第2章 7 培优课 利用导数证明不等式(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 培优课利用导数证明不等式 1.C,(x一1)(x)<0,.当x>1时，f(x)<0;当x<1时，f(x)>0,则f(x)在(1， +∞)上单调递减，在(-∞，1)上单调递增，∴f(0)<f(1),f(2)≤f(1),则f(0)+f (2)<2f(1). 2.C因为f(x)=x一sinx,所以f(一x)=一x十sinx=一f(x),即函数f(x)为奇函数，函数 的导数(x)=1一cosx≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x+1)+f(2一2x)>0等价为 f(x+1)>-f(2一2x)=f(2x一2)，即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为（一∞， 3). 3.A当a=0时，函数f(x)=青x3,只有1个零点；当a≠0时，令f(x)=言x3+a(x2+x+2) 0,显装0，故-2十品十金，设0，更-g60=6叶30叶 (t≠0)，g'(t)=182+6t十号，令g'(t)=0,则△=36-4×号×18=-72<0，g(t)>0恒成 立，故g(t)在（一∞，0），(0，十∞)上单调递增，且g(t)可取除0外的所有实数，所以一 吉=g(t)只有一个解，即函数f(x)只有1个零点.故选A. 4.A因为函数f(x)的定义域为R,所以f(-x)=log2(2x+1)+x=log2(2x+1)-x=/ x),即函数f(x)为偶函数.又当>0时，f)=希=站>0，而f(a-2)f (2a-1)等价于f(|a-2|)≥f(|2a-1|),所以|a-2|≥12a-11,化简得，a2≤1， 所以-1≤a≤1.故选A. 5.A法一（求ax-n(2x)在(0，+∞）上的最小值)令f(x)=ax一ln(2x),x∈(0，+ 0∞). 因为ax-ln（2x)≥1恒成立，所以f(x)mim≥1. f(x)=a-是，若a≤0，则f(x)<0,函数f(x)在(0，十∞)上是减函数，ax-ln(2x)≥1 不恒成立，所以a>0.令P(x)=0,解得x=.当x∈(0，音)时，(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈（音，+∞）时，(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)mm=f(音）=1-ln号≥l,即n ≤0，即a≥2，所以a的最小值是2. 法二（分离参数，转化为求函数的最值)因为a-ln(2x)≥1(x>0)恒成立，则a≥+n2l (x>0)恒成立，令h(x)=+2l(x>0)，则H(x)=血2，令H(x)>0,即1n(2x) 1/5 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 <0,解得0<x<,令h'(x)<0,即ln(2x)>0,解得x>,故h(x)在(0，专)上单调递 增，在（克，+∞）上单调递减，h(x)max=h(主）=2.故a≥2，a的最小值是2. (3x2x≤0， 6.D因为fx)={e2x>0,所以函数fx)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上单调 递增，不纺设<0<，则有3x好=e,可得=-号e,则有十=-号e2令g(x) x-号e(>0),有g(x)=1-号c,令g()>0,可得0<<n3,令g(x)<0,可得 x>n3,则函数g(x)在(0，ln3)上单调递增，在(ln3,十∞)上单调递减，可得g(x) m=g(n3)=n3-号en8=n3-1,故十的最大值为n3-1.故选D. 7.ACf(x)=cosx一xsin x.对于选项A、B,因为f(x)=xcOSx是奇函数，所以f(x)是偶函 数，故A正确，B错误；对于选项C,P(0)=cos0-0sim0=1,故C正确；对于选项D,f() +f(变)=5cos5+cos受-受sin受=0+0-受=-变，故D错误.故选A、C. 8ABC令f)=0,解得=5，所以A正确：(x)=一学=-+2，当 >0时，一1<x<2,当f(x)<0时，x<-1或x>2,所以（一∞，一1），(2，十∞)是函数的 单调递减区间，（一1,2）是函数的单调递增区间，所以f(一1)是函数的极小值，f(2)是函数 的极大值，所以B正确；当x→十∞时，f(x)→0，根据B可知，函数的最小值是f(一1)=一 e,再根据单调性可知，当一e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根，所以C正确；由图象 可知，t的最大值是2，所以D不正确.故选A、B、C. 10元 9.BCD 由题意可得待2Xr十2h=6300m,所以h=6300=2,00-青，由>0，则 0-r>0,解得<307，所以10≤r<30,故A选项不正确.易知h随r的增大而减小， 所以当，=10时，h取得最大值，且最大值为，故B选项正确.圆锥的母线长1=V巨，故圆锥 的侧面积S=元1=r×V2r=V22,圆柱的侧面积，=2rh=2r(3000-r）=2630匹-等 2,圆柱的底面积S=2,所以总费用y=V2aS+a(S,+S)=V2a×V22+a(263,00m-,2 +元2)=受，2+26300m.当=21时，y=7要×212+2600匹=7029m,C遂项正确.y'=1 21 ,-263.000远=14r627001,当10≤<30时，y'<0,函数y=7雪，2+26300证单调递减，当 3r2 2/5 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+款辅专家 30<<307时，y>0,函数y=变，2+263000匹单调递增，所以当=30时，y取得最小值，最 小值为受×302+26300m=6300am,D选项正确，故选B、C、D. 30 10.ACD令f(x)=x2-1,g(x)=nx,f(1)=g(1)=0,(1)=2,g(1)=1,结合f (x)和g(x)的图象可知A正确，B错误.f(x)=2x∈R,g'(x)=是∈(0，+∞)，存在 (1)=g(专)，故曲线y=x2-1与曲线y=lnx存在互相平行的切线，故C正确.令F(x)=f ()-g(x),则P:(x)=2-安，故F(x)在(0，号)上单调递减，在（号，十0）上单词 递增，而F(字)=六-1-血=-最+1血4>0，F(号)=-+n2<0,F(合>=合-1+ 2>0,所以F()在（子，号）和（号，点）上各有一个零点，故F(x)有两个零点，即曲线y =x2-1与曲线y=lnx有两个交点，故D正确. 11.(-∞，4]解析：由2xnx≥-x2+ax-3,得a≤2lnx十x十是.设h(x)=2lnx+是十x (>0).则H(x)=是-是+1=+1，当x∈(0,1)时，H(x)<0,h(x)单调递减， 当x∈(1，十∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增.∴.h(x)mim=h(1)=4.又f(x)≥g(x)恒 成立，∴a≤4. 12.[-2,2]解析：令f(x)=0可得m=-x3+3x,令g(x)=-x3+3x,x∈[0,2]，则g' (x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),由g'(x)>0可解得0<x<1,由g'(x)<0可解得 1<x<2,g(x)在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，g(x)mx=g(1)=2,又g (0)=0,g(2)=-2,∴g(x)mim=-2,则要使f(x)在[0,2]上有零点，则-2≤m≤2. 13.(-∞，e2-2]解析：由f(x)一m≥0得f(x)≥m,函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f (x)=2x-=221山，当x∈[1，e]时，(x)≥0，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f (x)≤f(e).即1≤f(x)≤e2-2,要使f(x)-m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2-2. 14.解：(1)由f(x)=ex-2x+2a(x∈R),知(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln2. 当x<1n2时，f(x)<0,故函数f(x)在区间（一∞，ln2)上单调递减： 当x>ln2时，f(x)>0,故函数f(x)在区间(1ln2,+∞)上单调递增. 所以f(x)的单调递减区间是（一∞，ln2),单调递增区间是(1n2,+∞），f(x)在x=ln2处 取得极小值f(ln2)=en2-2ln2+2a=2-2ln2+2a,无极大值. (2)证明：要证当a>ln2-1且x>0时，e>x2-2ax+1,即证当a>ln2一1且x>0时， er-x2+2ax-1>0. 3/5 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设g(x)=er-x2+2ax-1(x>0). 则g'(x)=ex-2x+2a, 由(1)知g'(x)mim=g'(ln2)=2-2ln2+2a. 又a>ln2-1,则g'(x）mim>0. 于是对Hx∈R,都有g'(x)>0, 所以g（(x)在R上是增函数. 于是对x>0,都有g(x)>g(0)=0. 即ex-x2+2ax-1>0, 故er>x2-2ax+1. 15.解：(1)因为f(x)=xn(x+1),则(x)=ln(x+1)+x,所以f(1)=ln2,(1) =ln2+,所以曲线y=∫(x)在点(1，f(1)）处的切线方程为y-ln2=(专十ln2)(x-1), 即y=（+ln2)x-: (2)证明：令g(x)=f(x)+x3-x2=x3-x2+xnm(x十1)，其中x>-1,g(x)=号x2-2x +n(x+1)+x帝， 令h(x)=x2-2x十ln(x+1)十，其中x>-1, 则尔0)=3x一2计京+中普，当>-1时，水)0直如)不但为零， 所以函数g'(x)在（一1，十∞）上单调递增，所以当一1<x<0时，g'(x)<g'(0)=0,此时函 数g(x)单调递减，当x>0时，g'(x)>g'(0)=0,此时函数g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0,即f(x)+x3≥2. 16.解：(1)由题意得函数f(x)的定义域为{x|x<a,f(x)=点-1=，因为x<a,所 以f(x)<0.故函数f(x)的单调递减区间为（一∞，a),无单调递增区间. (2)证明：法一当a=e时，要证f(e一x)<ex+,即证lnx十x<er+,即证警+l<十 .设g(x)=警+1(x>0)，则g'(x)=(x>0), x2 令g'(x)>0,得0<x<e, 令g'(x)<0,得x>e, 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(e)=是十1. 设h(x)=景十去(x>0),则H(Gr)=g(>0), 4/5 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 令h'(x)>0,得x>1,令h(x)<0,得0<x<1, 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)=e十六. 因为（音十1）-(e十克)=十1-e<0,所以告十1<e十京，即g(x)<h(x),所以当a=e 时，f(e一x)<er+毫. 法二当a=e时，要证f(e-x)<er十尧，即证lnx十x<ex+亲，即证lnx-<er-x, 设g(x)=血-毫，x>0,则g(x)=器， 当x∈(0,2e)时，g'(x)>0, 当x∈(2e,+∞)时，g'(x)<0, 所以g(x)在(0,2e)上单调递增，在(2e,十∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(2e)=ln(2e)-1=n2<1. 设h(x)=ex一x,x>0,则h'(x)=er-1>0在(0，十o)上恒成立，所以h(x)在(0，+ ∞)上单调递增，所以h(x)>e0-0=l,所以g(x)<h(x),所以当a=e时，f(e-x)<ex+ 器 5/5 ·独家授权侵权必究 培优课　利用导数证明不等式 1.定义在R上的函数f（x），若（x－1）·f'（x）＜0，则下列各项正确的是（　　） A.f（0）＋f（2）＞2f（1） B.f（0）＋f（2）＝2f（1） C.f（0）＋f（2）＜2f（1） D.f（0）＋f（2）与2f（1）大小不定 2.已知函数f（x）＝x－sin x，则不等式f（x＋1）＋f（2－2x）＞0的解集是（　　） A.　　　　　B. C.（－∞，3） D.（3，＋∞） 3.已知函数f（x）＝x3＋a，则f（x）的零点可能有（　　） A.1个 B.1个或2个 C.1个或2个或3个 D.2个或3个 4.已知函数f（x）＝log2（2x＋1）－x，若f（a－2）≥f（2a－1）恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.[－1，1] B.（－∞，－1] C.[0，＋∞） D.（－∞，－1]∪[0，＋∞） 5.若对任意的x∈（0，＋∞），ax－ln（2x）≥1恒成立，则实数a的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知函数f（x）＝若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1＋x2的最大值为（　　） A.－ B.2ln 3－3 C.ln 3＋2 D.ln 3－1 7.〔多选〕已知函数f（x）＝xcos x的导函数为f'（x），则（　　） A.f'（x）为偶函数 B.f'（x）为奇函数 C.f'（0）＝1 D.f（ ）＋f'（ ）＝ 8.〔多选〕已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（　　） A.函数f（x）存在两个不同的零点 B.函数f（x）既存在极大值又存在极小值 C.当－e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根 D.若x∈[t，＋∞）时，f（x）max＝，则t的最小值为2 9.〔多选〕国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2022年全国夏粮总产量达14 739万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器，已知该容器分为上、下两部分，上部分是底面半径和高都为r（r≥10）米的圆锥，下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱体，如图所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是（　　） A.10≤r＜40 B.h的最大值为 C.当r＝21时，y＝7 029aπ D.当r＝30时，y有最小值，最小值为6 300aπ 10.〔多选〕曲线y＝x2－1与曲线y＝ln x（　　） A.在点（1，0）处相交 B.在点（1，0）处相切 C.存在相互平行的切线 D.有两个交点 11.已知函数f（x）＝2xln x，g（x）＝－x2＋ax－3对一切x∈（0，＋∞），f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是　　　　. 12.若函数f（x）＝x3－3x＋m在[0，2]上有零点，则实数m的取值范围为　　　　　. 13.已知函数f（x）＝x2－2ln x，若关于x的不等式f（x）－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是　　　　.14.设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R. （1）求f（x）的单调区间与极值； （2）求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1. 15.已知函数f（x）＝xln（x＋1）. （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）证明：f（x）＋x3≥x2. 16.设函数f（x）＝ln（a－x）－x＋e. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a＝e时，证明：f（e－x）＜ex＋. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $