9.2.2 第1课时 向量的线性运算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第1课时　向量的线性运算 1 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义（数学抽象）. 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义（数学运算）. 3.理解两个向量共线的含义（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂 蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟 的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的 向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？ 【问题】　（1）在相反方向上经过4 s的位移所对应的向量应该怎样表 示呢？ （2）类比实数的运算“a＋a＋a＋a＝4a”你能猜想实例中a＋a＋a＋ a的结果吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　向量的数乘 1. 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，实数λ与向量a相 乘的运算叫作向量的数乘. 规定：（1）｜λa｜＝｜λ｜｜a｜； （2）若a≠0，则 ①当 时，λa与a方向相同； ②当 时，λa与a方向相反； ③当 时，0a＝0； λ＞0　 λ＜0　 λ＝0　 （3）当a＝0时，λ0＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 向量数乘λa的几何意义 当λ＞0时，把向量a沿着a的 方向放大或缩小；当λ＜0时，把 向量a沿着a的 方向放大或缩小. 相同　 相反　 3. 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，那么： （1）λ（μ a）＝ ⁠； （2）（λ＋μ）a＝ ⁠； （3）λ（a＋b）＝ ⁠. 　　提醒：当a≠0时，向量 是与向量a同向的单位向量. （λμ）a　 λa＋μ a　 λa＋λb　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是　　（　　） A. 4a与－4a的模相等 B. a与－λa的方向相反 C. λ（a－b）＝λa－λb D. 若λa＝0，则a＝0 解析： 　A中，由｜λa｜＝｜λ｜｜a｜得，｜4a｜＝｜4｜｜a｜＝ 4｜a｜，｜－4a｜＝｜－4｜｜a｜＝4｜a｜，故A正确；B中，当λ＜0 时，a与－λa的方向相同，故B错误；C中，由数乘运算的分配律得C正 确；D中，若λa＝0，则a＝0或λ＝0，故D错误.故选A、C. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在△ABC中，D是BC的中点，则 ＋ ＝（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 解析： 　由题意 ＝－ ， ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝2 ，故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 化简：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝ ⁠. 解析：2（3a－2b）＋3（a＋5b）－5（4b－a）＝6a－4b＋3a＋15b －20b＋5a＝14a－9b. 14a－9b　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量的数乘及其几何意义 【例1】　〔多选〕已知λ，μ∈R，则下列命题正确的是（　　） A. λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B. λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C. λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D. λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A、B，由向量数乘的定义知，当λ＞0时，λa与a方 向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反，故A、B正确；对于C、D，当 λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与 a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中， 一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C正确，D错误.故选 A、B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　λ的正负决定向量λa（a≠0）的方向，λ的大小决定λa的模. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　〔多选〕已知a，b为非零向量，则（　　） A. 2a的方向与a的方向相同 B. 2a的模是a的模的2倍 C. －2a与2a是一对相反向量 D. a－b与－（b－a）是一对相反向量 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，2a＝a＋a与a方向相同，故A正确；对于B，｜ 2a｜＝｜a＋a｜＝｜a｜＋｜a｜＝2｜a｜，故B正确；对于C，∵－2a ＋2a＝（－2＋2）a＝0，∴－2a与2a是一对相反向量，故C正确；对于 D，∵－（b－a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向 量，∴－（b－a）与a－b是相等向量，故D错误.故选A、B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜向量的线性运算的几何作图 【例2】　（链接教科书第17页例1）如图，已知向量a，b，求作向量3a －2b. 解：法一　如图①，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝2b，连接 BA，则 ＝ － ＝3a－2b. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　如图②，在平面内任取一点O，作 ＝3a， ＝－2b，连接 OB，则 ＝ ＋ ＝3a＋（－2b）＝3a－2b. 法三　如图③，在平面内任取 一点O，作 ＝3a， ＝ －2b，分别以OA，OC为邻 边作▱OABC，▱OABC的对 角线记作OB，则向量 为所求作的向量. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　向量的加法、减法、数乘是向量的基本运算，不仅要掌握其运算法 则，更要理解其几何意义.在作向量的差时，可以把“差”转换成“和” 来作. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋ c. 解：法一　如图①，由向量的加法可知，向量 ＝3a－2b＋ c. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　如图②，作 ＝3a， ＝－2b， ＝ c，分别以AB， AC为 邻边作▱ABDC， 以▱ABDC的对角线AD及AE为邻边作▱AEFD，则向量 ＝3a－2b＋ c. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜向量的线性运算 【例3】　（1）（链接教科书第17页例2）计算： ①3（a＋b）－2（a－2b）； ②（2a＋3b－c）－2（3a－2b＋c）. 解： ①原式＝3a＋3b－2a＋4b＝a＋7b. ②原式＝2a＋3b－c－6a＋4b－2c＝－4a＋7b－3c. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）（链接教科书第18页练习第5题）已知向量a＝i＋2j，b＝3i－5j， 求5a－3b（用i，j表示）. 解： 5a－3b＝5（i＋2j）－3（3i－5j） ＝5i＋10j－9i＋15j ＝－4i＋25j. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 向量线性运算的基本方法技巧 （1）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类 项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量或向 量前的实数，实数可看成是向量的系数； （2）向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用解代 数方程的方法求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），则x＝ ⁠ ⁠. 解析：因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x ＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c. 2. 已知向量e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝3e1＋e2，b＝2e1－e2， 求 a－2b（用e1，e2表示）. 解： a－2b＝ （3e1＋e2）－2（2e1－e2）＝－3e1＋ e2. －8a＋9b－ 3c　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知λ∈R，则下列结论中正确的是（　　） A. ｜λa｜＝λ｜a｜ B. ｜λa｜＝｜λ｜a C. ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ D. ｜λa｜＞0 解析： 当λ＞0时，λa方向与a方向相同，大小等于λ｜a｜；当λ ＜0时，λa方向与a方向相反，大小等于｜λ｜｜a｜，所以｜λa｜ ＝｜λ｜｜a｜，故A、B错误，C正确；｜λa｜≥0，故D错误.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列运算正确的是（　　） A. （－3）·2a＝－6a B. 2（a＋b）－（2b－a）＝3a C. a－2b＋2（a＋b）＝3a D. （a＋2b）－（2b＋a）＝0 解析： 根据向量数乘运算和加减运算规律知A、B、C正确；D中， （a＋2b）－（2b＋a）＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，故 D错误.故选A、B、C. √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若 ＋ ＝λ ，则λ＝ ⁠. 解析：在平行四边形ABCD中， ＝ ＋ ＝2 ，所以λ＝2. 2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知在任意四边形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点.求证： ＝ （ ＋ ）. 证明：因为E是AD的中点，F是BC的中点， 所以 ＝－ ， ＝－ ， 所以 2 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ， 所以 ＝ （ ＋ ）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 3（a＋b）－2（a－b）－a＝（　　） A. 5a B. －5a C. 5b D. －5b 解析： 　根据向量运算公式可知，3（a＋b）－2（a－b）－a＝3a＋ 3b－2a＋2b－a＝5b.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知 ＝ ， ＝λ ，则实数λ＝（　　） A. 4 B. －4 C. 3 D. －3 解析： 　∵ ＝ － ，∴ ＝ ＝ （ － ），即 ＝ －3 ，∴λ＝－3.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·泰州中学期中）如图，向量a－b＝（　　） A. e1－3e2 B. －4e1－2e2 C. －2e1－3e2 D. －e1＋3e2 解析： 　如图，设a＝ ，b＝ ，所以a－b＝a＋ （－b）＝ ＋ ＝ ＝－e1＋3e2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 在△ABC中， ＝3 ，则3 ＝（　　） A. ＋4 B. －4 C. 4 － D. －4 解析： 　3 ＝3（ ＋ ）＝3（ ＋ ）＝3 ＋4 ＝3 ＋4（ － ）＝4 － .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是（　　） A. m（a－b）＝ma－mb B. （m－n）a＝ma－na C. 若ma＝mb，则a＝b D. 若ma＝na，则m＝n 解析： 　m（a－b）＝ma－mb，A正确；（m－n）a＝ma－na， B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，C错误；若a＝0，则m，n不一定 相等，D错误.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则 － ＝（　　） A. B. C. D. √ √ 解析： 　如图， － ＝ － ＝ ＝ ＝ .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在△ABC中，点E在线段BC上，且 ＝3 ，则 ＝ ⁠ ⁠. 解析：在△ABC中，由 ＝3 ，得 － ＝3（ － ），则3 ＝2 ＋ ，所以 ＝ ＋ . ＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 计算： （a－b）－ （2a＋4b）＋ （2a＋13b）＝ ⁠. 解析：原式＝ a－ b－ a－ b＋ a＋ b＝（ － ＋ ）a＋（－ － ＋ ）b＝0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在△ABC中， ＝c， ＝b，点M满足 ＝λ （0＜λ＜1）， 若 ＝ b＋ c，则λ的值为 　 　. 解析：由题意得， ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ － ） ＝λ ＋（1－λ） ＝λb＋（1－λ）c＝ b＋ c.所以λ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 计算： （1）6（3a－2b）＋9（－2a＋b）； 解： 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. （2）6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）. 解： 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝（6a－4a＋4a）＋（8b－6b）＋（6c－4c－2c） ＝6a＋2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点， ＝a， ＝b， ＝c，则b＋c－a＝（　　） A. B. C. 0 D. 解析： 　b＋c－a＝－ ＋ － ＝－（ ＋ ） ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使 ＋ ＝0成立的条件是（　　） A. a＝－2b B. a＝2b C. a＝b D. a＝－b √ √ 解析： 　因为与a同向的单位向量为 ，与b同向的单位向量为 ，若 ＋ ＝0，则a，b方向相反.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 若2（y－ a）－ （c＋b－3y）＋b＝0，其中a，b，c为已知向 量，则未知向量y＝ ⁠. 解析：将原等式变形为2y－ a－ c－ b＋ y＋b＝0，即 y－ a－ c ＋ b＝0， y＝ a－ b＋ c，∴y＝ （ a－ b＋ c）＝ a－ b＋c. a－ b＋ c　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足 ＝e＋2f， ＝－4e－f， ＝－5e－3f. （1）用e，f表示 ； 解： 由题意，有 ＝ ＋ ＋ ＝（e＋2f）＋（－4e－f） ＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）证明四边形ABCD为梯形. 解： 证明：由（1）知 ＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2 ，即 ＝2 . 根据向量数乘的定义， 与 同方向，且 的长度为 的长度的2 倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD 为梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，E为AC边的中 点，O在线段DE上，且满足 ＋2 ＋3 ＝0，DO＝2，求AB的长. 解：如图，因为 ＋2 ＋3 ＝（ ＋ ）＋2 （ ＋ ）＝2 ＋4 ＝0， 所以 ＝2 ，所以DE＝3DO. 又由题意知AB＝2DE，所以AB＝6DO＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $