9.2.3 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.2.3　向量的数量积 课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象）. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）. 第1课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cos θ，其中θ是F与s的夹角. 　　功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 【问题】　两个向量的数量积与这两个向量的哪些量有关？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，把数量　｜a｜｜b｜cos θ　叫作向量a和b的数量积，记作　a·b　，即a·b＝　｜a｜｜b｜cos θ　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝　0　. 　　提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝　　求得. 3.平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 （1）a·e＝e·a＝｜a｜cos θ； （2）a⊥b⇔a·b＝0； （3）当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝； （4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜. 【想一想】 　已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对吗？ 提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0. 知识点二　投影向量 1.定义：设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的　变换　称为向量a向向量b投影，向量　　称为向量a在向量b上的投影向量. 2.对于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量为　（｜a｜cos θ）　. 3.向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的　投影向量　与向量b的数量积. 　　提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；（2）如果向量a与向量b平行，向量a 在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量；（4）如图，·＝±｜｜｜｜，符号由θ的范围确定. 1.〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A.对任意向量a，都有a2＝｜a｜2 B.若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c C.若a·b＝｜a｜｜b｜，则a∥b D.若a∥b，则a·b＝｜a｜｜b｜ 答案：AC 2.已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，当它们之间的夹角为时，a·b＝（　　） A.4　　　　　　　　 B.4 C.8　 D.8 解析：B　根据向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝4×2×cos ＝4. 3.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为135°，则b在a方向上的投影向量为　－a　. 解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞·＝×（－）a＝－a. 题型一｜平面向量数量积的有关概念 【例1】　〔多选〕下列叙述正确的是（　　） A.a·0＝0 B.a·0＝0 C.若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0 D.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 解析：BD　A中，a·0＝0，故A错误；B中，a·0＝0，故B正确；C中，设a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当cos θ＝0时，a·b＝0，故C错误，D正确.故选B、D. 通性通法 　　两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，所以最后的值由｜a｜，｜b｜及cos＜a，b＞所决定.即有以下结论：设两个非零向量a与b的夹角为θ，则 （1）当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜； （2）当θ为锐角时，cos θ＞0，a·b＞0； （3）当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0； （4）当θ为钝角时，cos θ＜0，a·b＜0； （5）当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜. 【跟踪训练】 　〔多选〕已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是（　　） A.a·b＝±｜a｜｜b｜⇔a∥b B.a与b同向⇔a·b＝｜a｜｜b｜ C.｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ D.若a·b＝0，则＜a，b＞＝ 解析：ABD　a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜b｜且a，b为非零向量可得cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以a∥b，反之也成立，故A正确；若a，b同向，则a，b的夹角为0，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正确；当｜a｜＝｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜，故C错误；若a·b＝0且a，b为非零向量，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0，即cos＜a，b＞＝0，又因为＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故D正确. 题型二｜向量数量积的运算 【例2】　（链接教科书第22页例1）（1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b； 解：（1）①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12. （2）已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·. 解：（2）①∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜ cos 60°＝1×1×＝. ②∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜·｜｜ cos 120°＝1×1×（－）＝－. ③∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜·cos 60°＝1×1×＝. 通性通法 定义法求平面向量的数量积 　　若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 【跟踪训练】 1.设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（　　） A.　 B. C.　 D.π 解析：B　设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 2.已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（　　） A.－7　　 B.7　　 C.25　　 D.－25 解析：D　由题得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D. 题型三｜投影向量 【例3】　（链接教科书第24页练习5题）已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求： （1）a在b上的投影向量； 解：（1）∵｜b｜＝1，∴b为单位向量. ∴a在b上的投影向量为｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b. （2）b在a上的投影向量的模. 解：（2）由投影向量的定义知，向量b在a上的投影向量的模为｜b｜｜cos 120°｜＝. 通性通法 投影向量的求解方法 　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜｜cos θ｜为a在b上投影向量的模. 【跟踪训练】 1.若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a在向量b上的投影向量为（　　） A.－b　 B.－b C.b　 D.－b 解析：D　因为a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以cos θ＝＝＝－，则a在b上的投影向量是｜a｜cos θ＝2×（－）×＝－b.故选D. 2.（2025·南京期末）已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，若a在b上的投影向量为－b，则a与b的夹角为（　　） A.60°　 B.120° C.135°　 D.150° 解析：B　设a，b的夹角为θ，则a在b上的投影向量为（｜a｜cos θ）·＝－b，即＝－，则cos θ＝－·＝－，所以a与b的夹角为120°.故选B. 1.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（　　） A.3　 B.－3 C.－3　 D.3 解析：B　由平面向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×（－）＝－3.故选B. 2.〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（　　） A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.｜a－b｜＝｜a｜－｜b｜ C.若a⊥b，则a·b＝0 D.｜a｜＝ 解析：CD　对于A，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；对于B，｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜，所以B错误；对于C，由数量积的性质知，C正确；对于D，因为a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正确.故选C、D. 3.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝　2　. 解析：·＝｜｜｜｜cos∠ABC＝2××cos 45°＝2. 4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量. 解：当θ＝45°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 45°·e＝6×e＝3e； 当θ＝90°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 90°·e＝6×0×e＝0； 当θ＝135°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 135°·e＝6×（－）e＝－3e. 1.（2025·南通期中）若a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A.a＝b　 B.a∥b C.a·b＝1　 D.a2＝b2 解析：D　a，b是两个单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，但a，b方向不能确定，故A、B错误；设a，b夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝cos θ，只有a，b同向共线时，才有cos θ＝1，故C错误；∵a2＝｜a｜2＝1，b2＝｜b｜2＝1，∴a2＝b2，故D正确.故选D. 2.已知m，n为非零向量，则“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜cos＜m，n＞＞0，故cos＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n＞＝0或＜m，n＞∈（0，），反之，若＜m，n＞∈（0，），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的必要不充分条件，故选B. 3.已知e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则e1·e2＝（　　） A.1　 B.－1 C.　 D.－ 解析：C　因为e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，所以e1·e2＝·cos 45°＝1×1×＝. 4.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（　　） A.－　 B. C.－　 D. 解析：A　a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 5.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若｜｜＝4，则·＝（　　） A.4　 B.8 C.8　 D.16 解析：B　法一　依题意，｜｜cos＜，＞＝｜｜，则·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝｜｜×｜｜＝4×2＝8. 法二　结合圆的性质易得在上的投影向量为，所以·＝＝×42＝8. 6.〔多选〕若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是（　　） A.0　 B. C.2　 D.3 解析：ABC　由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知A、B、C正确.故选A、B、C. 7.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD的形状是　矩形　（填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”）. 解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC􀱀AD，所以四边形ABCD是矩形. 8.已知b为一个单位向量，若a在b上的投影向量为－b，｜a｜＝2，则a与b的夹角为　　. 解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由题意知｜a｜cos θ＝－，所以cos θ＝－＝－，所以θ＝. 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·＝　－1　. 解析：法一　·＝｜｜·｜｜cos（180°－∠B）＝－｜｜｜｜·cos B＝－｜｜｜｜·＝－｜｜2＝－1. 法二　｜｜＝1，即为单位向量，·＝－·＝－｜｜·｜｜cos B，而｜｜·cos B＝｜｜，所以·＝－｜｜2＝－1. 10.在△ABC中，AC＝3，向量在上的投影向量为－2，S△ABC＝3，求BC的长度. 解：因为向量在上的投影向量为－2，故∠BAC为钝角， 如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上， 而向量在上的投影向量为＝｜｜×cos∠BAC×＝－｜｜×，故｜｜＝2. 又S△ABC＝3，所以×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝＝＝. 11.定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜＝（　　） A.8　 B.－8 C.8或－8　 D.6 解析：A　cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8.故选A. 12.〔多选〕已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是（　　） A.cos θ＞0⇔e1·e2＞0 B.若e1∥e2，则e1·e2＝1 C.若e1∥e2，则e1·e2＝－1 D.｜e1·e2｜≤1 解析：AD　∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos θ＝cos θ，∴若cos θ＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有cos θ＞0，故A正确；e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，故D正确.故选A、D. 13.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝　18　. 解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点，·＝·＝2·，因为在上的投影向量为，则·＝·.所以·＝2·＝2｜｜2＝2×32＝18. 14.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. （1）若＝，求x，y的值； （2）若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值. 解：（1）若＝，则＝＋， 故x＝y＝. （2）因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2. 又因为＝3，所以｜｜＝. 所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝. 设与的夹角为θ，所以与的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3. 15.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量； （2）求·的取值范围. 解：（1）由已知可得＝，＝－， 易得OAMB是菱形（图略），则＝＋， 所以＝－＝－（＋）＝－－. （2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝； 当MC与MO重合时，MC最大， 此时MC＝1，则·＝cos 60°＝， 所以·的取值范围为. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $