9.1 向量概念(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.1　向量概念 课标要求 1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景（数学抽象）. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素（直观想象）. 3.了解平面向量共线和向量相同的含义（数学抽象）. 把木块放置在光滑的斜面上，斜面上的木块受到两个力的影响：重力G和斜面的支持力N.木块在重力与支持力的合力作用下，会沿着斜面向下运动，产生位置的变化，物理上用“位移”来刻画这种变化. 【问题】　（1）物理中，位移和距离这两个量有什么不同？ （2）你能举出一些既有大小又有方向的量吗？有没有只有大小没有方向的量？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　向量的概念及表示 1.向量的概念 （1）向量：既有　大小　又有　方向　的量； （2）数量：只有大小没有方向的量. 　　提醒：（1）数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等都是数量；（2）向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小. 2.向量的表示 （1）有向线段：具有方向的线段叫作有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. （2）向量的表示 ①几何表示：向量常用一条　有向线段　来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.以A为起点、B为终点的向量记为　　.向量的大小称为向量的　长度　（或称为　模　），记作　｜｜　； ②字母表示：向量也可用小写字母a，b，c来表示（印刷用粗体a，b，c，书写用，，）. 　　提醒：（1）向量不能比较大小，但向量的模能比较大小；（2）有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段. 知识点二　几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为0的向量，记作　0　 单位向量 长度等于　1个单位　长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向　相同或相反　的非零向量；向量a与向量b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量　平行　 特殊向量 定义 相等向量 长度　相等　且方向　相同　的向量；向量a与b相等，记作a＝b 相反向量 与向量a长度　相等　，方向　相反　的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量. 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：对任意一个向量a，总有－（－a）＝a 【想一想】 1.0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不相同，0是实数，0是向量，有方向.0的方向是任意的. 2.若a∥b，b∥c，则a与c一定平行吗？ 提示：不一定.当b＝0时，a与c不一定平行，因为0与任何向量平行. 3.相等向量一定是共线向量吗？反之是否成立？ 提示：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等. 知识点三　两个向量的夹角 1.定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角（如图）. 2.当θ＝　0°　时，a与b同向；当θ＝　180°　时，a与b反向；当θ＝　90°　时，则称向量a与b垂直，记作　a⊥b　. 1.给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（　　） A.3个　　 B.4个　　　C.5个　　 D.6个 解析：B　质量、路程、密度、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量. 2.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.平行向量的方向相同或相反 B.零向量的模为1 C.向量与向量是相反向量 D.与非零向量a共线的单位向量是唯一的 解析：AC　对于A，平行向量的方向相同或相反，故A正确；对于B，零向量的模为0，故B错误；对于C，向量与向量长度相等，方向相反，向量与向量是相反向量，故C正确；对于D，与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向，故D错误.故选A、C. 3.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是（　　） A.与　　 B.与 C.与　 D.与 解析：C　对于A，由＝，可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量，故A错误；对于B，与互为相反向量，故B错误；对于C，与满足相等向量的定义，故C正确；对于D，与方向不同不满足相等向量的定义，故D错误.故选C. 题型一｜向量的有关概念 【例1】　〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.若a，b都是单位向量，则a＝b B.物理学中作用力与反作用力是一对共线向量 C.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 D.直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量 解析：BC　对于A，单位向量的方向不一定相同，故A错误；对于B，物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，故B正确；对于C，如图所示，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故C正确；对于D，直角坐标平面上的x轴，y轴只有方向，没有大小，不是向量，故D错误.故选B、C. 通性通法 解决与向量概念有关问题的方法 　　解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相同向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0. 【跟踪训练】 〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b B.若a＝b，则a∥b C.若｜a｜＞｜b｜，则a＞b D.若｜a｜＝0，则a＝0 解析：BD　对于A，若｜a｜＝｜b｜，则a，b方向不一定相同，即两向量不一定相等，故A错误；对于B，a＝b，则a∥b，故B正确；对于C，a与b不能比较大小，故C错误；对于D，｜a｜＝0，则a＝0，故D正确.故选B、D. 题型二｜共线向量与相等（相反）向量 【例2】　（链接教科书第6页例1）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中： （1）写出与共线的向量； 解：（1）与共线的向量有，，. （2）写出与的模相等的向量； 解：（2）与的模相等的向量有，，，，，，，，，，. （3）写出与相等的向量； 解：（3）与长度相等且方向相同，则＝. （4）与相等吗？ 解：（4）虽然//，且｜｜＝｜｜，但它们方向相反，所以这两个向量不相等. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，试写出的相反向量. 解：的相反向量有，. 2.（变条件，变设问）在本例中，若｜｜＝1，则正六边形的边长是多少？ 解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝｜｜＝1. 通性通法 寻找共线向量或相等（相反）向量的方法 （1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量； （2）寻找相等（相反）向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同（相反）的向量. 【跟踪训练】 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. （1）与向量相等的向量为　，　，其相反向量为　，，　； 解析：（1）在平行四边形ABCD和ABDE中，∵＝，＝，∴＝，∴与向量相等的向量为，.同理，的相反向量为，，. （2）若｜｜＝3，则｜｜＝　6　. 解析：（2）由（1）知，＝，∴E，D，C三点共线，∴｜｜＝｜｜＋｜｜＝2｜｜＝6. 题型三｜向量的表示及应用 【例3】　（链接教科书第7页例2）在图中的3×4方格纸中有一个向量（小正方形的边长为1），分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中： （1）与相等的向量有多少个？ 解：（1）当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量. 这样的格点共有6个，除去点A外，还有5个，所以共有5个向量与相等. （2）与长度相等的共线向量有多少个（除外）？ 解：（2）与长度相等的共线向量（除外）共有5×2＋1＝11（个）. （3）与平行且模为的向量有多少个？ 解：（3）每个小正方形的边长为1，则对角线长为， 每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形， 故与平行且模为的向量共有24个. 通性通法 用有向线段表示向量的步骤 （1）定起点：先确定向量的起点； （2）定方向：再确定向量的方向； （3）定终点：有了起点和方向，结合向量的长度确定向量的终点. 【跟踪训练】 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2 km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2 km才到达B地. （1）在图中作出，，，； 解：（1）向量，，，，如图所示. （2）求B地相对于A地的位置. 解：（2）由题意知＝，∴AD＝BC，AD∥BC， 则四边形ABCD为平行四边形，∴＝， 则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，距离为6 km”. 题型四｜向量的夹角 【例4】　已知平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜，且向量与的夹角为60°.求： （1）与的夹角； 解：（1）因为平行四边形ABCD中，｜｜＝｜｜，所以该平行四边形为菱形. 又由题意知∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形， 故向量与的夹角为∠BAC＝30°. （2）与的夹角. 解：（2）向量与的夹角大小与∠BDC相等. 又∠BDC＝∠ABD＝60°，故向量与的夹角为60°. 通性通法 求向量的夹角 　　求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 【跟踪训练】 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角为（　　） A.30°　 B.60° C.120°　 D.150° 解析：C　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角.在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角为120°.故选C. 1.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（　　） A.＝ B.｜｜＝｜｜ C.与共线 D.＞ 解析：B　对于A，≠，故A错误；对于B，｜｜＝｜｜，故B正确；对于C，与不共线，故C错误；对于D，向量不能比较大小，故D错误.故选B. 2.〔多选〕下列结论中，正确的是（　　） A.若＝，则∥ B.向量，共线与∥的意义是相同的 C.平行四边形两对边所表示的向量一定是相等向量 D.若＝，则＝ 解析：ABD　C中，平行四边形两对边所表示的向量也可能方向相反，故C错误，A、B、D都正确.故选A、B、D. 3.（2025·宿迁月考）设O是△ABC的外心，则，，是（　　） A.有相同起点的向量　 B.相等向量 C.模相等的向量　 D.平行向量 解析：C　因为O是△ABC的外心，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，则，，是模相等的向量.故选C. 4.如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出　12　个向量. 解析：由向量的表示方法知，可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，. 1.（2025·南通期中）下列命题正确的是（　　） A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.平行向量不一定是共线向量 D.模为0的向量与任意非零向量共线 解析：D　对于A，单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B，零向量与它的相反向量相等，故B错误；对于C，平行向量一定是共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确.故选D. 2.在锐角△ABC中，下列说法正确的是（　　） A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 解析：B　由两向量的夹角的定义知，与的夹角等于180°－∠ABC，与的夹角等于∠BAC，与的夹角等于∠ACB，与的夹角等于180°－∠ACB，因为△ABC为锐角三角形，所以只有B正确.故选B. 3.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A.a0＝b0　 B.a0＝－b0 C.a0∥b0　 D.｜a0｜＋｜b0｜＝2 解析：D　单位向量的模长为1，故｜a0｜＋｜b0｜＝2，故D正确；a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，A、B、C错误，故选D. 4.（2025·泰州质检）在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且＝，＝，｜｜＝｜｜，则四边形ABCD的形状为（　　） A.正方形　 B.梯形 C.菱形　 D.矩形 解析：D　由＝，＝，｜｜＝｜｜，知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD为矩形.故选D. 5.〔多选〕下列能使a∥b成立的是（　　） A.a＝b　 B.｜a｜＝｜b｜ C.a与b方向相反　 D.｜a｜＝0或｜b｜＝0 解析：ACD　对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b. 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.若a≠b，则a，b一定不共线 B.在▱ABCD中，一定有＝ C.若a＝b，b＝c，则a＝c D.共线向量是在一条直线上的向量 解析：BC　对于A，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确.对于B，在▱ABCD中，｜｜＝｜｜，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.对于C，a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a与b方向相同；b＝c，则｜b｜＝｜c｜，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故C正确.对于D，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D不正确.故选B、C. 7.给出下列命题：①若｜a｜＝0，则 a＝0；②若｜a｜＝｜b｜，则a＝－b；③若a∥b，则｜a｜＝｜b｜.其中，正确的命题个数有　0　. 解析：①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等与两个向量相等的概念，｜a｜＝｜b｜只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等. 8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， 则图中的相反向量为　，，　. 解析：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC.∴｜｜＝｜｜且方向相反.｜｜＝｜｜且方向相反.∴的相反向量为，，. 9.在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量与的夹角为　135°　. 解析：∵∠B＝45°，∴与的夹角为135°. 10.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点. （1）写出图中所示向量与向量长度相等的向量； （2）分别写出图中所示向量与向量，共线的向量； （3）求与，与的夹角的度数. 解：（1）与长度相等的向量是，，，，，，，. （2）与共线的向量是，，； 与共线的向量是，，. （3）因为△ABC为正三角形，与的夹角为∠ABC，故与的夹角为60°，与的夹角为∠AFD的补角，故与的夹角为120°. 11.〔多选〕在下列结论中正确的有（　　） A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件 B.a≠b是｜a｜≠｜b｜的充分不必要条件 C.a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件 D.a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件 解析：ACD　若a＝b， 则a与b方向相同，模相等，所以A、C正确；对于B，由a≠b⇒/｜a｜≠｜b｜，但由｜a｜≠｜b｜⇒a≠b，所以a≠b是｜a｜≠｜b｜的必要不充分条件，故B错误；对于D，由a与b方向相反，可以推出a≠b，也可由｜a｜≠｜b｜推出a≠b，则a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分条件，但反过来不一定成立，故D正确. 12.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝　0　. 解析：向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0. 13.如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，则向量与的夹角为　120°　. 解析：易知∠ABC＝∠OCB＝30°，所以∠COA＝60°，又因为向量与的夹角为∠COA的补角，所以向量与的夹角为120°. 14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且｜｜＝. （1）画出所有的向量； （2）求｜｜的最大值与最小值. 解：（1）画出所有的向量，如图所示. （2）由（1）所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，｜｜取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值＝. 所以｜｜的最大值为，最小值为. 15.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile处有一艘渔船抛锚需救助.试求： （1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.（参考数据：sin 53°≈0.8） 解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即AB＋BC＝70 n mile. （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为｜｜＝＝50（n mile）， 由于sin∠BAC＝，故方向约为北偏东53°. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $