9.3.2 第1课时 向量线性运算的坐标表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第1课时　向量线性运算的坐标表示 1 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（数学抽象）. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算及数乘运算（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 “三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信 息，比其他二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达）多提供了一维高 度信息.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标 指示数据.向量也可以利用平面或空间中的坐标来表示，平面向量的坐标 有何运算规律呢？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角 是30°，且｜a｜＝4，以i，j为基底，如何表示向量a？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　向量的坐标表示 　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个 ⁠ i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只 有一对有序实数（x，y），使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对（x，y） 称为向量a的（直角）坐标，记作a＝ ⁠. 　　提醒：（1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a ＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐 标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关. 单位向量　 （x，y）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 对任一平面向量a，是否都有坐标与之对应？向量平移前后其坐标变化 吗？ 提示：都有坐标与之对应，当向量确定以后，向量的坐标唯一确定，因此 向量平移前后，其坐标不变. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　向量线性运算的坐标表示 1. 已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么： （1）a＋b＝ ⁠； （2）a－b＝ ⁠； （3）λa＝ ⁠. 2. 若A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝ － ＝（x2，y2）－ （x1，y1）＝ .即一个向量的坐标等于该向量终点 的坐标减去起点的坐标. （x1＋x2，y1＋y2）　 （x1－x2，y1－y2）　 （λx1，λy1）　 （x2－x1，y2－y1）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法正确的是（　BC　） A. 两个向量的终点不同，则其坐标一定不同 B. 若a＝b，则a，b坐标也相同 C. 求向量的坐标需知道起点、终点的坐标 D. 向量a＝（2，3）比向量b＝（－1，－2）大 BC 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），则向量2a－b的坐标为 （　　） A. （1，5） B. （3，3） C. （0，3） D. （2，1） 解析： 　∵a＝（1，2），b＝（－1，1），∴2a－b＝2（1，2）－ （－1，1）＝（2，4）－（－1，1）＝（3，3）.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知向量 ＝（1，－4）， ＝（2，1）， ＝（m，n），则m ＋n＝ ⁠. 解析：因为 ＝ ＋ ＝（1，－4）＋（2，1）＝（3，－3）＝ （m，n），所以m＝3，n＝－3，则m＋n＝0. 0　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量的坐标表示 【例1】　（链接教科书第30页例1）如图，已知O是坐标原点，点A在第 一象限，｜ ｜＝4 ， ∠xOA＝60°，｜ ｜＝4，∠OAB＝ 120°，四边形OABC为平行四边形. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求向量 ， 的坐标； 解： 设点A（x， y），则x＝OA· cos 60°＝4 × ＝2 ， y＝OA· sin 60°＝4 × ＝6. 即A（2 ，6），∴ ＝（2 ，6）. ∵∠AOC＝180°－120°＝60°，∠AOy＝30°，∴∠COy＝30°. 又∵OC＝｜ ｜＝4，∴C（－2，2 ）， ∴ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求向量 的坐标； 解： ＝－ ＝ . （3）求点B的坐标. 解： ＝ ＋ ＝（2 ，6）＋ ＝（2 －2，6＋ 2 ）. ∴点B的坐标为（2 －2，6＋2 ）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求点和向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的 坐标； （2）求向量坐标时，首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终 点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图，在平面直角坐标系xOy中，｜ ｜＝2｜ ｜＝2，∠OAB＝ ， ＝（－1， ）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）求点B，点C的坐标； 解： 在平面直角坐标系xOy中，设B（xB，yB），因为｜ ｜＝ 2｜ ｜＝2，所以A（2，0）. 又∠OAB＝ ，所以xB＝2＋ cos ＝ ，yB＝0＋ sin ＝ ，所以点B . 又 ＝（－1， ），所以 ＝ ＋ ＝ ＝ ，所以点C . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求向量 ， 的坐标. 解： 由（1）可得， ＝ ， ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量线性运算的坐标表示 【例2】　（链接教科书第31页例2）已知O为坐标原点，点A（－1， 3），B（1，－3），C（4，1），D（3，4）. （1）求向量 ， ， ， 的坐标； 解： ＝（－1，3）， ＝（1，－3）， ＝－ ＝（1，－3）， ＝（3，4）－（4，1）＝（－1，3）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若a＝ ，b＝ ，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标. 解： a＋b＝（－1，3）＋（1，－3）＝（0，0）， a－b＝（－1，3）－（1，－3）＝（－2，6）， 3a＝3（－1，3）＝（－3，9）， 2a＋3b＝2（－1，3）＋3（1，－3）＝（－2，6）＋（3，－9）＝（1， －3）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算 法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进 行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求： （1）2a＋3b； 解： 2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1） ＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）. （2）a－3b； 解： a－3b＝（－1，2）－3（2，1） ＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3） a－ b. 解： a－ b＝ （－1，2）－ （2，1） ＝ － ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜向量坐标运算的应用 【例3】　（链接教科书第32页例4）已知P1（x1， y1）， P2（x2， y2）， P是直线P1P2上一点. （1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； 解： 如图①，由向量的线性运算可知 ＝ （ ＋ ）＝（ ， ）. 所以点P的坐标是（ ， ）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标. 解： 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即 ＝ 或 ＝2 . 如果 ＝ （图②），那么 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝（ ， ）， 即点P的坐标是（ ， ）； 同理，如果 ＝2 （图③），那么点P的坐标是（ ， ）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 应用向量的坐标运算求解平面几何问题的步骤 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图，在▱ABCD中，已知A（－2，1），B（－1，3），C（3， 4），求顶点D的坐标. 解：法一　设顶点D的坐标为（x，y）. 因为 ＝（－1－（－2），3－1）＝（1，2）， ＝（3－x，4－y）， 又 ＝ ，所以（1，2）＝（3－x，4－y）， 即 解得 所以顶点D的坐标为（2，2）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　如图，由向量加法的平行四边形法则可知 ＝ ＋ ＝（－2－（－1），1－3）＋（3－（－1）， 4－3）＝（3，－1）， 而 ＝ ＋ ＝（－1，3）＋（3，－1）＝（2，2）， 所以顶点D的坐标为（2，2）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 相等向量的坐标相同 B. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C. 一个坐标对应唯一的一个向量 D. 平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应 √ √ √ 解析： 　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向 量，故C错误；A、B、D正确.故选A、B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a＝（0，4），b＝（3，6），c＝（－1，6），若c＝λa＋ μb，则λ＋μ＝（　　） A. B. C. － D. － 解析：B　由c＝λa＋μb，知（－1，6）＝λ（0，4）＋μ（3，6）＝ （3μ，4λ＋6μ），所以3μ＝－1，4λ＋6μ＝6，可得μ＝－ ，λ＝ 2，即λ＋μ＝2－ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD 上，且 ＝2 ，则点C的坐标是 ⁠. 解析：设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（ ， ）.由 ＝2 可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故点C的坐 标为（－4，－2）. （－4，－2）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知点A（－1，2），B（2，8）及 ＝ ， ＝－ .求点 C，D和 的坐标. 解：∵A（－1，2），B（2，8）， ∴ ＝（2，8）－（－1，2）＝（3，6）， ＝ ＝（1，2）， ＝－ ＝ ＝（1，2）. 设O为坐标原点， 则 ＝ ＋ ＝（－1，2）＋（1，2）＝（0，4）， ＝ ＋ ＝ － ＝（－1，2）－（1，2）＝（－2，0）. ∴C，D的坐标分别为（0，4），（－2，0）. 因此 ＝ － ＝（－2，0）－（0，4）＝（－2，－4）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在平面直角坐标系中，若 ＝（－3，2）， ＝（3，2），则 ＝ （　　） A. （0，4） B. （6，0） C. （－6，0） D. （6，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　 ＝（3－（－3），2－2）＝（6，0）.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a＝（－2，4），b＝（1，－2），则a与b的关系是（　　） A. 不共线 B. 相等 C. 方向相同 D. 方向相反 解析： 　∵a＝－2b，∴a与b方向相反.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0， 则c＝（　　） A. （－23，－12） B. （23，12） C. （7，0） D. （－7，0） √ 解析： 　由题意可得c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8 －15，－6－6）＝（－23，－12）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（3，5）， ＝（－1， 2），则 ＋ ＝（　　） A. （－2，4） B. （4，6） C. （－6，－2） D. （－1，9） √ 解析： 　在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以 ＝（2，3）.又 ＝（－1，2），所以 ＝ ＋ ＝（1，5）， ＝ － ＝（－3，－1），所以 ＋ ＝（－2，4）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知O为坐标原点，若点M的坐标为（1，2），向量 ＝ （1，2），则（　　） A. 点M与点B重合 B. 点M在直线AB上 C. ＝ D. ＋2 ＝（3，6） √ √ 解析： ＝ ，即 ＝ ，故C正确； ＋2 ＝3 ＝ （3，6），故D正确；点A，B的位置无法确定，故A、B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C 为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　） A. （4，5） B. （8，9） C. （2，－1） D. （3，－1） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所 求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所 以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD， 则有 ＝ ，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝ －1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的 坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 若a＝（2，1），b＝（－3，4），则a＋b＝ ，a－b ＝ ，3a＋4b＝ ⁠. 解析：a＋b＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5），a－b＝（2，1）－ （－3，4）＝（5，－3），3a＋4b＝3（2，1）＋4（－3，4）＝（6， 3）＋（－12，16）＝（－6，19）. （－1，5）　 （5，－3）　 （－6，19）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图所示，若向量e1，e2分别是x轴，y轴方向上的单位向量，则向量 2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为 ⁠. 解析：由题图可知a＝e1＋ ，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝2 ＋ （e1＋3e2）＝3e1＋4e2.所以向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为 （3，4）. （3，4）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一 象限内，∠AOC＝ ，且OC＝2，若 ＝λ ＋μ ，则λ ＝ ，μ＝ ⁠. 解析：由题意，知 ＝（1，0）， ＝（0，1）.设C（x，y），则 ＝（x，y）.∵ ＝λ ＋μ ，∴（x，y）＝λ（1，0）＋μ （0，1）＝（λ，μ）.∴ 又∵∠AOC＝ ，OC＝2，∴λ＝x＝ 2 cos ＝ ，μ＝y＝2 sin ＝1. 　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知A（1，－2），B（2，1），C（3，2）和D（－2，3），以 ， 为一组基底来表示 ＋ ＋ . 解：∵ ＝（1，3）， ＝（2，4）， ＝（－3，5）， ＝（－ 4，2）， ＝（－5，1）， ∴ ＋ ＋ ＝（－3，5）＋（－4，2）＋（－5，1）＝（－12，8）. 根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得 ＋ ＋ ＝m ＋n ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴（－12，8）＝m（1，3）＋n（2，4）， 即（－12，8）＝（m＋2n，3m＋4n）， ∴ 解得 ∴ ＋ ＋ ＝32 －22 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 如果将 ＝（ ， ）绕原点O逆时针方向旋转120°得到 ，则 的坐标是（　　） A. （ － ， ） B. （ ，－ ） C. （－1， ） D. （ － ， ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为 ＝ 所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针 方向旋转120°得到 所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y 轴对称，由此可知B点坐标为 ，故 的坐标是 .故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知向量 ＝（1，－3）， ＝（2，－1）， ＝（m ＋1，m－2），若A，B，C为三角形的顶点，则实数m可以是（　　） A. －2 B. C. 1 D. －1 √ √ √ 解析： 　若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因为 ＝ － ＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2）， ＝ － ＝（m ＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假设A，B，C三点共线， 则 ＝λ ，即（m，m＋1）＝λ（1，2），即λ＝m＝1.所以只要 m≠1，A，B，C三点即可作为三角形的顶点.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向 量a，b，c满足c＝xa＋yb（x，y∈R），则x＋y＝ ⁠. 　 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝ （1，2），b＝（2，－3），c＝（3，4）.∵c＝xa＋yb， ∴ 解得 ∴x＋y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知点A（2，3），B（5，4）， ＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若 ＝ ＋ ，试求λ为何值时： （1）点P在第一、三象限的角平分线上； （1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ . 解：设点P的坐标为（x，y）， 则 ＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3）， ＋ ＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ） ＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）. ∵ ＝ ＋ ，且 与 不共线， ∴ 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）点P在第三象限内. 解：若点P在第三象限内，则 ∴λ＜－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知向量u＝（x，y）与向量v＝（y，2y－x）的对应关系用v＝f （u）表示. （1）设a＝（1，1），b＝（1，0），求向量f（a）与f（b）的坐标； 解： ∵a＝（1，1），b＝（1，0）， ∴f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝ （0，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求使f（c）＝（p，q）（p，q为常数）的向量c的坐标； 解： 设c＝（a，b），则f（c）＝（b，2b－a）＝（p，q）， ∴ ∴ ∴c＝（2p－q，p）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）证明：对任意的向量a，b及常数m，n恒有f（ma＋nb）＝mf （a）＋nf（b）成立. 解： 证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）， 则ma＋nb＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2）， ∴f（ma＋nb）＝（ma2＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）. ∵mf（a）＝m（a2，2a2－a1），nf（b）＝n（b2，2b2－b1）， ∴mf（a）＋nf（b）＝m（a2，2a2－a1）＋n（b2，2b2－b1）＝（ma2 ＋nb2，2ma2＋2nb2－ma1－nb1）. ∴f（ma＋nb）＝mf（a）＋nf（b）成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $