第9讲：余弦定理、正弦定理【八大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

本讲义聚焦高中数学余弦定理、正弦定理核心知识点，系统梳理从定理公式及推论，到边角互化、外接圆半径、解三角形判定、面积计算及综合应用的完整知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，典例与变式结合，通过三角形解的个数判定、面积计算等实例，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言表达（模型意识、应用意识），课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第9讲：余弦定理、正弦定理 【考点梳理】 · 考点一：余弦定理解三角形 · 考点二：余弦定理边角互化应用 · 考点三：正弦定理解三角形 · 考点四：正弦定理判定三角形解的个数 · 考点五：正弦定理求外接圆的半径 · 考点六：正弦定理边角互化的应用 · 考点七：三角形面积的应用 · 考点八：正余弦公式的综合应用 【知识梳理】 知识一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 知识点二：　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即＝＝. 知识点三　正弦定理的变形公式 1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径). 知识点四：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识五：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：余弦定理解三角形 【典例1】．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）在中，角的对边分别为，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，的平分线交线段于点，，，则________. 题型二：余弦定理边角互化应用 【典例2】．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2】．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 题型三：正弦定理解三角形 【典例3】．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式1】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．或 D． 题型四：正弦定理判定三角形解的个数 【典例4】．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1），，    （2），， （3），，    （4），， A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 题型五：正弦定理求外接圆的半径 【典例5】．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·陕西·三模）在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 题型六：正弦定理边角互化的应用 【典例6】．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 【变式1】．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【变式2】．（2025·浙江·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：三角形面积的应用 【典例7】．（25-26高一下·江苏南京·月考）设的内角的对边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【变式2】．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型八：正余弦公式的综合应用 【典例8】．（25-26高一下·江苏·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角C； (2)若，求的面积． 【变式1】．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 【变式2】．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足. (1)求角的值； (2)如果，并且，求的周长. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 2．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 3．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高三下·山东·月考）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·河南·月考）记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在中，下列说法正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则 D．若，则 9．（22-23高一下·山东青岛·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C．外接圆的面积为 D．的面积为 10．（23-24高一下·江苏·月考）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 11．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 三、填空题 12．（2025·广东佛山·一模）已知的内角的对边分别为，若，，，则__________. 13．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为_____. 14．（25-26高一下·广西玉林·月考）在，内角的对边分别为，若，则______． 15．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知三个内角，，的对边分别为，，，若，，且为锐角三角形，则面积的最大值为_____. 四、解答题 16．（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，设角所对的边分别为，已知，且的外接圆半径． (1)求的值； (2)若，求的值． 17（23-24高一下·江苏南通·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，求． 18．（24-25高三上·天津北辰·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若. （i）求的值： （ii）求的值. 19．（21-22高三上·天津河西·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 20．（25-26高一下·广西玉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长度； (3)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲：余弦定理、正弦定理 【考点梳理】 · 考点一：余弦定理解三角形 · 考点二：余弦定理边角互化应用 · 考点三：正弦定理解三角形 · 考点四：正弦定理判定三角形解的个数 · 考点五：正弦定理求外接圆的半径 · 考点六：正弦定理边角互化的应用 · 考点七：三角形面积的应用 · 考点八：正余弦公式的综合应用 【知识梳理】 知识一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 知识点二：　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即＝＝. 知识点三　正弦定理的变形公式 1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径). 知识点四：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识五：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：余弦定理解三角形 【典例1】．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）在中，角的对边分别为，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】在中，因为， 可知，所以， 所以A为锐角，可得， 由余弦定理可得， 即，即， 可得. 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 【变式2】．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，的平分线交线段于点，，，则________. 【答案】/ 【分析】先根据的两种计算方式推知，结合等面积法求出，最后根据余弦定理求解. 【详解】由题意，根据三角形的面积公式，， 设，， 即， 则，解得， 再由余弦定理，， 则. 故答案为： 题型二：余弦定理边角互化应用 【典例2】．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 【变式1】．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 题型三：正弦定理解三角形 【典例3】．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 【变式1】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理，可得， 又，故或. 【变式2】．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以. 题型四：正弦定理判定三角形解的个数 【典例4】．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由正弦定理即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，因为，所以. 故选：A 【变式1】．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1），，    （2），， （3），，    （4），， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由正弦定理即可判断（1）（2）；利用余弦定理即可判断（3）（4）. 【详解】对于（1），，，，由正弦定理得， 因为且为锐角，所以只有一解， 对于（2），，，，因为， 所以三角形有两个解； 对于（3），，，， 由余弦定理可得， 则，唯一，所以三角形有唯一解； 对于（4），，，， 由余弦定理可得， 所以唯一，同理唯一，所以三角形有唯一解， 综上，（1）（3）（4）有唯一解，共3个. 【变式2】．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 题型五：正弦定理求外接圆的半径 【典例5】．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果. 【详解】由正弦定理可得，则， 因为，且满足条件的有两个， 所以，且（当时，三角形只有一解）， 此时，则. 故选：B 【变式1】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 【变式2】．（2025·陕西·三模）在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断为等腰梯形，得，由余弦定理求得，再由正弦定理即可求得其外接圆半径. 【详解】 如图，梯形内接于圆，则， 因，则， 故梯形为等腰梯形，则， 所求即的外接圆的半径． 在中，由余弦定理可得 ， 则，又由正弦定理，，即． 故选：B． 题型六：正弦定理边角互化的应用 【典例6】．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】设外接圆的半径为.在中，由余弦定理及题中条件可得，再由余弦定理可得的值，进而可求的值，由正弦定理即可求解外接圆的半径. 【详解】设外接圆的半径为. 在中，由余弦定理及可得，即， 即， 即，即. ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴由正弦定理可得，解得. 故选：A. 【变式1】．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 【变式2】．（2025·浙江·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理、切化弦以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】由及正弦定理可得， 因为，所以，整理得， 所以， 因为，则，由题意知，，故， 因为，因此，. 故选：B. 题型七：三角形面积的应用 【典例7】．（25-26高一下·江苏南京·月考）设的内角的对边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，解得， 因为为三角形内角，所以． 又， 由正弦定理可得， 所以的面积． 【变式1】．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 【变式2】．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 题型八：正余弦公式的综合应用 【典例8】．（25-26高一下·江苏·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角C； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，将角化为边整理可得，再利用余弦定理可得的值； （2）由余弦定理可求出的值，由三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（1）在中，由，得， 得，即， 所以， 又因为，所以. （2）由，所以， 即， 即，则， 所以. 【变式1】．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【详解】（1）因为及正弦定理，得， 而，则， 所以， 即， 因为、，则，所以，可得，故. （2）因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 【变式2】．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，角的对边分别为.三个内角满足. (1)求角的值； (2)如果，并且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用及和差角的正弦公式，可得到，再结合角的范围，即可求出角的值； （2）利用余弦定理及题目条件，即可求出边，进而求出的周长. 【详解】（1）在中，因为， 所以. 因为， 所以， 即， 所以， 即， 又因为是三角形的内角，所以， 所以. （2）由余弦定理可得， 因为，，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），所以， 所以的周长为. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 2．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】C 【详解】的面积， 所以，解得. 因为， 所以角的大小为30°或150°. 3．（25-26高一下·河北邯郸·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 【答案】A 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 因为，所以， 所以，即. 所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 方法二： 因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为等腰直角三角形. 4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，所以. 由余弦定理知，，所以. 由正弦定理得，，则，，. 所以. 5．（25-26高三下·山东·月考）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用二倍角公式及余弦定理角化边，然后因式分解得到为直角三角形，进而求得外接圆半径. 【详解】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 6．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可. 【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去）， 因为是边上的中点即， 所以， 所以. 故选：D 7．（24-25高一下·河南·月考）记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据钝角三角形的性质以及余弦定理求出边的取值范围，再利用向量关系和余弦定理得出关于的表达式，最后根据的取值范围求出的取值范围. 【详解】由是钝角三角形且可得，，故， 由题意知，，故，；由得，，故． 由得，，则， 故，由知，线段BD的取值范围是． 故选：C． 二、多选题 8．（25-26高一下·江苏苏州·月考）在中，下列说法正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于AB：若是锐角三角形，则，即，结合正弦函数单调性及诱导公式即可判断；对于C：结合余弦函数单调性判断即可；对于D：由三角形大角对大边可得若，则，再由正弦定理可得，结合余弦二倍角公式即可判断D. 【详解】对于AB：若是锐角三角形，则，即. 因为，，且正弦函数在上单调递增， 所以，又，所以，故A正确，B错误. 对于C：在中，， 又在上为减函数，故，故C正确. 对于D：由三角形大角对大边可得，若，则， 由正弦定理得，，则， 所以，即，故D正确. 9．（22-23高一下·山东青岛·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ） A． B． C．外接圆的面积为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解. 【详解】解：设的外接圆的半径为, 因为，所以， 所以，则外接圆的面积为. 因为，所以 所以, 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 10．（23-24高一下·江苏·月考）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】AB 【分析】对于A，解出可能的即可；对于B，求出可能的即可；对于C，给出反例即可；对于D，给出反例即可. 【详解】对于A，由余弦定理可知，即. 所以或，经验证和均满足条件，从而的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确； 对于B，由余弦定理可知，即，且经验证符合条件，从而的三边有唯一的取值情况，所以B正确； 对于C，若，则是直角三角形，但，所以C错误； 对于D，若，则不是等腰三角形，但此时由可知，故，所以D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用余弦定理确定三角形的三边取值情况数量，进而确定满足条件的三角形数量. 11．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 【答案】ABCD 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A正确； 对于B，因为，外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 三、填空题 12．（2025·广东佛山·一模）已知的内角的对边分别为，若，，，则__________. 【答案】3 【分析】利用三角函数关系式平方和关系求出，根据三角形面积及已知条件求出的值，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为， 所以， 由，， 所以，解得：， 由余弦定理得： 即， 由，所以， 故答案为：3. 13．（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知角，，所对的边分别，，，已知，若，，则的周长为_____. 【答案】 【分析】由条件可得的值，再由余弦定理可得的值，代入完全平方公式即可得到，从而得到结果. 【详解】因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 则，则， 所以的周长为. 故答案为： 14．（25-26高一下·广西玉林·月考）在，内角的对边分别为，若，则______． 【答案】2 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换公式，化简得到，得到，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得 可得， 所以，即，可得. 15．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知三个内角，，的对边分别为，，，若，，且为锐角三角形，则面积的最大值为_____. 【答案】 【分析】由余弦定理结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，由余弦定理， 由基本不等式可知：，即， 当且仅当时等号成立. 当时，，满足为锐角三角形，由可知. 故答案为：. 四、解答题 16．（25-26高一下·江苏南京·月考）在中，设角所对的边分别为，已知，且的外接圆半径． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)． (2)或 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为的表达式，代入已知等式，通过代数化简直接求出的值； （2）先由正弦定理求出，分和两种情况，结合余弦定理与的条件列方程求解，再由正弦定理得到的所有可能值． 【详解】（1）由正弦定理得，所以，． 又，所以， 所以． （2）由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以或． 由（1）知，． ①当时，， 所以． 因为，所以，所以， 所以． ②当时，， 因为，所以，所以，则， 所以． 综上所述，或 17（23-24高一下·江苏南通·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理得到，得到； （2）设，代入，求出，再由余弦定理得到，进而得到正弦和正切. 【详解】（1）， 故， 因为，所以； （2）设，代入中， ，故，解得， 由余弦定理得， 则， 故. 18．（24-25高三上·天津北辰·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若. （i）求的值： （ii）求的值. 【答案】(1)6 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理即可得到，从而得到，再由二倍角公式以及余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理及， 得 （2）（i）由余弦定理有， （ii）因为，所以， 从而， 则， 19．（21-22高三上·天津河西·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2) ； 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【详解】（1）因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. （2），则. ，则，. 所以. 20．（25-26高一下·广西玉林·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若为中点，，的面积为，求的长度； (3)若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再由两角和与差的正弦公式即可分析求解； （2）先由和余弦定理求出、，再由两边平方即可计算求解； （3）先由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由三角函数性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得； （2）由，可得， 又由余弦定理可得，即，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ， 故； （3）根据正弦定理得， 所以，， 可得 ， 由为锐角三角形可得，解得， 所以，可得，， 所以的周长的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $