11.2 第2课时 正弦定理的应用(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦正弦定理的应用这一核心知识点，承接正弦定理基本内容，通过实际测量问题引入，整合仰角俯角概念、三角形面积公式，构建从基础到实际应用的学习支架，涵盖实际问题解决、三角形形状判断、面积计算及平面几何问题。 该资料以真实情境（如河宽测量、船航行）培养数学眼光，通过题型分类与通性通法总结发展数学思维，例题与跟踪训练结合助力数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第2课时　正弦定理的应用 如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小. 【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　仰角与俯角 　与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示. 知识点二　三角形面积公式 1.S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长. 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B. 3.S△ABC＝r（a＋b＋c）＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝，则△ABC的面积为（　　） A.3　 B. C.　 D. 解析：B　由题意可得△ABC的面积为S＝absin C＝×2×3×＝.故选B. 2.已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个内角是30°的直角三角形 解析：C　已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝45°，C＝90°，则△ABC是等腰直角三角形.故选C. 3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为　4　m. 解析：由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，＝，即AB＝＝＝4（m）. 题型一｜正弦定理在实际问题中的应用 【例1】　（链接教科书第99页例3）要测量河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽约为（参考数据：≈2.45，sin 75°≈0.97）（　　） A.170 m　 B.98 m C.95 m　 D.86 m 解析：C　在△ABC中，AB＝120 m，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝×120＝40（m）.设△ABC中AB边上的高为h，则h＝BC×sin∠CBA＝40×sin 75°≈95（m），即河宽约为95 m.故选C. 通性通法 　　在运用正弦定理解决实际问题时，通常根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解. 【跟踪训练】 　（2025·南通期中）一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上，30 min后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（　　） A.8 n mile　 B.16 n mile C.16 n mile　 D.16 n mile 解析：B　由题意知AB＝32×＝16，∠BAS＝45°，∠ASB＝30°，由正弦定理得＝，即＝，解得BS＝16.故选B. 题型二｜判断三角形形状 【例2】　（链接教科书第101页练习5题）在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sin B·sin C，则△ABC的形状为　等边　三角形. 解析：由正弦定理可知＝＝，由sin2A＝sin Bsin C，可得a2＝bc，又2a＝b＋c，将此式两边平方即4a2＝b2＋c2＋2bc＝b2＋c2＋2a2，即b2＋c2＝2a2＝2bc，因此b2＋c2－2bc＝（b－c）2＝0，即b＝c，又2a＝b＋c，可得a＝b＝c，故此三角形为等边三角形. 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的常用方法 （1）化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角（若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝），再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； （2）化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2等），进而确定三角形的形状. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为（　　） A.等边三角形　 B.等腰三角形 C.直角三角形　 D.等腰直角三角形 解析：C　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B以及正弦定理可知，sin Acos C＋sin Ccos A＝sin2B，即sin（A＋C）＝sin B＝sin2B，∵0＜B＜π，∴sin B≠0，∴sin B＝1，B＝，∴三角形为直角三角形.故选C. 2.在△ABC中，sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状. 解：法一　根据正弦定理＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2， ∴A是直角，B＋C＝90°， ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos（90°－B）＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝. ∵0°＜B＜90°， ∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二　根据正弦定理＝＝， ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2， ∴A是直角. ∵A＝180°－（B＋C），sin A＝2sin Bcos C， ∴sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴sin（B－C）＝0. 又－90°＜B－C＜90°，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形. 题型三｜三角形面积公式及其应用 【例3】　（1）〔多选〕在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积可能为（　AC　） A.　　 B.2　　C.2　　 D.4 解析：（1）由正弦定理，得sin C＝＝，又AB·sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝.所以△ABC的面积为2或.故选A、C. （2）在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则sin B∶sin C＝　1∶4　. 解析：（2）因为S△ABC＝bcsin A，所以c＝＝＝4，由正弦定理＝，得sin B∶sin C＝b∶c＝1∶4. 通性通法 　　对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半.求三角形面积时，一般已知哪个角就使用哪个公式.反之，给出了三角形的面积，也可求相应边或角. 【跟踪训练】 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝2，B＝，C＝，则c＝　2　，△ABC的面积为　＋1　. 解析：由正弦定理得，c＝＝2.又sin A＝sin（π－B－C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝＋1. 2.在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝　2　. 解析：∵cos C＝，∴0°＜C＜90°，∴sin C＝＝，又S△ABC＝absin C＝×3b×＝4，∴b＝2. 题型四｜求解平面几何问题 【例4】　（链接教科书第100页例5）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠ADC＝120°，AB＝CD＝2AD，△ACD的面积为. （1）求sin∠CAB； 解：（1）设CD＝2AD＝2a，a＞0. 因为△ACD的面积为，∠ADC＝120°， 所以×2a×a×sin 120°＝，解得a＝1， 所以AB＝CD＝2，AD＝1. 在△ACD中， 由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos 120°＝1＋4－2×2×1×（－）＝7，所以AC＝. 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝2， 所以BC＝＝＝， 所以sin∠CAB＝＝＝. （2）证明：∠CAB＝∠CAD. 解：（2）证明：由（1）可得CD＝2，AC＝， 在△ACD中，由正弦定理得＝， 所以sin∠CAD＝ ＝＝，且0°＜∠CAD＜60°. 由（1）可得sin∠CAB＝. 又0°＜∠CAB＜90°，所以∠CAB＝∠CAD. 通性通法 　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 【跟踪训练】 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. （1）若sin∠BAC＝，求sin∠BCA； 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCA＝. （2）若AD＝3AC，求AC. 解：（2）设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－（舍去），即AC＝3. 1.在△ABC中，若a＝bsin A，则△ABC一定是（　　） A.锐角三角形　　　　 B.直角三角形 C.钝角三角形　 D.等腰三角形 解析：B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形.故选B. 2.在△ABC中，sin2A＝sin Bsin C，若A＝，则B＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　因为sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝.故选C. 3.已知锐角△ABC的面积为3，AB＝2，BC＝6，则角B的大小为　45°　. 解析：∵S＝BC·AB·sin B＝×6×2×sin B＝3，∴sin B＝，∵△ABC为锐角三角形.∴B＝45°. 4.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为　5（＋1）　m. 解析：法一　∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin 30°＝＝5（＋1）m.∴AB＝ACsin 45°＝5（＋1）m.∴A点离地面的高AB为5（＋1）m. 法二　设AB＝x（m），则BC＝x（m）.∴BD＝（10＋x）m.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5（＋1）.∴A点离地面的高AB为5（＋1）m. 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积为（　　） A.6　 B.6 C.　 D.14 解析：A　由题意得cos A＝＝＝，因为A∈（0，π），所以sin A＝＝，所以S△ABC＝bc·sin A＝×3×8×＝6.故选A. 2.在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，A是锐角，则△ABC是（　　） A.直角三角形　 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形　 D.等边三角形 解析：D　由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C，故△ABC为等边三角形. 3.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（　　） A.5海里/时　 B.5海里/时 C.10海里/时　 D.10海里/时 解析：D　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在Rt△ABC中，可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海里/时.故选D. 4.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD＝（　　） A.2　　 B.2或4　　C.1或2　　 D.5 解析：A　设AD＝x，如图，∠DAC＝∠DAB＝60°.∵AC＝3，AB＝6，且S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，∴×3×6×＝×3x×＋×6x×，解得x＝2.故选A. 5.〔多选〕在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（　　） A.若A＜B，则sin A＜sin B B.若sin A＜sin B，则A＜B C.若A＞B，则＞ D.若A＜B，则cos2A＞cos2B 解析：ABD　由大角对大边知，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得2Rsin A＜2Rsin B，所以sin A＜sin B，故A正确；同理B正确；当A＝120°，B＝30°时，＜0，＞0，故C错误；若A＜B，则sin A＜sin B，sin2 A＜sin2 B，即1－cos2A＜1－cos2B，所以cos2A＞cos2B，故D正确.故选A、B、D. 6.〔多选〕若a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知bsin A＝（3b－c）sin B，且cos A＝，则下列说法正确的是（　　） A.a＋c＝3b B.tan A＝2 C.△ABC的周长为4c D.△ABC的面积为c2 解析：ABD　对于A，由bsin A＝（3b－c）sin B角化边可得ba＝（3b－c）b，所以a＋c＝3b，故A正确；对于B，因为cos A＝，所以sin A＝＝.所以tan A＝＝2，故B正确；对于C，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b，故C错误；对于D，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝b2＋c2－bc，将a＝3b－c代入上式可得b＝c，所以△ABC的面积为bcsin A＝c2，故D正确.故选A、B、D. 7.如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于　5　. 解析：连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 . 8.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔高度为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为　6.6　km.（精确到0.1 km，参考数据：≈1.732） 解析：因为AB＝1 000×＝（km），所以BC＝·sin 30°＝（km），航线离山顶的高度h＝×sin 75°＝×sin（45°＋30°）≈11.4（km），所以山顶的海拔高度约为18－11.4＝6.6（km）. 9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin B－sin C）2＝sin2A－sin Bsin C，则角A的大小为　60°　. 解析：由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. 10.在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D.求证：＝. 证明：在△ABD中利用正弦定理得＝， 在△CBD中利用正弦定理得＝. 因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABD＝∠CBD， 又因为∠ADB＋∠CDB＝180°， 所以sin∠ADB＝sin∠CDB， 所以＝，即＝成立. 11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为（　　） A.16π　 B.8π C.2π　 D.4π 解析：D　因为acos B＋bcos A＝4sin C，所以由正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos A＝，化简得，sin（A＋B）＝，在△ABC中，sin（A＋B）＝sin C，解得R＝2，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝4π.故选D. 12.〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A.在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B B.在锐角△ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立 C.在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析：ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即（a－c）2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.故选A、B、D. 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝　4　，cos C＝　－　. 解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，且△ABC的周长为9，则c＋＝9，解得c＝4.又△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C， 整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，故解得或所以cos C＝＝－. 14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B. （1）求B的大小； （2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值. 解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，又0°＜B＜180°，因此B＝45°. （2）sin A＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝. 故由正弦定理，得a＝b·＝1＋. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， 故c＝b·＝2×＝. 15.如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝. （1）求△ACD的面积； （2）若BC＝2，求AB的长. 解：（1）因为D＝2B，cos B＝， 所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－. 因为D∈（0，π）， 所以sin D＝＝. 因为AD＝1，CD＝3， 所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝. （2）在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12， 所以AC＝2. 在△ABC中，因为BC＝2，＝， 所以＝＝＝， 所以AB＝4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $