第2章 7 培优课 利用导数研究函数的零点(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

培优课　利用导数研究函数的零点 1.已知函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处取得极大值4，则a－b＝（　　） A.8　 B.－8 C.2 D.－2 2.若函数f（x）＝x2－aln x－x－2 023（a∈R）在区间[1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，1] C.（ －∞，－） D.（ －∞，－］ 3.若函数f（x）＝xln x－ax＋1恰有两个零点，则实数a的取值不可能是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.当x∈（ ，1）时，方程xn＋xn－1＋…＋x＝1（n≥2，n∈N）的实根的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知函数f（x）＝e2x，g（x）＝ln x＋的图象分别与直线y＝b交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　） A.1 B. C. D.e－ 6.已知函数f（x）＝若y＝f（x）－kx恰有两个零点，则k的取值范围为（　　） A.（ 1－，1） B.（ 1－，1］ C.（ 1－，＋∞） D.（ 1－，1）∪（1，＋∞） 7.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）－f（x）＞0，则不等式e4f（3x－4）＞e2xf（x）的解集为（　　） A.（2，＋∞） B.（e，＋∞） C.（－∞，e） D.（－∞，2） 8.已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）＋f（－x），则函数g（x）的零点个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 9.〔多选〕已知函数f（x）（x∈[－3，5]）的导函数为f'（x），若f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）在（－2，1）上单调递增 B.f（x）在（ －，）上单调递减 C.f（x）在x＝－2处取得极小值 D.f（x）在x＝1处取得极大值 10.〔多选〕已知函数f（x）＝，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）在x＝1处有最小值 B.1是f（x）的一个极值点 C.当0＜a＜时，方程f（x）＝a有两异根 D.当a＞时，方程f（x）＝a有一根 11.〔多选〕已知函数f（x）＝（1－x）ln x－ax，a∈R，下列说法正确的是（　　） A.若函数f（x）有且只有1个零点x0，则x0＝1 B.若函数f（x）有两个零点，则a＞0 C.若函数f（x）有且只有1个零点x0，则a＝1，x0＝1 D.若函数f（x）有两个零点，则a＜0 12.〔多选〕已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－1恰有3个零点，则实数m的值可以为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 13.已知f'（x）是函数f（x）的导函数，写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）＝　　　　. ①定义域为R；②对任意x∈（0，＋∞），f'（x）＞0；③f'（x）的图象关于原点中心对称. 14.已知函数f（x）＝x3＋x2＋（2a－1）x＋a2－a＋1，若f'（x）＝0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围为　　　　. 15.函数f（x）＝2x－x2有　　　　个零点；若函数g（x）＝ax－x2（a＞1）恰有2个零点，则a＝　　　　. 16.函数f（x）＝ex的单调递增区间为　　　　；若a∈［－，0］，则函数g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）零点的取值范围是　　　　. 17.已知函数f（x）＝（x－1）ex. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； （2）设g（x）＝f（x）－a（a∈R），讨论函数g（x）的零点个数. 18.已知x＝－1，x＝2是函数f（x）＝－＋ax2＋bx＋1的两个极值点. （1）求f（x）的解析式； （2）记g（x）＝f（x）－m，x∈[－2，4]，若函数g（x）有三个零点，求m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　利用导数研究函数的零点 1.B　因为f（x）＝ax3＋bx，所以f'（x）＝3ax2＋b，所以f'（1）＝3a＋b＝0，f（1）＝a＋b＝4，解得a＝－2，b＝6，经检验，符合题意，所以a－b＝－8.故选B. 2.B　f'（x）＝2x－－1，因为f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，所以f'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即2x2－x≥a在[1，＋∞）上恒成立，因为二次函数y＝2x2－x的图象的对称轴为x＝，且开口向上，所以y＝2x2－x在[1，＋∞）上的最小值为1，所以a≤1.故选B. 3.A　 函数f（x）＝xln x－ax＋1有2个零点等价于当x＞0时，直线y＝a与函数g（x）＝ln x＋的图象有2个交点.由已知，得g'（x）＝.所以当x＞1时，g'（x）＞0，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，g（x）取得最小值，为g（1）＝1.作出函数g（x）的大致图象和直线y＝a，如图.若直线y＝a与曲线g（x）有2个交点，则a＞1.故选A. 4.B　令f（x）＝xn＋xn－1＋…＋x－1（n≥2，n∈N），则f（ ）＝－1＝－（ ）n＜0，f（1）＝n－1＞0，由函数零点存在定理可知f（x）＝xn＋xn－1＋…＋x－1（n≥2，n∈N）在（ ，1）内至少有一个零点.又当x∈（ ，1）时，f'（x）＝nxn－1＋（n－1）xn－2＋…＋1＞0（n≥2，n∈N），故当x∈（ ，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.因此当x∈（ ，1）时，函数f（x）有唯一的零点，即当x∈（ ，1）时，方程xn＋xn－1＋…＋x＝1（n≥2，n∈N）的实根的个数为1. 5.C　由题意，A（ ln b，b），B（ ，b），其中＞ln b，且b＞0，所以｜AB｜＝－ln b，令h（x）＝－ln x（x＞0），则h'（x）＝－＝0时，解得x＝，所以0＜x＜时，h'（x）＜0；x＞时，h'（x）＞0，则h（x）在（ 0，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以当x＝时，｜AB｜min＝，故选C. 6.D　y＝f（x）－kx恰有两个零点，即f（x）－kx＝0恰有两个实数根，由于x≠0，所以f（x）－kx＝0恰有两个实数根等价于＝k恰有两个实数根，令g（x）＝，则g（x）＝当x＞0时，g（x）＝1－，g'（x）＝，故当x＞e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增，当0＜x＜e时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减，故当x＝e时，g（x）取极小值也是最小值，且当x＞1时，＞0，∴g（x）＝1－＜1，当x＜0时，g（x）＝1＋＞1，且g（x）单调递增，在直角坐标系中画出g（x）的大致图象如图.要使g（x）＝k有两个交点，则k∈（ 1－，1）∪（1，＋∞）， 故选D. 7.A　令g（x）＝，则g'（x）＝＞0，所以g（x）在R上是增函数，由e4f（3x－4）＞e2xf（x），得＞，即g（3x－4）＞g（x），又g（x）在R上是增函数，所以3x－4＞x，解得x＞2，即不等式e4f（3x－4）＞e2xf（x）的解集为（2，＋∞）.故选A. 8.A　当x＝0时，g（0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0）＝2，所以x＝0不是函数g（x）的零点，因为g（x）＝f（x）＋f（－x），所以g（－x）＝f（－x）＋f（x）＝g（x），所以g（x）为偶函数，当x＞0时，－x＜0，g（x）＝ln x－x＋1，g'（x）＝－1＝，令g'（x）＞0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以g（x）在x＝1时取得最大值g（1）＝0，所以当x＞0时，g（x）有唯一零点x＝1，又函数g（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以g（x）在x＜0时，还有一个零点x＝－1，综上所述，函数g（x）的零点个数为2.故选A. 9.ACD　当f'（x）＞0时，f（x）单调递增，由图可知x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故A正确；当x∈（ －，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ 1，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故B错误；当x∈（－3，－2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝－2处取得极小值，故C正确；当x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ 1，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝1处取得极大值，故D正确，故选A、C、D. 10.BC　对A、B，f'（x）＝，则当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）在x＝1处有唯一极大值，即最大值，B对，A错；对C、D，f（x）max＝f（1）＝，又x→＋∞，f（x）→0，x∈（－∞，0），f（x）＜f（0）＝0.故当0＜a＜时，f（x）的图象与y＝a有两个交点，即方程f（x）＝a有两异根； 当a＞时，f（x）的图象与y＝a无交点，即方程f（x）＝a无根，C对，D错.故选B、C. 11.AD　由f（x）＝（1－x）ln x－ax＝0⇒a＝－ln x，当x＞0时，令g（x）＝－ln x，得g'（x）＝，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，故g（x）max＝g（1）＝0，函数g（x）的图象如图所示： 当a＞0时，直线y＝a与函数g（x）的图象没有交点，所以函数f（x）没有零点，当a＝0时，直线y＝a与函数g（x）的图象只有一个交点，所以函数f（x）只有一个零点，而f（1）＝0，所以选项A正确，选项C不正确；当a＜0时，直线y＝a与函数g（x）的图象只有两个交点，所以函数f（x）有两个零点，所以选项B不正确，选项D正确，故选A、D. 12.CD　令g（x）＝f（x）－1＝0，解得f（x）＝1，故问题转化为方程f（x）＝1恰有3个实数根.当x＞0时，令＝1，解得x＝ln 2，故当x≤0时，方程f（x）＝1有2个实数根.令2x3－mx－3＝1，即2x3－4＝mx，显然x＝0不是该方程的根，∴m＝2x2－.令φ（x）＝2x2－（x＜0），则φ'（x）＝4x＋＝＝，故当x＜－1时，φ'（x）＜0，当－1＜x＜0时，φ'（x）＞0，故当x＝－1时，φ（x）有极小值6，而x→－∞时，φ（x）→＋∞，当x＜0，且x→0时，φ（x）→＋∞，故实数m的取值范围为（6，＋∞）.故选C、D. 13.x2（答案不唯一，只要函数是定义域为R的可导偶函数，在（0，＋∞）上单调递增均可） 解析：令f（x）＝x2，显然定义域为R，满足①，又f'（x）＝2x，当x∈（0，＋∞）时f'（x）＞0，满足②，且f'（x）＝2x为奇函数，函数图象关于原点对称，满足③. 14.［－，）　解析：∵函数f（x）＝x3＋x2＋（2a－1）x＋a2－a＋1，则f'（x）＝x2＋2x＋（2a－1），再由f'（x）＝0在（0，2]上有解，f'（x）是二次函数，对称轴为直线x＝－1，可得f'（0）f'（2）＜0，或f'（2）＝0，即（2a－1）（2a＋7）＜0，或2a＋7＝0，解得－≤a＜. 15.3　　解析：结合函数y＝2x与y＝x2的图象知f（x）在（－∞，0）上有1个零点.当x∈（0，＋∞）时，由2x－x2＝0得x＝2或x＝4，所以函数f（x）＝2x－x2有3个零点.结合函数y＝ax与y＝x2的图象易得在（－∞，0）上g（x）有1个零点，所以若函数g（x）＝ax－x2（a＞1）恰有2个零点，则在（0，＋∞）上有且仅有1个零点，即ax－x2＝0在（0，＋∞）上有唯一根.ax－x2＝0⇔ax＝x2⇔xln a＝2ln x⇔ln＝，令h（x）＝，h'（x）＝，易得h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，所以h（x）max＝h（e）＝，由题意得ln＝，所以a＝. 16.（－∞，－2）和（－2，＋∞）　[－1，2] 解析：易知f（x）的定义域为（－∞，－2）∪（－2，＋∞）.f'（x）＝（ ）'ex＋（ex）'＝［＋］ex＝ex.因为f'（x）≥0在（－∞，－2）∪（－2，＋∞）上恒成立，所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－2）和（－2，＋∞）. 法一（构造函数＋数形结合）　令g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）＝0，显然x＝－2不是g（x）的零点，所以x＋2≠0，得a＝ex，所以函数g（x）的零点即直线y＝a与f（x）＝ex图象的交点的横坐标.当x＜－2时，f（x）＞0，f（2）＝0，f（0）＝－1，作函数y＝a与f（x）的大致图象如图所示.因为f（－1）＝－，所以当a∈［－，0］时，函数y＝a与f（x）图象的交点的横坐标范围是[－1，2]，故函数g（x）零点的取值范围是[－1，2]. 法二　令g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）＝0，显然x＝－2不是g（x）的零点，所以x＋2≠0，得a＝ex.问题转化为当f（x）∈［－，0］时，求x的取值范围.易知当x＜－2时，f（x）＞0.因为f（－1）＝－，f（2）＝0，且f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，所以x∈[－1，2]，即当a∈［－，0］时，函数g（x）零点的取值范围是[－1，2]. 17.解：（1）函数f（x）的定义域为R.f'（x）＝ex＋（x－1）ex＝xex，令f'（x）＝0，解得x＝0， 所以当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 所以当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝－1，f（x）没有极大值. （2） 根据题意，函数g（x）的零点问题转化为直线y＝a与函数f（x）的图象的公共点问题. 由（1）知，当x∈（－∞，0）时，f（x）单调递减；当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递增. 当x→－∞时，f（x）→0，x→＋∞时，f（x）→＋∞， 所以f（x）的大致图象如图所示. 由图可知，①当a＝－1或a≥0时，直线y＝a与函数f（x）的图象有一个公共点，则函数g（x）的零点个数为1. ②当－1＜a＜0时，直线y＝a与函数f（x）的图象有两个公共点，则函数g（x）的零点个数为2. ③当a＜－1时，直线y＝a与函数f（x）的图象没有公共点，则函数g（x）的零点个数为0. 18.解：（1）因为f（x）＝－＋ax2＋bx＋1， 所以f'（x）＝－x2＋2ax＋b， 根据极值点定义，方程f'（x）＝0的两个根即为x1＝－1，x2＝2. 因为f'（x）＝－x2＋2ax＋b，代入x1＝－1，x2＝2，可得解得 经验证符合题意，所以f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1. （2）由（1）得，g（x）＝－x3＋x2＋2x＋1－m，x∈[－2，4]， 根据题意，可得方程m＝－x3＋x2＋2x＋1在区间[－2，4]内有三个实数根， 即函数f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1的图象与直线y＝m在区间[－2，4]内有三个交点. f'（x）＝－x2＋x＋2， 则令f'（x）＞0，解得－1＜x＜2；令f'（x）＜0，解得x＞2或x＜－1， 所以函数f（x）在（－2，－1），（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增. 又因为f（－1）＝－，f（2）＝，f（－2）＝，f（4）＝－， 所以函数f（x）在[－2，4]内的图象如图所示， 若使函数f（x）＝－x3＋x2＋2x＋1的图象与直线y＝m在区间[－2，4]内有三个交点，则需使－＜m≤， 即m的取值范围为（ －，］. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $