ × ＝0， ∴ ⊥ ，∴AD⊥CE. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为｜ F｜，若｜F｜＝｜G｜，则θ＝（　　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 解析： 　作 ＝F1， ＝F2， ＝－G（图略），则 ＝ ＋ ，当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC，△OBC均为正三角形，所 以∠AOC＝∠BOC＝60°. 从而∠AOB＝120°.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对 岸，则小船在静水中的速度大小为 m/s. 解析：由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意 图如图.∴｜v｜＝ ＝ ＝2 （m/s）. 3. 在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足 ＝ ＋ （ ＋ ），则｜ ｜＝ ⁠. 解析：∵ ＝ ＋ （ ＋ ），∴ － ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴｜ ｜＝1. 2 　 1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°. 解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D （2，3）， 设P（0，b）（0≤b≤3）， 则 ＝（1，3）， ＝（－1，b）， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴ cos ∠PED＝ ＝ ＝ . 整理得2b2－3b－2＝0， 解得b＝2，b＝－ （舍去）， ∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知两个力F1＝（1，2），F2＝（－2，3）作用于平面内某静止物体 的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个 力F3，则F3＝（　　） A. （1，－5） B. （－1，5） C. （5，－1） D. （－5，1） 解析： 　根据力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1， 5），因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝ 0，则F3＝（1，－5）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在四边形ABCD中，若 ＋ ＝0， · ＝0，则四边形ABCD为 （　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 解析： 　由 ＋ ＝0，得 ＝－ ＝ ，∴四边形ABCD为平行 四边形.由 · ＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形 ABCD为菱形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从 头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40 m/s，则鹰的 飞行速度的大小为（　　） A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s √ 解析： 　如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度 ＝v1，鹰的飞行速度 ＝v2，由题可知｜ ｜＝｜v1｜ ＝40，且∠CAB＝30°，则｜ ｜＝｜v2｜＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则 cos ∠DOE＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴 建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知， ＝（1， ）， ＝（ ，1），故 cos ∠DOE＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立 的是（　　） A. ｜ ｜2＝ · B. ｜ ｜2＝ · C. ｜ ｜2＝ · D. ｜ ｜2＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＝｜ ｜·｜ ｜，由 射影定理可知A正确；由 · ＝｜ ｜｜ ｜· cos B＝｜ ｜｜ ｜，由射影定理可知B正确；由 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－ ∠ACD）＜0，又｜ ｜2＞0，即C错误；由题意可知 Rt△ACD∽Rt△ABC，所以｜ ｜｜ ｜＝｜ ｜·｜ ｜，又由A、 B可得｜ ｜2＝ ，即D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，则下列命题中是真 命题的有（　　） A. 若a·b＜0且b·c＜0，则△ABC为锐角三角形 B. 若a·b＞0，则△ABC为钝角三角形 C. 若a·b＝c·b，则△ABC为等边三角形 D. 若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 对于A，a·b＝ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos C＜0，则 cos C＞0，则角C为锐角，同理，由b·c＜0可知角A为锐角，但角B不一定是 锐角，故A错误；对于B，a·b＝ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos C＞0， 则 cos C＜0，则角C为钝角，故B正确；对于C，由a·b＝c·b，得（a－ c）·b＝0，即（ － ）· ＝（ ＋ ）· ＝0，即（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝0，故｜ ｜＝｜ ｜，故 △ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝ 0，即a2＝（b－c）2，即｜ ｜2＝（ ＋ ）2，即（ － ）2＝ （ ＋ ）2，化简得 · ＝0，故A＝ ，即△ABC为直角三角形， 故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图所示，在倾斜角为37°，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m 沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物 体m的支持力所做的功为 J，重力对物体m所做的功为 J（g＝ 9.8 m/s2， sin 37°＝0.6）. 0　 98　 解析：物体m的位移大小为｜s｜＝ ＝ （m）， 则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜ cos 90°＝0（J）；重力对物体m所做的功为W2＝G·s ＝｜G｜｜s｜ cos 53°＝5×9.8× ×0.6＝98（J）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知向量a＝ ， ＝a－b， ＝a＋b，若△OAB是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为 ⁠. 解析：由题意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角 形，所以 ⊥ ，｜ ｜＝｜ ｜.由 ⊥ 得（a－b）·（a＋ b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，由｜ ｜＝｜ ｜ 得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2 ＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜ ｜＝｜ ｜＝ ，所以S△OAB＝ × × ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则 ·（ ＋ ）的最小值为 ⁠. 解析：因为M为BC的中点，所以 ＋ ＝2 ，则 ·（ ＋ ） ＝2 · ＝2｜ ｜·｜ ｜· cos 180°＝－2｜ ｜｜ ｜.设OA ＝x（0≤x≤2），则OM＝2－x.令y＝x（2－x）（0≤x≤2），则ymax ＝1，所以 ·（ ＋ ）的最小值为－2. －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段AC的 中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM. 求证：NT∥BM. 证明：记 ＝a， ＝b， 则 ＝ ＋ ＝－ a＋b， ＝ ＋ ＝－ ＋ . 而 ＝a＋b， ＝ ＋ ＝ a＋b， 所以 ＝－ （a＋b）＋ （ a＋b）＝－ a＋ b， 所以 ＝4 ，所以NT∥BM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 某江南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游 船在静水中的航行速度的大小｜v1｜＝8 km/h，水流的速度的大小｜v2｜ ＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点B在A的正 北方向，游船正好抵达B处时， cos θ＝（　　） A. B. － C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，设船的实际速度为v.由题知北岸的点B在A 的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴ cos θ＝－ cos （π－θ）＝－ ＝－ ＝－ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉 力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　） A. 当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N B. 当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0 C. 当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N D. 当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝ ＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜ ＝5 N时，物体所受合力大小为 ＝2 （N），选项B错 误；对于C，当物体所受合力为F1时，G与F2的合力为0，所以｜F2｜＝ 4N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小 为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. （2025·盐城期末）已知梯形ABCD中，∠BAD＝90°，AB∥CD， AB＝3，AD＝ ，DC＝1，若 ＝λ ， ＝λ ， λ∈ ，则 · 的取值范围为 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0）， B（3，0），C（1， ），D（0， ）， ＝ （3，0）， ＝（1， ）， ＝（－2， ）， ＝（－1，0），所以 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝（1， ）＋λ（－1，0）＝（1－λ， ）， ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝（3，0）＋λ（－2， ）＝（3－2λ， λ），所以 · ＝（1－λ， ）·（3－2λ， λ）＝2λ2－2λ＋3，λ∈ ，令f（λ）＝2λ2－2λ＋3，λ∈ ，当λ＝ 时，f（λ）min＝f（ ）＝ －2× ＋3＝ ，当λ＝0或λ＝1时，f（λ）max＝f（0）＝2×02－2×0＋3＝3，所以 · ∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前 台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（θ∈ （0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形 区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ （注： cos （θ－45°）＝ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭， ∠OPQ＝θ－45°. ∵ ＝ ＋ ， ∴ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2 · . ∴ ＝ ＋ －2｜ ｜｜ ｜ cos （θ－45°）＝3002＋ （20t）2－2×300×20t× ＝100（4t2－96t＋900）. 依题意得 ≤（60＋10t）2， 解得12≤t≤24. 从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e＝（A，B）是直 线l的一个方向向量，那么n＝（－B，A）就是直线l的一个法向量（如 图①）.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q， 那么 在法向量n上的投影向量为（｜ ｜ cos θ） （θ为向量n 与 的夹角），其模就是点P到直线l的距离d，即d＝ （如图 ②）.据此，请解决下面的问题：已知点A（－4，0），B（2，－1），C （－1，3），求点A到直线BC的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：由题意，得直线BC的一个方向向量e＝ ＝（－3，4），则n＝ （－4，－3）为BC的一个法向量， 又 ＝（6，－1）， ∴点A到直线BC的距离d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $