9.1 向量概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

9.1　向量概念 1 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.了解平面向量共线和向量相同的含义（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 把木块放置在光滑的斜面上，斜面上的木块受到两个力的 影响：重力G和斜面的支持力N. 木块在重力与支持力的 合力作用下，会沿着斜面向下运动，产生位置的变化，物 理上用“位移”来刻画这种变化. 【问题】　（1）物理中，位移和距离这两个量有什么不同？ （2）你能举出一些既有大小又有方向的量吗？有没有只有大小没有方向 的量？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　向量的概念及表示 1. 向量的概念 （1）向量：既有 又有 的量； （2）数量：只有大小没有方向的量. 　　提醒：（1）数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大 小，如长度、质量、面积、体积等都是数量；（2）向量既有大小又有方 向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小. 大小　 方向　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）有向线段：具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起 点、方向、长度，如图所示. （2）向量的表示 ①几何表示：向量常用一条 来表示，有向线段的长度表示向 量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量 记为 .向量 的大小称为向量的 （或称为 ），记 作 ⁠； ②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示（印刷用粗体a，b， c，书写用 ， ， ）. 2. 向量的表示 有向线段　 　 长度　 模　 ｜ ｜　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）向量不能比较大小，但向量的模能比较大小；（2）有向 线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段.一条有向线段对应 着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为0的向量，记作 ⁠ 单位向量 长度等于 ⁠长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向 的非零向量；向量a与向量b平 行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量 ⁠ 0　 1个单位　 相同或相反　 平行　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 特殊向量 定义 相等向量 长度 且方向 的向量；向量a与b相 等，记作a＝b 相反向量 与向量a长度 ，方向 的向量叫作a的 相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：对任意一个向量a，总有－（－a）＝a 相等　 相同　 相等　 相反　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1.0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不相同，0是实数，0是向量，有方向.0的方向是任意的. 2. 若a∥b，b∥c，则a与c一定平行吗？ 提示：不一定.当b＝0时，a与c不一定平行，因为0与任何向量平行. 3. 相等向量一定是共线向量吗？反之是否成立？ 提示：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　两个向量的夹角 1. 定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角（如 图）. 2. 当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向；当θ ＝ 时，则称向量a与b垂直，记作 ⁠. 0°　 180°　 90°　 a⊥b　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路 程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解析： 　质量、路程、密度、功只有大小，没有方向，所以是数量，不 是向量. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 平行向量的方向相同或相反 B. 零向量的模为1 C. 向量 与向量 是相反向量 D. 与非零向量a共线的单位向量是唯一的 解析： 　对于A，平行向量的方向相同或相反，故A正确；对于B，零 向量的模为0，故B错误；对于C，向量 与向量 长度相等，方向相 反，向量 与向量 是相反向量，故C正确；对于D，与非零向量a共线 的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向，故D错误.故选A、C. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，在四边形ABCD中，若 ＝ ，则图中相等的向量是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析： 　对于A，由 ＝ ，可得四边形ABCD为平行四边形. 与 互为相反向量，故A错误；对于B， 与 互为相反向量，故B错 误；对于C， 与 满足相等向量的定义，故C正确；对于D， 与 方向不同不满足相等向量的定义，故D错误.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜向量的有关概念 【例1】　〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. 若a，b都是单位向量，则a＝b B. 物理学中作用力与反作用力是一对共线向量 C. 方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 D. 直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量 √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 对于A，单位向量的方向不一定相同，故 A错误；对于B，物理学中的作用力与反作用力大小 相等，方向相反，是一对共线向量，故B正确；对于 C，如图所示，方向为南偏西60°的向量与北偏东 60°的向量在一条直线上，是共线向量，故C正确；对于D，直角坐标平面上的x轴，y轴只有方向，没有大小，不是向量，故D错误.故选B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决与向量概念有关问题的方法 　　解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度， 如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相同向量的核心 是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一 个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A. 若｜a｜＝｜b｜，则a＝b B. 若a＝b，则a∥b C. 若｜a｜＞｜b｜，则a＞b D. 若｜a｜＝0，则a＝0 √ √ 解析： 　对于A，若｜a｜＝｜b｜，则a，b方向不一定相同，即两向 量不一定相等，故A错误；对于B，a＝b，则a∥b，故B正确；对于C， a与b不能比较大小，故C错误；对于D，｜a｜＝0，则a＝0，故D正确. 故选B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜共线向量与相等（相反）向量 【例2】　（链接教科书第6页例1）如图，已知点O是正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中： （1）写出与 共线的向量； 解： 与 共线的向量有 ， ， . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）写出与 的模相等的向量； 解： 与 的模相等的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . （3）写出与 相等的向量； 解： 与 长度相等且方向相同，则 ＝ . （4） 与 相等吗？ 解： 虽然 // ，且｜ ｜＝｜ ｜，但它们方向相反，所以 这两个向量不相等. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，试写出 的相反向量. 解： 的相反向量有 ， . 2. （变条件，变设问）在本例中，若｜ ｜＝1，则正六边形的边长 是多少？ 解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝｜ ｜ ＝1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 寻找共线向量或相等（相反）向量的方法 （1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线 段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段 的终点为起点，起点为终点的向量； （2）寻找相等（相反）向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等 的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同（相反）的向量. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. （1）与向量 相等的向量为 ，其相反向量为 ⁠ ⁠； 解析： 在平行四边形ABCD和ABDE中，∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ，∴与向量 相等的向量为 ， .同理， 的相反向量 为 ， ， . ， 　 ， ， 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若｜ ｜＝3，则｜ ｜＝ ⁠. 解析： 由（1）知， ＝ ，∴E，D，C三点共线，∴｜ ｜ ＝｜ ｜＋｜ ｜＝2｜ ｜＝6. 6　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜向量的表示及应用 【例3】　（链接教科书第7页例2）在图中的3×4方格纸中有一个向量 （小正方形的边长为1），分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中： （1）与 相等的向量有多少个？ 解： 当向量 的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与 相等的向量. 这样的格点共有6个，除去点A外，还有5个，所以共有5个向量与 相等. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）与 长度相等的共线向量有多少个（ 除外）？ 解： 与 长度相等的共线向量（除 外）共有5×2＋1＝11 （个）. （3）与 平行且模为 的向量有多少个？ 解： 每个小正方形的边长为1，则对角线长为 ， 每个小正方形中存在两个与 平行且模为 的向量，一共有12个正 方形， 故与 平行且模为 的向量共有24个. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用有向线段表示向量的步骤 （1）定起点：先确定向量的起点； （2）定方向：再确定向量的方向； （3）定终点：有了起点和方向，结合向量的长度确定向量的终点. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏 东30°方向行驶2 km到D地，然后从D地沿北偏东 60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30° 方向行驶2 km才到达B地. （1）在图中作出 ， ， ， ； 解： 向量 ， ， ， ，如图所示. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求B地相对于A地的位置. 解： 由题意知 ＝ ，∴AD＝BC，AD∥BC， 则四边形ABCD为平行四边形，∴ ＝ ， 则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，距离为6 km”. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜向量的夹角 【例4】　已知平行四边形ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜， 且向量 与 的夹角为60°.求： （1） 与 的夹角； 解： 因为平行四边形ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜，所以该平行四 边形为菱形. 又由题意知∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形， 故向量 与 的夹角为∠BAC＝30°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） 与 的夹角. 解：向量 与 的夹角大小与∠BDC相等. 又∠BDC＝∠ABD＝60°，故向量 与 的夹角为60°. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求向量的夹角 　　求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作 两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝ AB，则 与 的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　如图，作向量 ＝ ，则∠BAD是 与 的夹 角.在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝ AB，所以 ∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即 与 的夹角为 120°.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（　　） A. ＝ B. ｜ ｜＝｜ ｜ C. 与 共线 D. ＞ √ 解析： 对于A， ≠ ，故A错误；对于B，｜ ｜＝｜ ｜，故 B正确；对于C， 与 不共线，故C错误；对于D，向量不能比较大 小，故D错误.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕下列结论中，正确的是（　　） A. 若 ＝ ，则 ∥ B. 向量 ， 共线与 ∥ 的意义是相同的 C. 平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量 D. 若 ＝ ，则 ＝ √ √ √ 解析： 　C中，平行四边形两对边所表示的向量也可能方向相反，故C 错误，A、B、D都正确.故选A、B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·宿迁月考）设O是△ABC的外心，则 ， ， 是（　　） A. 有相同起点的向量 B. 相等向量 C. 模相等的向量 D. 平行向量 解析： 　因为O是△ABC的外心，所以｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜， 则 ， ， 是模相等的向量.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终 点，可以写出 个向量. 解析：由向量的表示方法知，可以写出12个向量，它们分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 12　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. （2025·南通期中）下列命题正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 任一向量与它的相反向量不相等 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 模为0的向量与任意非零向量共线 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单位 向量不一定相等，故A错误；对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错 误；对于C，平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量 为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在锐角△ABC中，下列说法正确的是（　　） A. 与 的夹角是锐角 B. 与 的夹角是锐角 C. 与 的夹角是钝角 D. 与 的夹角是锐角 解析： 　由两向量的夹角的定义知， 与 的夹角等于180°－ ∠ABC， 与 的夹角等于∠BAC， 与 的夹角等于∠ACB， 与 的夹角等于180°－∠ACB，因为△ABC为锐角三角形，所以只有B 正确.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是 （　　） A. a0＝b0 B. a0＝－b0 C. a0∥b0 D. ｜a0｜＋｜b0｜＝2 解析： 　单位向量的模长为1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正确；a0，b0 分别与a，b同向，而a，b方向不确定，A、B、C错误，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. （2025·泰州质检）在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且 ＝ ， ＝ ，｜ ｜＝｜ ｜，则四边形ABCD的形状为（　　） A. 正方形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 解析： 　由 ＝ ， ＝ ，｜ ｜＝｜ ｜，知四边形ABCD 的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD为矩形.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕下列能使a∥b成立的是（　　） A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜ C. a与b方向相反 D. ｜a｜＝0或｜b｜＝0 √ √ √ 解析： 　对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以 a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而方向不确定， 因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此 若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以 若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 若a≠b，则a，b一定不共线 B. 在▱ABCD中，一定有 ＝ C. 若a＝b，b＝c，则a＝c D. 共线向量是在一条直线上的向量 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或 相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在▱ABCD中，｜ ｜＝｜ ｜， 与 平行且方向相同，所以 ＝ ，故B正确. 对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；b＝c，则｜b｜ ＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故 C正确.对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线 互相平行的向量，故D不正确.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 给出下列命题：①若｜a｜＝0，则 a＝0；②若｜a｜＝｜b｜，则a＝ －b；③若a∥b，则｜a｜＝｜b｜.其中，正确的命题个数有 ⁠. 解析：①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等与两个向 量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能说明它们的长度相等，它们的方向并 不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它 们的模相等. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， 则图中 的相反向量为 ⁠. 解析：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC且DE＝ BC. ∴｜ ｜＝｜ ｜且方向相反.｜ ｜＝｜ ｜且方向相 反.∴ 的相反向量为 ， ， . ， ， 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量 与 的夹角为 ⁠. 解析：∵∠B＝45°，∴ 与 的夹角为135°. 135°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点. （1）写出图中所示向量与向量 长度相等的向量； 解： 与 长度相等的向量是 ， ， ， ， ， ， ， . （2）分别写出图中所示向量与向量 ， 共线的向量； 解： 与 共线的向量是 ， ， ； 与 共线的向量是 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）求 与 ， 与 的夹角的度数. 解： 因为△ABC为正三角形， 与 的夹角为 ∠ABC，故 与 的夹角为60°， 与 的夹角为 ∠AFD的补角，故 与 的夹角为120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 〔多选〕在下列结论中正确的有（　　） A. a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件 B. a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要条件 C. a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件 D. a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 若a＝b， 则a与b方向相同，模相等，所以A、C正确；对 于B，由a≠b⇒/｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜⇒a≠b，所以a≠b 是｜a｜≠｜b｜的必要不充分条件，故B错误；对于D，由a与b方向相 反，可以推出a≠b，也可由｜a｜≠｜b｜推出a≠b，则a与b方向相反 或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分条件，但反过来不一定成立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量 是平行向量，与 是共线向量，则m＝ ⁠. 解析：向量m与向量 是平行向量，则向量m与向量 方向相同或相 反；向量m与 是共线向量，则向量m与向量 方向相同或相反.由 A，B，C是不共线的三点，可知向量 与向量 方向不同且不共线， 则m＝0. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，C为半圆上一点，且 ∠OCB＝30°，则向量 与 的夹角为 ⁠. 解析：易知∠ABC＝∠OCB＝30°，所以∠COA＝60°，又因为向量 与 的夹角为∠COA的补角，所以向量 与 的夹角为120°. 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个 定点A，B. 点C为小正方形的顶点，且｜ ｜＝ . （1）画出所有的向量 ； 解： 画出所有的向量 ，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求｜ ｜的最大值与最小值. 解： 由（1）所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，｜ ｜取得最小值 ＝ ； ②当点C位于点C5或C6时，｜ ｜取得最大值 ＝ . 所以｜ ｜的最大值为 ，最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在 巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求： （1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； 解： 画出示意图，如图所示，易得所求 路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70 n mile. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.（参考数据： sin 53°≈0.8） 解： 巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有 方向，其大小为｜ ｜＝ ＝50（n mile）， 由于 sin ∠BAC＝ ，故方向约为北偏东53°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $